当前课程知识点:组合数学 > Polya定理 > 立方体旋转 > 立方体旋转(4)
刚才我们看了正十二面体
正二十面体
现在我们看一个更为复杂的
大家看这是什么
这是一个足球
足球是由什么面组成的呢
不是由单一的
一种面
大家仔细观察一下
这里面黑色的框和
白色的框是不一样的
它实际上既有正五边形
也有正六边形
这时候我问你
对应的足球里面
有多少个正五边形
有多少个正六边形呢
如果去数的话可能就数晕了
我们用欠角和来帮大家解释
首先我们要分析
正五边形的内角是多少
刚才计算过了
正五边形内角是108度
同样正六边形我们
也可以算出内角是120度
我们看一个顶点
这个顶点是关联了一个正五边形
两个正六边形
因此它的欠角和
用360度减去108再减去2
乘以120刚好得到欠角是12度
既然欠角知道了
欠角和应该等于
所有顶点的欠角之和
我们用720除以欠角
12就应该等于60个顶点
我们就知道足球上面
一共有60个顶点
每一个顶点会发出三条棱
每一个顶点又有重复度
每条棱是由两个顶点构成的
因此它有多少条棱呢
60乘以3
除以2等于90条棱
而每一个顶点应该
对应一个正五边形
60除以5应该是
12个五边形
每一个顶点又对应
两个正六边形
所以是60乘以2
六边形的重复度6
再除以6等于20个六边形
因此我们可以看到
利用欠角和即便是像
足球这么复杂的结构
我们照样可以分析的一清二楚
下面我们就来举一个例子
如果给你好多好多火柴
请问你用火柴搭出足球的样子
有多少种不同的可能
在这个题目中我们实际上是研究
用火柴怎么来搭一个足球
火柴必然是放在足球的棱上
但是棱会有区别
因为火柴一头大一头小
这时候会有两种方向
它可以正着放
也可以反着放
所以它相当于
参照棱的二着色
这里面我们首先要知道对于
足球的结构是什么
我们刚才计算过足球
一共有60个顶点 90条棱
12个五边形
20个六边形
在这样的参数下
我们来具体分析它的置换
首先不动置换
它是对于棱进行二着色的
因此一共有90条棱
不动
一阶循环有90个
一共有一个这样的循环
当然还有其他可以发生转动的
在这里我们看到对于五边形
这样的五边形它的背面
也正对着一个五边形
因此它可以五边形的面心
正对五边形的面心进行旋转
它可以旋转多少角度呢
我们可以发现每一个五边形的边
实际上对应的内角
就应该是360除以5
是72度
它可以转72度
或者是两个72度
或者是3个72度
4个72度
每一度都是可以让
这个边进行再一次重合的
我们发现需要从
五边形的面心对面心进行旋转
有多少个这样的面心呢
一共有12个正五边形
因此两个五边形构成
一对面心的话
一共有六对面心
而每一个旋转的时候会发现
正五边形的五条边进行循环
因此它是五阶循环
既然是五边一组
那么一共有多少条棱呢
一共有是90条棱
不仅仅是五边形的边进行循环
同样对于它发散向外所有的
棱都会出现对应的五阶循环
因此是90除以5
一共是这么多的五阶循环
对于这样面心对面心
应该有多少个置换
首先它的角度有四个
而有六个不同的对称轴
因此一共是24个
对于六边形
白色的六边形和对面的
白色六边形
同样也构成了面心对面心的结构
每次它应该旋转两格
我们会发现
如果转一格
白色就会到黑色的部分
不会发生重合的图案
因此它旋转度数应该是120度
对于120度
一共有两种不同的角度
而一共有多少这样的面心对呢
因为六边形有20个
因此它有10个这样的面心对
每一个旋转的时候
它应该是三条边构成了一组
一共多少组呢
是90除以3
而一共多少个这样的置换
就应该是两个角度乘以10个面心
一共是20个
接下来除了这个之外
我们会发现其实六边形和六边形
这样的棱中正好和对面的棱中
也构成了可以翻转的角度
因此还有一个置换是六边形与
六边形边界的中点
为轴转180度
那么一共有多少个
这样的旋转方法呢
实际上我们分析一下
六边形有多少个
六边形有20个
而每个六边形里有
三个这样可以进行翻转的棱
它的个数就应该是20乘以3
这条棱往往被两个六边形所共用
因为要除以2
而每两个棱对应才有一个轴
因此再除以2
它的答案是20乘以3
除以2除以2
一共是15对这样
可以进行翻转的轴
这个时候我们发现
如果一个火柴摆在这里
一翻转
它会变个样子
变成大头朝下
那我问你
是否还存在不动点呢
由于是棱的翻转是没有不动点
是一个具有无不动图像的情况
当然我们还是可以把
它对应的置换写出来
这里如果是棱的角度
这条棱实际上可以看作
是不动的棱
剩下是两两的棱发生
180度的交换
因此一阶循环有两个
二阶循环有44个
一共有15对这样的操作
我们把所有的置换全部写出来
代入波利亚定理无非就是二着色
就是2的90次方
加上24乘以2的18次方
再加上20乘以2的30次方
最后一个无不动图象
没有不动点不需要计算
因次我们只要2 90
加上24乘以2的18次方
加上20乘以2的30次方
再除以所有的置换个数
置换个数刚好是1加上24
加20加15刚好
等于60
这就是用火柴搭足球的
所有方案数
下面我们来举一个例子
同样还是骰子
我们不看单独的骰子
我们要用相同的
骰子垛成正六面体
什么意思呢
本身骰子它是一个方形
那么接着呢我可以
它有不同的旋转方式和摆放方式
如果拿若干骰子依次累加
往后排最后我就可以用8个筛子
做出来正六面体
请问这样的骰子摆放方法
有多少种不同可能性
首先我们看一个问题还是
归结于正六面体的转动群
正六面体进行转动
我们已经非常熟悉了
它一共有24个不同的转动
而每一个骰子实际上标志着
对应的位置应该是
什么样的摆放方法
因为每一个骰子可以认为
它占据了一个顶点
就相当于对顶点进行24着色
为什么是24着色
因为在这里这个骰子
它有24种不同的转动方法
所以我们把所有对应的
正六面体置换群写出来
写出来之后我们实际上
直接套用波利亚定理就可以了
但是回头一想
一定要谨慎
一定要想一想到底有没有不动点
有没有不动图象
这时候我们想
骰子什么结构呢
骰子每一个面对应的
点数都是不相同的
对于不动来说
它完全是可以构造出来
对应的不动图像
对于面心对面心转90度
我们想一想
面心对面心转90度
这样去旋转仍然可以保证
是原来的样子
对于面心对面心转180度也可以
但是有一个地方是
找不到不动图象的
我们看一下对于这个顶点它的
各个面是1 2 3依次往下
如果我沿着这个顶点和对应的
顶点进行旋转120度的时候
会发现这个面换到这里来
换过来之后面上的
点数就会发生变化
不可能保证它有一个不动的图象
因此这时候实际上
对应于对角线为轴
转正负120度的时候
就无不动图象的
因为不存在不动点
这里我们不应该考虑它
同样我们会发现其他的情况下
都可以构成不动点的话
它的个数就应该是
对于24着色
24着色
第一个一阶循环是8个
因此是24的8次方
再加上6乘以24的平方
加上3乘以24的4次方
加上6乘以24的4次方
最后一个没有不动图象
因为这个式子除以24就可以得到
相同的骰子垛成
正面体有多少种不同的方案
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