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母函数的简单应用(1)在线视频

母函数的简单应用(1)

下一节:母函数的简单应用(2)

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母函数的简单应用(1)课程教案、知识点、字幕

我们已经知道了母函数就是用来计数的

那么我们来直接应用母函数来做下面一道题目

我们现在呢一共有四个砝码

每个砝码都是不同的重量 1g 2g 3g 4g

那请问 就这四个砝码

一共能称出多少种重量呢

而且我还问你

对于某一个重量它有多少种不同的方案呢

但是这个问题我们直接就可以去看

我们可以用母函数直接来表达砝码的称重问题

比如说对应于第一个1g砝码

我可以不要这个砝码

或者只要一个

因此它出现的次数要么就是用1来表示

或者用x来表示

这就是对应的1g它出现的母函数

对于两克呢

就可以说没有两克的砝码

和一个两克的砝码

因此是1加x的平方

对应的3g和4g分别是

1加x的三次方和1加x的四次方

这四个所有的砝码的多项式

累乘在一起 就构成了砝码的母函数

也就是这个G(x)

只要我们把这多项式连乘展开

就可以得到对应的系数

它的系数就意味着对应的x的k次幂

加起来称重重量k克的话有多少种可能性

那么我们把它全部展开以后

形成了一个这样的式子

我们可以看到最低的幂次

当然是0次 最高的幂次是x的10次方

也就意味着有这四个砝码

我们可以称出来1g一直到10g

对应的每一克数有多少种方案呢

比如说这里我们可以看到

x五次方前面的系数是2

意味着要想用这四个砝码

我抽出几个来 构成5g的话

实际上是两种方案

那我们通过枚举可以去验证一下

比如说5g 有可能是2加3 有可能是1加4

确实只有两种

那此时我们再看

对于x的10次方前面

它的系数是1 意味着什么

如果想称出10g重量的话

只有一种方案

也就是所有的砝码全部加在一起

这时候我们发现砝码的计数

不再需要挨个挨个枚举了

只要我们能够列出它的多项式

列出它的母函数求得系数就可以

对于这个问题我们发现

这样的砝码称出来的方案不唯一

那是不是有一些方案能够帮助我们

唯一地确定重量呢

我们来看下面一个问题

如果说你也是若干个砝码

而且呢每个砝码只有一个

但是砝码的重量并不连续

是1 2 4 8 16 32

大家一看就知道这是什么

这是2的k次幂

那在这样的砝码克数下

请问它能称出多少种重量

而且每种重量能有多少种可能性呢

我们同样还是去列它的母函数

这里面一克对应的母函数是1加x

两克对应的是1加x的平方 依此类推

直到1加x的32次方

那么我们接下来进一步的进行演算

当我们已经建立了

每一个砝码对应的母函数之后

我们通过多项式的相乘

就可以建立这个问题相应的母函数

但是怎么样才能简单方便地

把这个母函数进行展开呢

我们回忆一下 实际上1加x这样的序数呢

可以联想到1加x乘以1减x等于1-x平方

确实是 那这样的话

我们把1加x用1-x平方除以1减x来代替

实际上第一项1加x等于1减x平方除以1-x

第二项等于1加x平方变成了1减x四次方

除以1减x平方

依次我们最后的1加x的32次方

等于1减x的64次方除以1减x的3次方

这时候我们会发现有一个非常有趣的现象

这时候我们发现这里1减x平方

1减x的平方 1减x的四次方 1减x的四次方

1减x的八次方 它们依次都可以消掉

最终我们会剩下谁呢

我们实际上只留下了

最后一项1减x的64次方和1减x

因此最后我们只需要求得1减x的64次方

除以1减x的展开式就行了

而我们知道1减x乘以1加x 加x的平方

一直加到x的63次方就是1减x64的次方

因此我们会发现

仅仅是2的k次方的砝码

最终呢就可以称出

从0克一直到63克的所有重量

其中每一种重量只有一种可能方案

从上面的分析我们就可以看到

实际上我们用1 2 4 8 16 32

这样2的k次方幂克数做砝码的话

就可以唯一的确定一些重量了

那么这个时候就会发现

其实2的k次方如果进行累加的话

就有特殊的性质

也就是说任何一个十进制数n

都可以唯一的表达成2的k次方进行累加

这也就是为什么二进制数是合理的原因

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