当前课程知识点:组合数学 >  群 >  置换群 >  置换群

返回《组合数学》慕课在线视频课程列表

置换群在线视频

置换群

下一节:共轭类

返回《组合数学》慕课在线视频列表

置换群课程教案、知识点、字幕

刚才我们给大家介绍了群的概念

但是到底群和我们今天提出的这样

一些着色问题有什么关系呢

我们回头再看一下

在刚才做quiz的时候

我们发现正方形是可以转的

那么如果我们给四个顶点都

打上标号的话

分别是1 2 3 4

这时候它转的时候会发生什么情况

我们会发现

比如说1 2 3 4这样一个标号

如果我进行旋转

那么比如说顺时针转90度的话

原来的1 2 3 4

现在变成了什么

变成了4 1 2 3

那我们就会有这个想法

对于这样的旋转

是不是也可以用群来表示呢

其实这样的一个群它实际上

就用1到n这种数字来表示

我们称它为是置换群

置换群是实际上是最重要的一个群

因为任何一个有限群

都可以用它来表示

它和它们之间都有一一对应关系

那所谓什么叫置换呢

置换实际上就是排列

我们都知道1到n这么多个数字

它可以有若干种不同的排列

比如说1 2 3可以

换成3 2 1

这时候我们对应于可以把

一个置换写成这样的一个形式

上面是从1到n

下面呢是对应的1变换成谁

2变换成谁

那这就是对应的

全排列中的一种排列

n阶置换实际上一共有n个阶乘个

所以呢我们会发现

对应于它实际上这些所有的置换

构成了一些集合

我们可以认为它们构成了G集合

而对应于在这个集合上所有的

置换凑在了一起

对应于它的运算该长什么样子呢

我们定义了一种叫做

置换乘法的东西

我们已经有了两个置换p1

1变3

2变1

3变2

4变4 另外还有一个p2

1变4

2变3

3变2

4变1

这时候我们来看一下

它的所谓的置换乘法该怎么操作

这时候我们先看

p1置换成p2

因为我先把1 2 3 4

变成了3 1 2 4

然后对应的p2

它的意思是说1 2 3 4

要变成4 3 2 1

为了要和对应的p1结果的

相互连接起来

我们把p2重新整理了一下

对应于3要变2

3要变2

1要变4

2要变3

4变1

这时候我们会发现其实

置换它的顺序前后排列是无关的

只要保证1仍然和4进行交换

2仍然和3进行交换

3和2交换

4合1交换

就可以了

那这样的话我们会发现它的

乘法做到了什么呢

首先第一步先做P1的时候

1变成了3

第二步3变成了2

因此对应于P1乘法P2

它们的结果是将的1变成了2

因此答案是1换2

对应于2先换了1

而1又变成了4

因此2要换成4

因为2和4

3换2

2换3

3变3

4变4

4变1

因此变成了4变1

P1和P2进行相乘

它们的结果就是

1 2 3 4变成了

2 4 3 1

这时候我们再反过来一看

比如说先做P2

再做P1的话

会有什么结果

先做P2

1 2 3 4变成了

4 3 2 1

那同时我们要把P1重新整理

按照4 3 2 1为序的话

4变成了4

3变成了2

2变成了1

1变成了3

因此这时候P2我们重选了一下

1变成4

然后4再变成4

因为答案是1变4

2变成3

3变成2

因此2变2

3变成2

2变成1

因此3变1

4变成1

1变成3

因此4换3

这时候我们会发现

P1乘以P2得到答案是

1 2 3 4变2 4 3 1

但是P2乘以P1答案是

1 2 3 4变成4 2 1 3

这时候我们有一个结论

发现交换律是不满足的

因此这里给大家一个例子会发现

在群中它们的运算并不一定

满足交换律

而我们发现这就是相当于

不是一个我们所说的到交换群

但是因为它是一个群

它是满足结合律的

我们通过乘法其实是

可以简单的得到的

它是满足结合律的

下面我们来证明一下为什么

我们可以用对应的置换集合和

它的相应的乘法定义

可以构成一个群

我们假设这个置换就是

定义在1到n的上面

那么我们看是不是

满足群的四个概念呢

首先是不是封闭的

1 2一直到n

它们变换成a1 a2

一直到an

对应的另外一个置换

从a1变成b1

a1变b2

一直到an变bn

根据它的乘法

我们就知道了

自然结果就是1变成了b1

2变成了b2

一直到n变成了bn

这还是一个定义在

1到n上的一个置换

因此呢它是可以满足封闭性的

对应于结合性

结合性我们分析一下

1 2一直到n变成了

a1 a2一直到an

对应的第二个置换可以是

a1 a2到an变成

了b1 b2变成了bn

那么它们两个先进行结合的话

然后再和第三个置换进行结合

b1 b2 bn到

c1 c2到cn

这时候最终的结果

无非就是1换成c1

2换成了c2

n换成了cn

如果我们换一个顺序呢

我先换后面的a1变b1

b1变c1

这时候a1换成了c1

然后再和第一个置换进行结合相乘

1换成了a1

而a1换成了c1

最终结果还是d换成c1

因此我们会发现

无论是前面两个先做

还是后面两个先做

它们得到的答案都是一样的

因此是满足结合律

对应的单位元

所谓单位元就是在置换中

它们元素不发生变化

因为1 2 3 4 5

一直n

对应的变换成

还是1 2 3 4 5

到n这样一个对应的不动的置换

我们就叫做单位元

用e来表示

是否有逆元呢

所谓的逆元就是1要换成a1

要把它最终换回来运算

还仍然变成1的话

无非就是再来一个置换把

a1换成1就可以了

因此1 2 3一直到n对应的

a1 a2一直到an的逆元

就应该等于把它们翻过来

a1换1

a2换2

一直到an换n

因此我们总结会发现

对应于在多个置换构成的集合

它们上面的置换乘法定义下

构成了一个置换群

既然置换可以构成一个群

那我们就举一个例子

我们来看

对应于一个正三角形

它转动的时候我们仍然

考虑它的顶点

一共是1 2 3三个顶点

是不是构成了一个置换群

我们可以考虑首先

这个三角形不动的时候

它就构成了一种置换

对应于1 2 3点

仍然还是1 2 3

因此我们可以把它写成p1

那接下来它可以转

转的时候

它有多种角度

它可以正方向120度它仍然

产生了一个新的对应的置换结果

比如说我们现在看

1 2 3这样排列的时候

如果我旋转120度

它们的点又重合了

但是序号发生了变化

会发现1点变成了3点

而原来的2点变成了1点

对应的3点变成了2点

这时候我们就写出一个置换p2

也就是1 2 3变成了2 3 1

那么当然这是这个方向进行旋转

如果另外一个角度进行旋转的话

仍然可以得到一个置换

我们用P3来表示

那么除了这样绕中心转之外

它实际上还有对称轴

我们可以考虑有没有可能

它绕着对称轴进行翻转

比如说这里我们把1点固定住

对应于下面的两个点2和3进行互换

这时候我们产生了一个新的置换

也就是1仍然是1

而2换3

3换2

对应于不同的点

1点固定

我们对应的是P4

这时候如果我们固定住2点

和固定住3点

对应的我们可以得到P5和P6

这时候我们发现

实际上对应于一个等边三角形

它进行旋转和翻转的话

它就构成了一个置换群

当然我们会发现

如果我们要把所有的

阶乘全部都拿来

比如说像这个例子中

对应于3个元素

我们要进行全部的排列

无非就是3的阶乘等于6种嘛

我们会发现

三角形的这一个置换如果

考虑翻转的话

它就已经把所有的阶乘数

全部计算在内了

这个时候它构成了一个最大置换群

这个置换群我们称之为

是n阶对称群

一般呢就用Sn来表示

那么对应于三角形它一共

进行旋转和翻转的话

可以构成的就是S3对应于

这样一个对称群

它一共有6个不同的置换

但是并不是所有的置换群

都需要把所有的全排列拿来

假如说我在这样一个

三角形旋转的时候

我说不允许翻转

只允许旋转

它仍然构成了一个群

而这个群实际上就应该是S3的子群

组合数学课程列表:

漫谈组合数学

-什么是组合数学

--什么是组合数学

--讨论题

-最精巧的排列——幻方

--幻方

-漫谈组合数学--最精巧的排列——幻方

-苦难的羊皮纸卷

--羊皮纸卷

-苦难的羊皮纸卷--作业

-你的手机密码安全吗

--你的手机密码安全吗

-漫谈组合数学--你的手机密码安全吗

-暴力枚举和抽象转换

--世界杯引出的问题

--世界杯引出的问题--练习

--一一对应

--七桥问题

--小结

--讨论题

-大家谈组合数学(1)

--采访武永卫老师

-第一周作业

--作业说明

--H

--U

--G

--作业讨论区说明

-第一周演示程序

--程序讨论区说明

--幻方生成器

--换方计数

--屏幕解锁方案数

--欧拉路计数

--共享程序

小乒乓球的组合之旅

-加减乘除来计数

--计数的基本法则

-排列还是组合

--排列还是组合

--小乒乓球的组合之旅--排列还是组合

--格路模型与组合恒等式

-各种各样的排列

--圆排列和项链排列

--圆排列和项链排列--习题

--多重排列

--多重排列--练习

-多样的组合

--可重组合

--不相邻组合

--小乒乓球的组合之旅--多样的组合

-钟声里的全排列

--钟声里的全排列

--钟声里的全排列

--字典序法

--SJT算法

--程序支持与Stirling公式

-第二周作业

--H

--U

--G

--思考题

--公式测试

--作业讨论区说明

-第二周演示程序

--程序讨论区说明

--排列数和组合数的计算

--全排列生成

--组合生成器

--共享程序

-参考资料:Stirling估计式

--Stirling估计式

初识母函数

-母函数是函数的母亲吗

--母函数的定义(1)

--母函数的定义(1)--练习

--母函数的定义(2)

--母函数的定义(2)--练习

-母函数的简单应用

--母函数的简单应用(1)

--母函数的简单应用(2)

--初识母函数--母函数的简单应用

-整数拆分

--整数拆分(1)

--整数拆分(2)

-Ferrers图像

--Ferrers图像

--Ferrers图像--作业

-母函数与递推关系

--母函数能做什么

--Hanoi问题(1)

--Hanoi问题(2)

--偶数个5怎样算

--偶数个5怎样算(2)

--母函数小结

-大家谈组合数学(2)

--科研,找工作与组合数学

-第三周作业

--H

--U

--G

--思考题

--作业讨论区说明

-第三周演示程序

--程序讨论区说明

--整数拆分

--汉诺塔

--共享程序说明

线性常系数递推关系

-Fibonacci数列

--Fibonacci兔子

--Fibonacci恒等式

--线性常系数递推关系--Fibonacci数列

-Fibonacci数列的应用

--桌布魔术

--桌布魔术--练习

--Fibonacci的直接表达式

--Fibonacci优选法

--艾略特波浪曲线

-线性常系数齐次递推关系

--定义

--特征多项式

--母函数与特征多项式

--根据特征多项式求解递推关系通解(1)

--根据特征多项式求解递推关系通解(2)

--线性常系数递推关系--线性常系数齐次递推关系

-说“数”解题

--说“数”解题(1)

--说“数”解题(2)

-第四周作业

--H

--U

--G

--GT思考题

--作业讨论区说明

-第四周演示程序

--程序讨论区说明

--Fibonacci优选法

--Fibonacci数值计算

--程序共享说明

-爆笑花絮

--爆笑花絮

-参考资料:K线分析中的Fibonacci 相关理论

--Fibonacci retracement资料

神奇的序列

-Catalan数

--计算机界的精灵

--Catalan数的直接表达式

--Catalan数的各种实例

--神奇的序列--Catalan数

-指数型母函数

--指数型母函数

--指数型母函数的应用

--神奇的序列--指数型母函数

-错排

--错排1

--错排2

--神奇的序列--错排

-Stirling数

--第一类Stirling数

--神奇的序列--Stirling数

--第二类Stirling数

-母函数小结

--母函数小结

-大家谈组合数学(3)

--采访郭家宝(BYVoid)

-第五周作业

--H

--U

--G

--思考题

--作业讨论区说明

-第五周演示程序

--讨论区说明

--Catalan数

--第二类Stirling数

--程序共享

容斥原理和鸽巢原理

-且容且斥

--容斥原理

--容斥原理的证明

--容斥原理和鸽巢原理--且容且斥

-容斥原理的精妙

--容斥原理的应用(1)

--容斥原理的应用(2)

--容斥原理的应用(3)

-回忆过去,容斥新解

--容斥原理的应用(4)

--容斥原理的应用(5)

--容斥原理的应用(6)

--容斥原理和鸽巢原理--回忆过去,容斥新解

-鸽子抢巢

--鸽巢原理

--鸽巢原理--练习

--鸽巢原理的应用(1)

--鸽巢原理的应用(1)--练习

-看得见摸得着的鸽巢

--鸽巢原理的应用(2)

--韩信点兵

--中国剩余定理

--容斥原理和鸽巢原理--看得见摸得着的鸽巢

-6人行和Ramsey数

--6人行

--Ramsey数

--小结

-第六周作业

--H

--U

--G

--GT

--作业讨论区说明

-第六周演示程序

--讨论区说明

--Find a multiple

--程序共享说明

-可以转的世界

--可以转的世界

--可以转的世界--练习

--伽罗华与群

--群的定义

--群的定义--练习

--群的一些概念

-置换群

--置换群

--群--置换群

--共轭类

--对换

--对换--练习

--置换群的应用

-Burnside引理

--着色问题的等价类

--Burnside引理--作业

--Burnside引理

--Burnside引理的应用

-闲话群

--无处不在的群(1)

--无处不在的群(2)

-第七周作业

--H

--U

--G

--作业讨论区说明

Polya定理

-Burnside引理的困境

--Burnside引理的困境(1)

--Burnside引理的困境(2)

-从Burnside到Polya

--Polya定理

--Polya定理的应用(1)

--Polya定理的应用(2)

-立方体旋转

--立方体旋转(1)

--立方体旋转(2)

--立方体旋转--作业

--立方体旋转(3)

--立方体旋转--作业

--立方体旋转(4)

-母函数型Polya定理

--母函数型Polya定理(1)

--母函数型Polya定理(2)

--母函数型Polya定理(3)

--母函数型Polya定理(4)

--Polya定理--母函数型Polya定理

-图的计数

--图的计数

-总结

--本章小结

-第八周作业

--H

--U

--G

--GT

--作业讨论区说明

-大家谈组合数学(4)

--采访黄连生老师

组合之美

-组合之美

--组合之美之计数

--组合之美之排列组合

--组合之美之多样组合和全排列

-组合之美之线性常系数递推关系

--组合之美之线性常系数递推关系

-组合之美之多样的序列

--组合之美之多样的序列

-组合之美之鸽巢原理

--组合之美之鸽巢原理

-组合之美之转动群与染色

--组合之美之转动群与染色

-采访邹欣

--采访邹欣1

--采访邹欣2

-知识点串串烧

--知识点串串烧

期末测验

-期末测验--期末测验

置换群笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。