当前课程知识点:组合数学 > 群 > 闲话群 > 无处不在的群(1)
我们讲那么多有关群的概念
其实我们来闲话群
什么意思
我们到底去了解一下群的历史
说起来什么是群
群就是说有一个集合
而且还有一个集合上的运算
它满足四个条件
封闭型 结合律 有单位元 有逆元
这就是一个群
所以大家会看
这到底是什么
这个群是什么
它太抽象了
以至于有人就说到
群什么都不是
所以它什么都是
它体现了抽象和
现实之间的对应关系
我们可以看到
什么是群呢
大家肯定都玩过魔方吧
魔方在不停地转 回复 还原
其实魔方的所有可能的
重新排列就是一个群
称为魔方群
同样我们知道我们在
加密解密的过程中
无非就是ABCD进行一个重组
实际上26个英文字母
进行的这样一个排列
也是一个群
对于我们现实生活中
有很多美丽的图案
它也是群
而在几何中
在化学中
我们看到了无数多个群的存在
可以说群是我们生活中无处不在的
而群真正的历史实际上
是从伽罗华开始的
那么伽罗华他一开始研究
并没有从群作为起点
他实际上是研究了一个
200多年都没有解决的问题
也就是对应于一元多次的方程组
它是否有直接的根式表达
我们都知道一元二次方程组
可以是2a分之负b加减
根号下b平方减4ac
那么三次的也可以写成一个表达式
4次的
5次的
有没有相应的直接根式表达呢
其实人们走到5次的时候
已经开始迷茫了
而真正解决这个问题的就是伽罗华
伽罗华用群的理论证明了
对于5次甚至更高次的
这样的一元多次方程组
是没有通项表达的
这套理论给几百年的
一个争论划上了句号
可以说当时他的研究是非常超前的
而且提起伽罗华一定要
描述一下他的一生
他的一生非常的短暂
仅仅只有21年
但是呢在他的生命中
可以说是充满了色彩
他几乎没有经过很正式的数学教育
而且他的性格比较乖张
有一次他在高考的时候
也就是相当于我们现在的高考吧
他们要经过一次面试
但是由于他觉得面试官
对他提出了一个非常简单的
甚至藐视性的问题
那时候他竟然拿起
黑板擦打了考试官
可以见这样一个同学
他是一个什么样的性格呢
而同时他写了几篇论文
这几篇论文可以说是命运多灾多难
他把他自己的成果
首先写成了备忘录
送给了柯西
而柯西看了之后
觉得可能是对的
但是不能确定
他就建议伽罗华
把这个论文重新提交
而第二次提交落到谁的手里呢
落到了傅立叶手中
但是不久之后傅立叶就病逝了
他提交的论文也不知所踪
最后伽罗华决定
要把他的论文送给泊松
而泊松看了之后驳回了
理由是根本无法理解
而这时候伽罗华
虽然有一生的数学的才华
但是他投入的
把自己的生命全投入了一场革命中
最后他的决斗实际上是为了他追求
一位人们熟知的一位女性
而这样一场决斗结束了
他21岁年轻的生命
在他临死之前
也就是1832年5月29日晚上
他知道他根本不可能
在这场决斗中取得胜利
因此他连夜把自己的思想
写成了一副非常简短的信
而在这个信的旁边
他写到我没有时间
我没有时间
同时他跟他的朋友说
请你把我这些论文送给高斯
或者雅可比
让他们去看一下
并不要判断我这篇文章的正确性
而请他们去判断我的
论文到底具有什么样的重要性
这就是伽罗华短暂的一生
他的朋友接受了他的嘱托
确实送给了各大高校
当时人们仍然无法理解他的思想
直到1846年刘维尔
拿到了他的初稿之后
花了将近几个月的时间才终于解读
出来论文中的精华之处
后来就人就说
他在黎明时刻写下的最后这些东西
会使一代代的数学家不断地前行
他一劳永逸地发现了群
解决数学史几个世纪的谜团
而他的英年早逝使得
数学整整推迟了几十年的时光
可以说当初伽罗华研究群的时候
并没有想到群可以用来计数
甚至可以来求染色的方案数
而群更美丽的地方在于
它具有超强的对称性
它相当的抽象和优美
有一个东西
这称为正规子群
我们可以看到其实在群中
又有一些子群
那么有一些子群除了自己
是群之外
它如果去除原来的群的话
仍然得到一个群
那这样的话
我们实际上就可以得到一些通过
除法构造出来的商群
那就有点像一些数能够有因子一样
而我们同样也想到
在我们现实中
有一些数是素数
而素数意味着它不能进行因式分解
那同样我们对应的子群
也可以这样想
会不会有某些群它不可以
去进行子群的分解呢
这时候我们又冥冥之中找到
一些类似素数的性质
那么就会问
我们都知道素数到底现在有多少个
仍然是一个大家研究的问题
那么对应于不可以分解的这样的群
如果我们称它为是单群的话
能找到所有的单群吗
这也就是数学家所研究的问题
其实在1823年的时候
伽罗华就已经发现了
对于交错群A5它就是个单群
从而他构造出来了它是不是
可解的问题
而同时接着克莱因又接着去
发现了几何和群之间的关系
到了1884年他们发现了
有16族的有限李群
接着人们就逐渐猜想是不是
群的个数
单群个数是有限的
是不是仅仅只有若干个有限单群呢
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