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无处不在的群(1)在线视频

无处不在的群(1)

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无处不在的群(1)课程教案、知识点、字幕

我们讲那么多有关群的概念

其实我们来闲话群

什么意思

我们到底去了解一下群的历史

说起来什么是群

群就是说有一个集合

而且还有一个集合上的运算

它满足四个条件

封闭型 结合律 有单位元 有逆元

这就是一个群

所以大家会看

这到底是什么

这个群是什么

它太抽象了

以至于有人就说到

群什么都不是

所以它什么都是

它体现了抽象和

现实之间的对应关系

我们可以看到

什么是群呢

大家肯定都玩过魔方吧

魔方在不停地转 回复 还原

其实魔方的所有可能的

重新排列就是一个群

称为魔方群

同样我们知道我们在

加密解密的过程中

无非就是ABCD进行一个重组

实际上26个英文字母

进行的这样一个排列

也是一个群

对于我们现实生活中

有很多美丽的图案

它也是群

而在几何中

在化学中

我们看到了无数多个群的存在

可以说群是我们生活中无处不在的

而群真正的历史实际上

是从伽罗华开始的

那么伽罗华他一开始研究

并没有从群作为起点

他实际上是研究了一个

200多年都没有解决的问题

也就是对应于一元多次的方程组

它是否有直接的根式表达

我们都知道一元二次方程组

可以是2a分之负b加减

根号下b平方减4ac

那么三次的也可以写成一个表达式

4次的

5次的

有没有相应的直接根式表达呢

其实人们走到5次的时候

已经开始迷茫了

而真正解决这个问题的就是伽罗华

伽罗华用群的理论证明了

对于5次甚至更高次的

这样的一元多次方程组

是没有通项表达的

这套理论给几百年的

一个争论划上了句号

可以说当时他的研究是非常超前的

而且提起伽罗华一定要

描述一下他的一生

他的一生非常的短暂

仅仅只有21年

但是呢在他的生命中

可以说是充满了色彩

他几乎没有经过很正式的数学教育

而且他的性格比较乖张

有一次他在高考的时候

也就是相当于我们现在的高考吧

他们要经过一次面试

但是由于他觉得面试官

对他提出了一个非常简单的

甚至藐视性的问题

那时候他竟然拿起

黑板擦打了考试官

可以见这样一个同学

他是一个什么样的性格呢

而同时他写了几篇论文

这几篇论文可以说是命运多灾多难

他把他自己的成果

首先写成了备忘录

送给了柯西

而柯西看了之后

觉得可能是对的

但是不能确定

他就建议伽罗华

把这个论文重新提交

而第二次提交落到谁的手里呢

落到了傅立叶手中

但是不久之后傅立叶就病逝了

他提交的论文也不知所踪

最后伽罗华决定

要把他的论文送给泊松

而泊松看了之后驳回了

理由是根本无法理解

而这时候伽罗华

虽然有一生的数学的才华

但是他投入的

把自己的生命全投入了一场革命中

最后他的决斗实际上是为了他追求

一位人们熟知的一位女性

而这样一场决斗结束了

他21岁年轻的生命

在他临死之前

也就是1832年5月29日晚上

他知道他根本不可能

在这场决斗中取得胜利

因此他连夜把自己的思想

写成了一副非常简短的信

而在这个信的旁边

他写到我没有时间

我没有时间

同时他跟他的朋友说

请你把我这些论文送给高斯

或者雅可比

让他们去看一下

并不要判断我这篇文章的正确性

而请他们去判断我的

论文到底具有什么样的重要性

这就是伽罗华短暂的一生

他的朋友接受了他的嘱托

确实送给了各大高校

当时人们仍然无法理解他的思想

直到1846年刘维尔

拿到了他的初稿之后

花了将近几个月的时间才终于解读

出来论文中的精华之处

后来就人就说

他在黎明时刻写下的最后这些东西

会使一代代的数学家不断地前行

他一劳永逸地发现了群

解决数学史几个世纪的谜团

而他的英年早逝使得

数学整整推迟了几十年的时光

可以说当初伽罗华研究群的时候

并没有想到群可以用来计数

甚至可以来求染色的方案数

而群更美丽的地方在于

它具有超强的对称性

它相当的抽象和优美

有一个东西

这称为正规子群

我们可以看到其实在群中

又有一些子群

那么有一些子群除了自己

是群之外

它如果去除原来的群的话

仍然得到一个群

那这样的话

我们实际上就可以得到一些通过

除法构造出来的商群

那就有点像一些数能够有因子一样

而我们同样也想到

在我们现实中

有一些数是素数

而素数意味着它不能进行因式分解

那同样我们对应的子群

也可以这样想

会不会有某些群它不可以

去进行子群的分解呢

这时候我们又冥冥之中找到

一些类似素数的性质

那么就会问

我们都知道素数到底现在有多少个

仍然是一个大家研究的问题

那么对应于不可以分解的这样的群

如果我们称它为是单群的话

能找到所有的单群吗

这也就是数学家所研究的问题

其实在1823年的时候

伽罗华就已经发现了

对于交错群A5它就是个单群

从而他构造出来了它是不是

可解的问题

而同时接着克莱因又接着去

发现了几何和群之间的关系

到了1884年他们发现了

有16族的有限李群

接着人们就逐渐猜想是不是

群的个数

单群个数是有限的

是不是仅仅只有若干个有限单群呢

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