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鸽巢原理的应用(1)

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鸽巢原理的应用(1)课程教案、知识点、字幕

大家刚才做了

刚才的quiz了吧

这个问题是说我有10双蓝袜子

12双白袜子

请问你最多抽多少次

随机的抽

最多多少回

就能凑成一对

那个时候就是在应用鸽巢原理

但是问题是哪个是鸽子

什么是巢

这里虽然说10双 12双

其实这个数字就是个虚数

真正在这个问题里面

我们会看到

实际上对应的颜色就是鸽巢

所以我们会看到

鸽巢原理虽然非常直观

真正想应用好

就一定要构造好鸽子

构造好鸽巢

下面我们来看这样一道经典的题目

已知我们有n加1个正整数

而它们的范围呢是小于

或者等于2n的

2n范围内随便取了正整数中

我们证明当中一定有

两个数是互质的

大家对这个问题有什么思路吗

其实这个问题也有典故的

当初在匈牙利的时候

有一位神童他叫波沙

有一位数学家听说了波沙非常牛

于是他亲自到波沙家拜访

他为了验证说波沙确实与众不同

他就给他出了这道题

当年波沙只有11岁

他仅仅思考了不到半分钟

就给了正确答案

要么这里我也给大家

留出半分钟的时间

让大家仔细地思考一下

不知道大家有没有答案呢

你是怎么设计的鸽子

怎么设计的巢呢

我们现在就来说一下波沙的解答吧

波沙是这样做的

他确实一共有n个盒子

每个盒子他放两个球

这个数字这么安排

1和2放在第一个盒子中

3和4放在第二个盒子中

5和6

相邻的数字我们把它都放进去了

然后这时候我们会发现

我们确实有了n个盒子

之后我们要从

这n个盒子里面往外取数

我们要取多少个呢

我们要取n加1个

因此总会有至少

两个数字来自于同一个盒子

而同一个盒子装的是

相邻的两个互质的数

因此不管怎么样

无论我怎么去选

这时候我这n加1个正整数中

必然能够抽到两个数字

它们是互质的

所以可以看到大波沙确实非常聪明

设计了精巧的鸽巢

设计了精巧的鸽子解决了这个问题

但我们再看另外一道题

那么同样还是从1到2n

我们也是从中间取n加1个数

还有什么样的结论呢

在这n加1个数中

至少有一对数

其中一个数是另外一个数的倍数

这该如何构造鸽子和鸽巢呢

实际上我们在想

要求倍数

我们是不是可以先提因子呢

任何一个数字我都可以

不停地提取2这个因子

最后剩下的数字肯定是

2的多少k次方乘以一个奇数

每个数字我都可以这样进行处理

之后呢

它们就会产生一个对应的奇数序列

假如说我每一个数字

去掉所有的2的因子

之后剩下的奇数序列

变成了R1 R2

一直到rn加1

这时候我们会发现这n加1个数字

要落在1到2n之间的奇数范围内

而1到2n中有多少个奇数呢

只有n个呀

但现在我有n加1个数

飞向n个奇数鸽巢

这时候我们就可以

利用鸽巢原理了

必然有2个数字在

这个r序列中是相等的

而比如说假设Ri等于Rj

等于小r的话

那就意味着原来这个数字Ai和Aj

Ai表示的是

2的某次方乘以小r

而Aj它可以是

2的kj次方乘以小r

因为它们数字如果不相等的话

意味着它们只是2的幂次不同

而可以直接整除

这样就构造出了鸽巢和鸽子

证明了Ai和Aj之间有倍数关系

下面我们来讲一个

看起来非常奇妙的一个题目

我们有这样一个序列

A1 A2一直到A100

每个数字呢

都是由1或者2组成的

那这样一个序列中我们知道

从某一个数字开始

它的顺序的相邻的

这10个数字和不超过16

也就是说从Ai开始

Ai加Ai加1

一直加到Ai加9

它们是小于等于16的

我有一个这样的结论

如果上面的条件都满足的话

则至少存在一个h和k

那么h和k作为下标

从Ah一直到Ak之间

它们这个序列之和的话

他们的数字和恰好等于39

他现在有点觉得非常奇怪

怎么就是这样一个序列

最后中间子串Ah Ah加1

一直加到Ak

最后它们的和恰好会等于39呢

我们来看这样一道题目

它最终实际上是要

得到一些序列的和的

那我们是不是可以去

构造一些序列和呢

假如我们就用Sj表示

从A1一直到累加到Aj

那j的取值当然就是从1到100了

那这时候这些序列S构成了一些串

对应的S1肯定是最小的

S1小于S2

一直小于S100

那S100它等于多少呢

S100是不是就相当于从

A1一直加A2

一直累加到A100

中间有100个数字

而有一个条件是说

任意的10个相邻数字之和

不超过16

那这里我对于S100

是不是可以前10个是一组

小于等于16

中间A11到A20是一组

依次往后

我一共可以把它分成10组

每一组都是小于等于16的

那意味着S100就应该小于

等于10乘以16

也就是S100是小于160的

而对应着39这个数字

和160有什么玄妙之处呢

我们会发现160加上

39恰好等于199

我们是不是看到

一点n减1这样的东西呢

那我们就去构造一下

比如说我可以对应于每一个S

我都累加上39

会得到什么

S1加39

S2加39

一直累加到S100加39

这时候对应的我们

一开始有S序列S1到100

接下来我们还有S1加39

S2加39

一直累加到S100加39

这两项一共有多少个序列呢

它们一共有200项

而它的最大值是多少呢

对应于我们算得出来

S100的界是160

那么最大值就

应该是S100加上39

应该等于199

这里我看到了一共有200项

而最大的数字是199

这意味着它们其中

会有两项是相等的

那谁和谁会相等呢

在S1到S100之间

我们刚才已经说了

是个递增关系

而S1加39

一直到S100加39

也是个递增关系

它们自己内部是不会相等的

要想相等无非就是在

S1到S100中有一项拿出来

刚好等于后面的SJ加上39

那必然我们就找到了

第一项Sk要等于后面的某一项

我们用Sh来表示

Sk等于Sh加上39

这里面我可以假设k大于h

那得到了什么

是不是Sk减去Sh就等于39呢

Sk减去Sh不恰巧

就是从Ah加Ah加1

一直累加到Ak

恰好等于39

这就证明了我们说到了中间的

一个子串之和恰巧等于39

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