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Polya定理的应用(1)在线视频

Polya定理的应用(1)

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Polya定理的应用(1)课程教案、知识点、字幕

其实我们有了波利亚定理就可以

求解相应的对应的置换群着色

我们先拿一个简单的例子来看

我们看平面中的等边三角形

对于等边三角形它有三个顶点

这时候想问题

如果对于顶点可以进行

红 蓝 绿的三着色

请问

有多少种不同的方案

对于三着色我们知道如果把它的

所有的图象集画出来是非常庞大的

我们就考虑它对应的结构

其实对应于三维空间中我们要想

考虑三角形进行旋转翻转的话

对应的就是交换群S3

首先我们来考虑

对于中心就可以进行

正负120度的旋转

它应该长什么样子呢

这对应于么转可以变成1 3 2

反过来再转转成了1 2 3

这时候因为在波利亚定理中我们只需要考虑

它的循环长什么样子

对于细节上可以稍微忽略一下

这时候我就看

这样的循环它应该有多少个

实际上我们可以看到

因为1 2 3

换成了3 2 1

它是个三阶循环

有一个

因为角度是正负120度

因此这样的置换有两个

接着我们可以根据不同的

对称轴进行翻转

比如说固定住1点

3 2进行互换

这时候发现1阶循环有一个

2阶循环也有一个

符合这样一个结构对应的

置换有多少个呢

我有多少个对称轴就意味

有多少个不同的翻转

这时候正好有3个不同的对称轴

因此这样的置换有3个

另外还有一个比较简单的

就是根本不动

不动的情况下

1还是1 2还是2

3还是3

这时候1阶循环有3个

那么我们就会发现置换

一共有多少个呢

无非就是2加3加1

一共有6个

那么对应于我们要求

每一个置换中它有多少个循环

我们也已经依次列出来

对应于波利亚定理中

我们要求G的个数

就是刚才计算的6

对于后面的C(Pi)

加起来的话

我们可以看这里面对应于第一个正负

120度的时候

它只有一个循环

三着色就是3的1次方

有多少个呢

有2个

所以就是2乘以3的1次方

接着对应于翻转

翻转它有多少个呢

对应它有三个不同的轴

所以是三个

而它对应的应该是

三着色的多少次幂

我们来看

它一共有两个循环

就是三着色的二次幂

在不动的情况下

有4个不同的循环

因此是3的4次方

我们进行累加以后再除以

整个阶的个数6就得到了答案

下面我们来举一个

有关有机化学题目

实际上我们知道在有机化学中

有很多的立方体结构

比如说甲烷CH4

它有4个键

它的四个键可以有氢 氯

甲基 乙基等等进行连接

请问有多少种不同的构造方案呢

实际上它的结构就是

对应一个正四面体

而它对应的中心正好是

一个炭原子

这个四面体如何去考虑它的

顶点用不同的氯

氢来进行着色

这个问题就转化为正四面体

四个顶点进行着色的问题

首先我们应该分析它的转动群

对于这个正四面体来说

它的转动群是什么样呢

首先我们看到四个顶点它的不动

置换意味着A顶点

还是A B C D

它一共有一个一阶循环

对应的情况接着我们来看

如果从顶点向下对应的中心

可以构造一个对称轴

这时候按这个轴进行旋转的话

我们可以是正的120度

旋转或者是负的120度旋转

这时候产生的置换来说

我们拿AC这样的轴来转的话

它对应的是A不动

而BCD进行三阶循环

因此它的置换变换成A不动BCD

或者另外一个角度A不动BDC

同样我取另外一个不动点

比如说B不动

还产生置换

B不动ACD与

B不动ADC

以及置换C不动的时候

ABD和ADB

还有ABC ACB等等

因为我们对应角度一共有两个

而对应的不动的顶点有四种选择

因此总体来说这样的置换有8个

而每个置换长什么样子呢

都对应有一个一阶循环

有一个 三阶循环有一个

它的置换是这样的结构

除了刚才对应的顶点

不动下面进行旋转之外

我们还可以找到它的棱中

对应的棱中

棱中对应切分开之后

可以两两之间进行翻转

也就是A换B C换D

对于正四面形对边中心进行连线

旋转180度

我们可以把它写成AB互换

CD互换 AC互换

BD互换 AD互换

BC互换

一共有多少个呢

我们发现这两个对应的是一个

这两个对应的是一个

而正面和背面对应的是一个

在正四面体中一共有6条棱

每两个构成了棱中对棱中

因此它一共有三个对称的

这样的一个对称轴

每一个对称轴产生的

循环是二阶循环

有两个

这时候我们已经把

对应的置换列了出来

再代到对应的波利亚定理中

对于第一个不动循环

应该有一个

而它进行四着色

因此是4对应的k次方

而k代表着有多少个循环

在不动循环中刚好有4个循环

因此它对应的是4的4次方

再加上第二类置换一共有8个

8乘以4乘以多少个循环

这里刚好是两个循环

是4的平方

再加上3乘以4再乘以

对应多少个循环

这里也是4的平方

同样我们不要忘记还要除以

所有的置换个数1个加8个

加3个刚好是12个置换

根据波利亚定理我们就知道

这样的甲烷不同构造

就应该有36种

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