当前课程知识点:组合数学 > 容斥原理和鸽巢原理 > 且容且斥 > 容斥原理的证明
我们已经有了容斥原理的形式
那么大家就想知道
那么能不能给一个很正式的证明呢
下面我们就拿简单的例子
先出发去证明容斥原理
比如说我们对应的想要证明
A1补集交上A2的补集
等于全集的个数减去A1个数
减去A2个数
加上A1交A2的个数
下面我们就来证明一下
对应于两个集合
它的容斥原理是否是对的
也就是A1的补集交上A2的补集
等于全集的个数减去A1个数
减A2个数
加上两两相交集合的个数
我们给一个比较形象的证明方法
我们先看左边的这样一个式子
它在计算什么呢
它实际上它在计算既不在A1
也不在A2中的元素个数 那么
右边是不是也在数同样的事情呢
我们来分析一下
那么既然左边说是不在A1
也不在A2
对于任何一个元素来说
它都要去判断在不在A1
在不在A2
是否给左边进行了贡献
所以我们可以分类来行
假如一个元素X
它不属于A1
同时也不属于A2
那它自然对左边的那个式子来说
要贡献1了
对于右边呢
右边它说它不属于A1
也不属于A2
当然它是属于全集的
因此它对于S来说贡献了一个1
但是对于A1 A2
以及A1交A2来说
它都贡献的是0
因此左边等于1
右边也是1
对于其他情况
假如说X是属于A1
但是不属于A2
也就是它只属于其中的一个元素
那么左边当然它不属于不会贡献
而右边呢
全集它必然有一个1
而它属于A1
因此在这个集合中它有
一个元素计算在内
对于A2
以及A1交A2
它贡献都为0
1减去1
左边和右边贡献都是0
对于另外一个情况X属于A2
但不属于A1
跟刚才是类似的
左边贡献是0
右边仍然是1减去0减去1
加上0等于0
而对于第四种情况
也就是说X既属于A1
而且还属于A2的话
左边当然贡献为0
而右边呢对于每一项S A1 A2
以及A1交A2它的贡献都是1
总结下来是1减去1
减1加上1等于0
通过这样的一个X对应的
四种不同的属性
我们会发现左右两边是完全相等的
因此我们可以证明出来
对于A1补交A2补
确实可以用容斥原理这样来表达
那么如果我们扩展一下
变成一共有m项集合呢
A1的补交A2补
一直交到Am的补
它们的个数是不是
正如容斥原理说的
全集个数减去单个单个集合个数
加上两两
再减去三三呢
一直累加到负1的m次方
所有元素的交集
同样我们还用类似的方法
我们看左边它在干什么
左边它是在计算不满足
任何属性的元素
也就是既不属于A1
也不属于A2
也不属于Am
而对应于一个元素
它如果确实不满足任何属性的话
对左边是贡献为1的
而右边除了s之外
其他的任何一个都带着某些集合A
所以对于右边来说
只有s贡献为1
其他的各个元素全部是0
左边两边都得1
如果说X只满足一个属性
有可能它满足A1属性
有可能满足A2属性
反正它只满足了一个属性
那对于左边来说
必然是0
而对于右边来说
因此它只满足一个属性
因此它必然只在某一个
单独的Ai中出现
而对于Ai交Aj呀
Ai交Aj交Ak等等等等
交集贡献全部是0
因此右端项是1减去1等于0
而如果它满足两个属性三个属性
依次向下
直到最后它只满足n个属性的话
n小于等于m
也就是说在这m个集合中
它可能是一个若干个集合的子集
左边肯定是0
而右边会得到什么呢
右边我们会想
对于s来说
它就相当于从n个里面
满足至少0个属性的都有贡献
因此我们可以用Cn1来表示
而对于这个呢
它满足n个属性
也就意味着它这n个属性的
任何一个在这里面都贡献一个1
因此是Cn1
这边任何两个
n个组合中的任何两个集合交在一起
这个X都会有贡献
因此是Cn2
依次累加一直到负1的m次方Cnm
这个式子我们似乎很熟悉
我们如果把后面项全部补齐
变成一直累加到
负1的n次方Cnn的话
那么实际上我们会看
根据二项式定理
x加y的m次方
就应该等于Cm0xm次方
一直加到Cm1
一直累加下去
假设x等于1
y等于-1的话
我们就可以得到Cm0减去Cm1
一直累加累减
-1的m次方Cmm就等于0
因此右端项所以它加的很热闹
实际上对这里来说
它的结果仍然是0
通过这样的分析会发现
无论x是满足多少个属性
左边和右边都是相等的
它们都在计算不满足
任何属性的元素个数
因此通过这样一种类比证明
我们就证明了容斥原理的正确性
刚才我们给IEP进行了一个证明
但是实际上这样一个定理也
已经也300多年历史了
实际上最早提出
这个概念是在1718年
但是它只是一个概念
真正的在论文中出现
实际上是在1854年和1883年
当时人们就已经有这样一个论断
虽然说这样IEP只是用了
容和斥的简单思想
但是有这样一段话来描述
它到底有没有用
他说到他认为这样一个IEP
实际上是在组合数学中
和以及概率论中最有用的方法之一
如果你能够很好地
熟练地应用这样一个简单的法则
将会解决很多有关的组合问题
那么下面我们就来看看
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