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容斥原理的证明

下一节:容斥原理的应用(1)

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容斥原理的证明课程教案、知识点、字幕

我们已经有了容斥原理的形式

那么大家就想知道

那么能不能给一个很正式的证明呢

下面我们就拿简单的例子

先出发去证明容斥原理

比如说我们对应的想要证明

A1补集交上A2的补集

等于全集的个数减去A1个数

减去A2个数

加上A1交A2的个数

下面我们就来证明一下

对应于两个集合

它的容斥原理是否是对的

也就是A1的补集交上A2的补集

等于全集的个数减去A1个数

减A2个数

加上两两相交集合的个数

我们给一个比较形象的证明方法

我们先看左边的这样一个式子

它在计算什么呢

它实际上它在计算既不在A1

也不在A2中的元素个数 那么

右边是不是也在数同样的事情呢

我们来分析一下

那么既然左边说是不在A1

也不在A2

对于任何一个元素来说

它都要去判断在不在A1

在不在A2

是否给左边进行了贡献

所以我们可以分类来行

假如一个元素X

它不属于A1

同时也不属于A2

那它自然对左边的那个式子来说

要贡献1了

对于右边呢

右边它说它不属于A1

也不属于A2

当然它是属于全集的

因此它对于S来说贡献了一个1

但是对于A1 A2

以及A1交A2来说

它都贡献的是0

因此左边等于1

右边也是1

对于其他情况

假如说X是属于A1

但是不属于A2

也就是它只属于其中的一个元素

那么左边当然它不属于不会贡献

而右边呢

全集它必然有一个1

而它属于A1

因此在这个集合中它有

一个元素计算在内

对于A2

以及A1交A2

它贡献都为0

1减去1

左边和右边贡献都是0

对于另外一个情况X属于A2

但不属于A1

跟刚才是类似的

左边贡献是0

右边仍然是1减去0减去1

加上0等于0

而对于第四种情况

也就是说X既属于A1

而且还属于A2的话

左边当然贡献为0

而右边呢对于每一项S A1 A2

以及A1交A2它的贡献都是1

总结下来是1减去1

减1加上1等于0

通过这样的一个X对应的

四种不同的属性

我们会发现左右两边是完全相等的

因此我们可以证明出来

对于A1补交A2补

确实可以用容斥原理这样来表达

那么如果我们扩展一下

变成一共有m项集合呢

A1的补交A2补

一直交到Am的补

它们的个数是不是

正如容斥原理说的

全集个数减去单个单个集合个数

加上两两

再减去三三呢

一直累加到负1的m次方

所有元素的交集

同样我们还用类似的方法

我们看左边它在干什么

左边它是在计算不满足

任何属性的元素

也就是既不属于A1

也不属于A2

也不属于Am

而对应于一个元素

它如果确实不满足任何属性的话

对左边是贡献为1的

而右边除了s之外

其他的任何一个都带着某些集合A

所以对于右边来说

只有s贡献为1

其他的各个元素全部是0

左边两边都得1

如果说X只满足一个属性

有可能它满足A1属性

有可能满足A2属性

反正它只满足了一个属性

那对于左边来说

必然是0

而对于右边来说

因此它只满足一个属性

因此它必然只在某一个

单独的Ai中出现

而对于Ai交Aj呀

Ai交Aj交Ak等等等等

交集贡献全部是0

因此右端项是1减去1等于0

而如果它满足两个属性三个属性

依次向下

直到最后它只满足n个属性的话

n小于等于m

也就是说在这m个集合中

它可能是一个若干个集合的子集

左边肯定是0

而右边会得到什么呢

右边我们会想

对于s来说

它就相当于从n个里面

满足至少0个属性的都有贡献

因此我们可以用Cn1来表示

而对于这个呢

它满足n个属性

也就意味着它这n个属性的

任何一个在这里面都贡献一个1

因此是Cn1

这边任何两个

n个组合中的任何两个集合交在一起

这个X都会有贡献

因此是Cn2

依次累加一直到负1的m次方Cnm

这个式子我们似乎很熟悉

我们如果把后面项全部补齐

变成一直累加到

负1的n次方Cnn的话

那么实际上我们会看

根据二项式定理

x加y的m次方

就应该等于Cm0xm次方

一直加到Cm1

一直累加下去

假设x等于1

y等于-1的话

我们就可以得到Cm0减去Cm1

一直累加累减

-1的m次方Cmm就等于0

因此右端项所以它加的很热闹

实际上对这里来说

它的结果仍然是0

通过这样的分析会发现

无论x是满足多少个属性

左边和右边都是相等的

它们都在计算不满足

任何属性的元素个数

因此通过这样一种类比证明

我们就证明了容斥原理的正确性

刚才我们给IEP进行了一个证明

但是实际上这样一个定理也

已经也300多年历史了

实际上最早提出

这个概念是在1718年

但是它只是一个概念

真正的在论文中出现

实际上是在1854年和1883年

当时人们就已经有这样一个论断

虽然说这样IEP只是用了

容和斥的简单思想

但是有这样一段话来描述

它到底有没有用

他说到他认为这样一个IEP

实际上是在组合数学中

和以及概率论中最有用的方法之一

如果你能够很好地

熟练地应用这样一个简单的法则

将会解决很多有关的组合问题

那么下面我们就来看看

到底容斥原理有多么精妙

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