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Catalan数的各种实例在线视频

Catalan数的各种实例

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Catalan数的各种实例课程教案、知识点、字幕

刚才我们已经通过不同的方法

求得了卡特兰数的直接表达式

实际上卡特兰数的直接表达式

有很多种不同的构造方法

光维基百科上就可以看到

至少5种证法

那么为什么我们会说

卡特兰数是一个精灵呢

因为啊它无处不在

它变换成世界上各种不同的问题

比如说刚才我们

已经给大家介绍了栈 二叉树

以及三角划分等等

都是对应着卡特兰数

而实际上还有更多更多的问题

比如说我们举例来看

对于这样一个三角划分

我们同样可以把它转化成

对应的一个表达式的加括号的问题

那么这时候就会有一个问题了

如果我们的表达式把

括号去掉会怎么样呢

我们看一个例子

这是一个非常常见的

一个进行加减乘除的表达式

由于有了括号

我们可以很容易地计算出

它的结果是什么

但是如果我们把所有的

括号都去掉呢

这时候我们只剩下了

加减乘除和相应的数字

这时候它就会有

各种不同的语义结果

如果不考虑相互的运算顺序的话

以及优先级的话

那么它可以有各种不同的

根据不同的括号得到不同的结果

这就存在一个问题

对应于我们在计算机

进行形式化验证

以及进行多项式的行为分析的时候

括号起到了非常重要的作用

那么就有一个经典的问题

我们对应于这样一个表达式

它的括号有多少种不同的

组合方式呢

实际上这个问题也就是

一个卡特兰数问题

我们可以用Cn来表示长度为

2n的这样一个对应的括号

当然这个括号的表示我们

同样呢可以用其他的方式

我们不一定是用方括号 圆括号

我们甚至可以用XY来进行表示

其实这样一个问题同样有

一个专有的名字

它被称为是Dyck Word

也就是我们如果用XY来

分别表示左括号和右括号的话

那么我们要找到一个合理的

括号方式的话

意味着XY XY进行排列的时候

有一个规则

也就是我对应的左边这个X

它开始的时候

到某一个部分结束

这时候左边的X的个数不能少于

这时候出现的Y的个数

也就是我括号括过去

最后不能右括号比左括号还多

所以这个问题仍然可以

对应于格路问题

不超过对角线

那么这个问题在计算机界

也非常有用

因为有一种形式化语言

被称为是Dyck Language

它就是在数学 计算机以及

语言学中的一种形式语言

它就是用不同的括号的

表示方法来进行语言的描述

这里面我们就知道了对应于

括号的这种枚举方式

它的个数就是卡特兰数

而同时我们还曾经有

一部很经典的电影

也就是一部爱情的片子

它叫做《Hands Across the Table》

虽然说这个名字可能只是

一个爱情故事

但它呢实际上是一个

经典的组合问题

为什么这样说呢

比如说我们大家n个人

在圆桌上进行吃饭

那么有可能大家要相互打招呼吧

那么如果相互两两之间

想要握手的话

就存在一个问题

会不会几个人相互一握手

就打交叉了呢

那这是一个非常尴尬的情况

因此我们希望这么多人围坐圆桌

进行相互握手的时候

彼此之间不能进行交叉

这就是一个Hands across the table的问题

那么请问这样一个问题又有多少种

不同的方案数呢

大家可能也猜到了

它的答案同样是卡特兰数

实际上在二十世纪的刚开始的时候

大家已经开始逐渐去寻找

不同类型的问题

对应的都是卡特兰数的结果

而有一位博士在他的博士论文中

就找到了一共有31种不同的问题

对应的都是卡特兰数的结果

而最新的研究

截止到2010年8月份

我们的斯坦利教授

一共列出了有190种不同的问题

它们的答案都是卡特兰数

所以说卡特兰数就是一个精灵

存在在我们世间的每一个角落里

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