当前课程知识点:组合数学 >  Polya定理 >  立方体旋转 >  立方体旋转(4)

返回《组合数学》慕课在线视频课程列表

立方体旋转(4)在线视频

立方体旋转(4)

下一节:母函数型Polya定理(1)

返回《组合数学》慕课在线视频列表

立方体旋转(4)课程教案、知识点、字幕

刚才我们看了正十二面体

正二十面体

现在我们看一个更为复杂的

大家看这是什么

这是一个足球

足球是由什么面组成的呢

不是由单一的

一种面

大家仔细观察一下

这里面黑色的框和

白色的框是不一样的

它实际上既有正五边形

也有正六边形

这时候我问你

对应的足球里面

有多少个正五边形

有多少个正六边形呢

如果去数的话可能就数晕了

我们用欠角和来帮大家解释

首先我们要分析

正五边形的内角是多少

刚才计算过了

正五边形内角是108度

同样正六边形我们

也可以算出内角是120度

我们看一个顶点

这个顶点是关联了一个正五边形

两个正六边形

因此它的欠角和

用360度减去108再减去2

乘以120刚好得到欠角是12度

既然欠角知道了

欠角和应该等于

所有顶点的欠角之和

我们用720除以欠角

12就应该等于60个顶点

我们就知道足球上面

一共有60个顶点

每一个顶点会发出三条棱

每一个顶点又有重复度

每条棱是由两个顶点构成的

因此它有多少条棱呢

60乘以3

除以2等于90条棱

而每一个顶点应该

对应一个正五边形

60除以5应该是

12个五边形

每一个顶点又对应

两个正六边形

所以是60乘以2

六边形的重复度6

再除以6等于20个六边形

因此我们可以看到

利用欠角和即便是像

足球这么复杂的结构

我们照样可以分析的一清二楚

下面我们就来举一个例子

如果给你好多好多火柴

请问你用火柴搭出足球的样子

有多少种不同的可能

在这个题目中我们实际上是研究

用火柴怎么来搭一个足球

火柴必然是放在足球的棱上

但是棱会有区别

因为火柴一头大一头小

这时候会有两种方向

它可以正着放

也可以反着放

所以它相当于

参照棱的二着色

这里面我们首先要知道对于

足球的结构是什么

我们刚才计算过足球

一共有60个顶点 90条棱

12个五边形

20个六边形

在这样的参数下

我们来具体分析它的置换

首先不动置换

它是对于棱进行二着色的

因此一共有90条棱

不动

一阶循环有90个

一共有一个这样的循环

当然还有其他可以发生转动的

在这里我们看到对于五边形

这样的五边形它的背面

也正对着一个五边形

因此它可以五边形的面心

正对五边形的面心进行旋转

它可以旋转多少角度呢

我们可以发现每一个五边形的边

实际上对应的内角

就应该是360除以5

是72度

它可以转72度

或者是两个72度

或者是3个72度

4个72度

每一度都是可以让

这个边进行再一次重合的

我们发现需要从

五边形的面心对面心进行旋转

有多少个这样的面心呢

一共有12个正五边形

因此两个五边形构成

一对面心的话

一共有六对面心

而每一个旋转的时候会发现

正五边形的五条边进行循环

因此它是五阶循环

既然是五边一组

那么一共有多少条棱呢

一共有是90条棱

不仅仅是五边形的边进行循环

同样对于它发散向外所有的

棱都会出现对应的五阶循环

因此是90除以5

一共是这么多的五阶循环

对于这样面心对面心

应该有多少个置换

首先它的角度有四个

而有六个不同的对称轴

因此一共是24个

对于六边形

白色的六边形和对面的

白色六边形

同样也构成了面心对面心的结构

每次它应该旋转两格

我们会发现

如果转一格

白色就会到黑色的部分

不会发生重合的图案

因此它旋转度数应该是120度

对于120度

一共有两种不同的角度

而一共有多少这样的面心对呢

因为六边形有20个

因此它有10个这样的面心对

每一个旋转的时候

它应该是三条边构成了一组

一共多少组呢

是90除以3

而一共多少个这样的置换

就应该是两个角度乘以10个面心

一共是20个

接下来除了这个之外

我们会发现其实六边形和六边形

这样的棱中正好和对面的棱中

也构成了可以翻转的角度

因此还有一个置换是六边形与

六边形边界的中点

为轴转180度

那么一共有多少个

这样的旋转方法呢

实际上我们分析一下

六边形有多少个

六边形有20个

而每个六边形里有

三个这样可以进行翻转的棱

它的个数就应该是20乘以3

这条棱往往被两个六边形所共用

因为要除以2

而每两个棱对应才有一个轴

因此再除以2

它的答案是20乘以3

除以2除以2

一共是15对这样

可以进行翻转的轴

这个时候我们发现

如果一个火柴摆在这里

一翻转

它会变个样子

变成大头朝下

那我问你

是否还存在不动点呢

由于是棱的翻转是没有不动点

是一个具有无不动图像的情况

当然我们还是可以把

它对应的置换写出来

这里如果是棱的角度

这条棱实际上可以看作

是不动的棱

剩下是两两的棱发生

180度的交换

因此一阶循环有两个

二阶循环有44个

一共有15对这样的操作

我们把所有的置换全部写出来

代入波利亚定理无非就是二着色

就是2的90次方

加上24乘以2的18次方

再加上20乘以2的30次方

最后一个无不动图象

没有不动点不需要计算

因次我们只要2 90

加上24乘以2的18次方

加上20乘以2的30次方

再除以所有的置换个数

置换个数刚好是1加上24

加20加15刚好

等于60

这就是用火柴搭足球的

所有方案数

下面我们来举一个例子

同样还是骰子

我们不看单独的骰子

我们要用相同的

骰子垛成正六面体

什么意思呢

本身骰子它是一个方形

那么接着呢我可以

它有不同的旋转方式和摆放方式

如果拿若干骰子依次累加

往后排最后我就可以用8个筛子

做出来正六面体

请问这样的骰子摆放方法

有多少种不同可能性

首先我们看一个问题还是

归结于正六面体的转动群

正六面体进行转动

我们已经非常熟悉了

它一共有24个不同的转动

而每一个骰子实际上标志着

对应的位置应该是

什么样的摆放方法

因为每一个骰子可以认为

它占据了一个顶点

就相当于对顶点进行24着色

为什么是24着色

因为在这里这个骰子

它有24种不同的转动方法

所以我们把所有对应的

正六面体置换群写出来

写出来之后我们实际上

直接套用波利亚定理就可以了

但是回头一想

一定要谨慎

一定要想一想到底有没有不动点

有没有不动图象

这时候我们想

骰子什么结构呢

骰子每一个面对应的

点数都是不相同的

对于不动来说

它完全是可以构造出来

对应的不动图像

对于面心对面心转90度

我们想一想

面心对面心转90度

这样去旋转仍然可以保证

是原来的样子

对于面心对面心转180度也可以

但是有一个地方是

找不到不动图象的

我们看一下对于这个顶点它的

各个面是1 2 3依次往下

如果我沿着这个顶点和对应的

顶点进行旋转120度的时候

会发现这个面换到这里来

换过来之后面上的

点数就会发生变化

不可能保证它有一个不动的图象

因此这时候实际上

对应于对角线为轴

转正负120度的时候

就无不动图象的

因为不存在不动点

这里我们不应该考虑它

同样我们会发现其他的情况下

都可以构成不动点的话

它的个数就应该是

对于24着色

24着色

第一个一阶循环是8个

因此是24的8次方

再加上6乘以24的平方

加上3乘以24的4次方

加上6乘以24的4次方

最后一个没有不动图象

因为这个式子除以24就可以得到

相同的骰子垛成

正面体有多少种不同的方案

组合数学课程列表:

漫谈组合数学

-什么是组合数学

--什么是组合数学

--讨论题

-最精巧的排列——幻方

--幻方

-漫谈组合数学--最精巧的排列——幻方

-苦难的羊皮纸卷

--羊皮纸卷

-苦难的羊皮纸卷--作业

-你的手机密码安全吗

--你的手机密码安全吗

-漫谈组合数学--你的手机密码安全吗

-暴力枚举和抽象转换

--世界杯引出的问题

--世界杯引出的问题--练习

--一一对应

--七桥问题

--小结

--讨论题

-大家谈组合数学(1)

--采访武永卫老师

-第一周作业

--作业说明

--H

--U

--G

--作业讨论区说明

-第一周演示程序

--程序讨论区说明

--幻方生成器

--换方计数

--屏幕解锁方案数

--欧拉路计数

--共享程序

小乒乓球的组合之旅

-加减乘除来计数

--计数的基本法则

-排列还是组合

--排列还是组合

--小乒乓球的组合之旅--排列还是组合

--格路模型与组合恒等式

-各种各样的排列

--圆排列和项链排列

--圆排列和项链排列--习题

--多重排列

--多重排列--练习

-多样的组合

--可重组合

--不相邻组合

--小乒乓球的组合之旅--多样的组合

-钟声里的全排列

--钟声里的全排列

--钟声里的全排列

--字典序法

--SJT算法

--程序支持与Stirling公式

-第二周作业

--H

--U

--G

--思考题

--公式测试

--作业讨论区说明

-第二周演示程序

--程序讨论区说明

--排列数和组合数的计算

--全排列生成

--组合生成器

--共享程序

-参考资料:Stirling估计式

--Stirling估计式

初识母函数

-母函数是函数的母亲吗

--母函数的定义(1)

--母函数的定义(1)--练习

--母函数的定义(2)

--母函数的定义(2)--练习

-母函数的简单应用

--母函数的简单应用(1)

--母函数的简单应用(2)

--初识母函数--母函数的简单应用

-整数拆分

--整数拆分(1)

--整数拆分(2)

-Ferrers图像

--Ferrers图像

--Ferrers图像--作业

-母函数与递推关系

--母函数能做什么

--Hanoi问题(1)

--Hanoi问题(2)

--偶数个5怎样算

--偶数个5怎样算(2)

--母函数小结

-大家谈组合数学(2)

--科研,找工作与组合数学

-第三周作业

--H

--U

--G

--思考题

--作业讨论区说明

-第三周演示程序

--程序讨论区说明

--整数拆分

--汉诺塔

--共享程序说明

线性常系数递推关系

-Fibonacci数列

--Fibonacci兔子

--Fibonacci恒等式

--线性常系数递推关系--Fibonacci数列

-Fibonacci数列的应用

--桌布魔术

--桌布魔术--练习

--Fibonacci的直接表达式

--Fibonacci优选法

--艾略特波浪曲线

-线性常系数齐次递推关系

--定义

--特征多项式

--母函数与特征多项式

--根据特征多项式求解递推关系通解(1)

--根据特征多项式求解递推关系通解(2)

--线性常系数递推关系--线性常系数齐次递推关系

-说“数”解题

--说“数”解题(1)

--说“数”解题(2)

-第四周作业

--H

--U

--G

--GT思考题

--作业讨论区说明

-第四周演示程序

--程序讨论区说明

--Fibonacci优选法

--Fibonacci数值计算

--程序共享说明

-爆笑花絮

--爆笑花絮

-参考资料:K线分析中的Fibonacci 相关理论

--Fibonacci retracement资料

神奇的序列

-Catalan数

--计算机界的精灵

--Catalan数的直接表达式

--Catalan数的各种实例

--神奇的序列--Catalan数

-指数型母函数

--指数型母函数

--指数型母函数的应用

--神奇的序列--指数型母函数

-错排

--错排1

--错排2

--神奇的序列--错排

-Stirling数

--第一类Stirling数

--神奇的序列--Stirling数

--第二类Stirling数

-母函数小结

--母函数小结

-大家谈组合数学(3)

--采访郭家宝(BYVoid)

-第五周作业

--H

--U

--G

--思考题

--作业讨论区说明

-第五周演示程序

--讨论区说明

--Catalan数

--第二类Stirling数

--程序共享

容斥原理和鸽巢原理

-且容且斥

--容斥原理

--容斥原理的证明

--容斥原理和鸽巢原理--且容且斥

-容斥原理的精妙

--容斥原理的应用(1)

--容斥原理的应用(2)

--容斥原理的应用(3)

-回忆过去,容斥新解

--容斥原理的应用(4)

--容斥原理的应用(5)

--容斥原理的应用(6)

--容斥原理和鸽巢原理--回忆过去,容斥新解

-鸽子抢巢

--鸽巢原理

--鸽巢原理--练习

--鸽巢原理的应用(1)

--鸽巢原理的应用(1)--练习

-看得见摸得着的鸽巢

--鸽巢原理的应用(2)

--韩信点兵

--中国剩余定理

--容斥原理和鸽巢原理--看得见摸得着的鸽巢

-6人行和Ramsey数

--6人行

--Ramsey数

--小结

-第六周作业

--H

--U

--G

--GT

--作业讨论区说明

-第六周演示程序

--讨论区说明

--Find a multiple

--程序共享说明

-可以转的世界

--可以转的世界

--可以转的世界--练习

--伽罗华与群

--群的定义

--群的定义--练习

--群的一些概念

-置换群

--置换群

--群--置换群

--共轭类

--对换

--对换--练习

--置换群的应用

-Burnside引理

--着色问题的等价类

--Burnside引理--作业

--Burnside引理

--Burnside引理的应用

-闲话群

--无处不在的群(1)

--无处不在的群(2)

-第七周作业

--H

--U

--G

--作业讨论区说明

Polya定理

-Burnside引理的困境

--Burnside引理的困境(1)

--Burnside引理的困境(2)

-从Burnside到Polya

--Polya定理

--Polya定理的应用(1)

--Polya定理的应用(2)

-立方体旋转

--立方体旋转(1)

--立方体旋转(2)

--立方体旋转--作业

--立方体旋转(3)

--立方体旋转--作业

--立方体旋转(4)

-母函数型Polya定理

--母函数型Polya定理(1)

--母函数型Polya定理(2)

--母函数型Polya定理(3)

--母函数型Polya定理(4)

--Polya定理--母函数型Polya定理

-图的计数

--图的计数

-总结

--本章小结

-第八周作业

--H

--U

--G

--GT

--作业讨论区说明

-大家谈组合数学(4)

--采访黄连生老师

组合之美

-组合之美

--组合之美之计数

--组合之美之排列组合

--组合之美之多样组合和全排列

-组合之美之线性常系数递推关系

--组合之美之线性常系数递推关系

-组合之美之多样的序列

--组合之美之多样的序列

-组合之美之鸽巢原理

--组合之美之鸽巢原理

-组合之美之转动群与染色

--组合之美之转动群与染色

-采访邹欣

--采访邹欣1

--采访邹欣2

-知识点串串烧

--知识点串串烧

期末测验

-期末测验--期末测验

立方体旋转(4)笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。