刚才我们给大家介绍了群的概念
但是到底群和我们今天提出的这样
一些着色问题有什么关系呢
我们回头再看一下
在刚才做quiz的时候
我们发现正方形是可以转的
那么如果我们给四个顶点都
打上标号的话
分别是1 2 3 4
这时候它转的时候会发生什么情况
我们会发现
比如说1 2 3 4这样一个标号
如果我进行旋转
那么比如说顺时针转90度的话
原来的1 2 3 4
现在变成了什么
变成了4 1 2 3
那我们就会有这个想法
对于这样的旋转
是不是也可以用群来表示呢
其实这样的一个群它实际上
就用1到n这种数字来表示
我们称它为是置换群
置换群是实际上是最重要的一个群
因为任何一个有限群
都可以用它来表示
它和它们之间都有一一对应关系
那所谓什么叫置换呢
置换实际上就是排列
我们都知道1到n这么多个数字
它可以有若干种不同的排列
比如说1 2 3可以
换成3 2 1
这时候我们对应于可以把
一个置换写成这样的一个形式
上面是从1到n
下面呢是对应的1变换成谁
2变换成谁
那这就是对应的
全排列中的一种排列
n阶置换实际上一共有n个阶乘个
所以呢我们会发现
对应于它实际上这些所有的置换
构成了一些集合
我们可以认为它们构成了G集合
而对应于在这个集合上所有的
置换凑在了一起
对应于它的运算该长什么样子呢
我们定义了一种叫做
置换乘法的东西
我们已经有了两个置换p1
1变3
2变1
3变2
4变4 另外还有一个p2
1变4
2变3
3变2
4变1
这时候我们来看一下
它的所谓的置换乘法该怎么操作
这时候我们先看
p1置换成p2
因为我先把1 2 3 4
变成了3 1 2 4
然后对应的p2
它的意思是说1 2 3 4
要变成4 3 2 1
为了要和对应的p1结果的
相互连接起来
我们把p2重新整理了一下
对应于3要变2
3要变2
1要变4
2要变3
4变1
这时候我们会发现其实
置换它的顺序前后排列是无关的
只要保证1仍然和4进行交换
2仍然和3进行交换
3和2交换
4合1交换
就可以了
那这样的话我们会发现它的
乘法做到了什么呢
首先第一步先做P1的时候
1变成了3
第二步3变成了2
因此对应于P1乘法P2
它们的结果是将的1变成了2
因此答案是1换2
对应于2先换了1
而1又变成了4
因此2要换成4
因为2和4
3换2
2换3
3变3
4变4
4变1
因此变成了4变1
P1和P2进行相乘
它们的结果就是
1 2 3 4变成了
2 4 3 1
这时候我们再反过来一看
比如说先做P2
再做P1的话
会有什么结果
先做P2
1 2 3 4变成了
4 3 2 1
那同时我们要把P1重新整理
按照4 3 2 1为序的话
4变成了4
3变成了2
2变成了1
1变成了3
因此这时候P2我们重选了一下
1变成4
然后4再变成4
因为答案是1变4
2变成3
3变成2
因此2变2
3变成2
2变成1
因此3变1
4变成1
1变成3
因此4换3
这时候我们会发现
P1乘以P2得到答案是
1 2 3 4变2 4 3 1
但是P2乘以P1答案是
1 2 3 4变成4 2 1 3
这时候我们有一个结论
发现交换律是不满足的
因此这里给大家一个例子会发现
在群中它们的运算并不一定
满足交换律
而我们发现这就是相当于
不是一个我们所说的到交换群
但是因为它是一个群
它是满足结合律的
我们通过乘法其实是
可以简单的得到的
它是满足结合律的
下面我们来证明一下为什么
我们可以用对应的置换集合和
它的相应的乘法定义
可以构成一个群
我们假设这个置换就是
定义在1到n的上面
那么我们看是不是
满足群的四个概念呢
首先是不是封闭的
1 2一直到n
它们变换成a1 a2
一直到an
对应的另外一个置换
从a1变成b1
a1变b2
一直到an变bn
根据它的乘法
我们就知道了
自然结果就是1变成了b1
2变成了b2
一直到n变成了bn
这还是一个定义在
1到n上的一个置换
因此呢它是可以满足封闭性的
对应于结合性
结合性我们分析一下
1 2一直到n变成了
a1 a2一直到an
对应的第二个置换可以是
a1 a2到an变成
了b1 b2变成了bn
那么它们两个先进行结合的话
然后再和第三个置换进行结合
b1 b2 bn到
c1 c2到cn
这时候最终的结果
无非就是1换成c1
2换成了c2
n换成了cn
如果我们换一个顺序呢
我先换后面的a1变b1
b1变c1
这时候a1换成了c1
然后再和第一个置换进行结合相乘
1换成了a1
而a1换成了c1
最终结果还是d换成c1
因此我们会发现
无论是前面两个先做
还是后面两个先做
它们得到的答案都是一样的
因此是满足结合律
对应的单位元
所谓单位元就是在置换中
它们元素不发生变化
因为1 2 3 4 5
一直n
对应的变换成
还是1 2 3 4 5
到n这样一个对应的不动的置换
我们就叫做单位元
用e来表示
是否有逆元呢
所谓的逆元就是1要换成a1
要把它最终换回来运算
还仍然变成1的话
无非就是再来一个置换把
a1换成1就可以了
因此1 2 3一直到n对应的
a1 a2一直到an的逆元
就应该等于把它们翻过来
a1换1
a2换2
一直到an换n
因此我们总结会发现
对应于在多个置换构成的集合
它们上面的置换乘法定义下
构成了一个置换群
既然置换可以构成一个群
那我们就举一个例子
我们来看
对应于一个正三角形
它转动的时候我们仍然
考虑它的顶点
一共是1 2 3三个顶点
是不是构成了一个置换群
我们可以考虑首先
这个三角形不动的时候
它就构成了一种置换
对应于1 2 3点
仍然还是1 2 3
因此我们可以把它写成p1
那接下来它可以转
转的时候
它有多种角度
它可以正方向120度它仍然
产生了一个新的对应的置换结果
比如说我们现在看
1 2 3这样排列的时候
如果我旋转120度
它们的点又重合了
但是序号发生了变化
会发现1点变成了3点
而原来的2点变成了1点
对应的3点变成了2点
这时候我们就写出一个置换p2
也就是1 2 3变成了2 3 1
那么当然这是这个方向进行旋转
如果另外一个角度进行旋转的话
仍然可以得到一个置换
我们用P3来表示
那么除了这样绕中心转之外
它实际上还有对称轴
我们可以考虑有没有可能
它绕着对称轴进行翻转
比如说这里我们把1点固定住
对应于下面的两个点2和3进行互换
这时候我们产生了一个新的置换
也就是1仍然是1
而2换3
3换2
对应于不同的点
1点固定
我们对应的是P4
这时候如果我们固定住2点
和固定住3点
对应的我们可以得到P5和P6
这时候我们发现
实际上对应于一个等边三角形
它进行旋转和翻转的话
它就构成了一个置换群
当然我们会发现
如果我们要把所有的
阶乘全部都拿来
比如说像这个例子中
对应于3个元素
我们要进行全部的排列
无非就是3的阶乘等于6种嘛
我们会发现
三角形的这一个置换如果
考虑翻转的话
它就已经把所有的阶乘数
全部计算在内了
这个时候它构成了一个最大置换群
这个置换群我们称之为
是n阶对称群
一般呢就用Sn来表示
那么对应于三角形它一共
进行旋转和翻转的话
可以构成的就是S3对应于
这样一个对称群
它一共有6个不同的置换
但是并不是所有的置换群
都需要把所有的全排列拿来
假如说我在这样一个
三角形旋转的时候
我说不允许翻转
只允许旋转
它仍然构成了一个群
而这个群实际上就应该是S3的子群
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