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置换群的应用

下一节:着色问题的等价类

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置换群的应用课程教案、知识点、字幕

刚才我们所说的置换群基本上

都是在做文字上置换

但现实中我们想要处理的

往往是物体的转动

那么最常见的 实际上

就是正多边形的转动

比如说刚才我们说到了

可以是正方形进行转动

可以是三角形进行转动

而为了让它转动以后

还能够重合到原来的样子

我们一定是在一个

正凸多边形里面进行转动

何为正凸多边形呢

实际上我们知道

三角形它的正三角形

每个内角 边都是一样的

而正方形对应的

内角以及边也都是一样的

因此叫正多边形实际上是

在凸多边形中

各个内角相等

而且边也相等的这样的

多边形才叫正多边形

对应于有多少条边

就可以是正多边形的多少个边

多少个角

我们有正三角形

正四边形 正五边形

一直到正多边形

七边形 八边形都有

那么只要是它的每一个内角把所有

的360度去整分就可以了

但是同样的我们会想到

我们怎么样来表示它对应的转动呢

就拿我们说到的正四边形来看

这里正四边形我们可以说它的转动

是根据顶角来进行转动的

也就是1 2 3 4转

变化成4 1 2 3等等

或者我们甚至可以拿边

来考虑它的转动

如果用abcd来表示四个边的话

可以看到转动之后

它的边也会发生变化

那我们先拿它的顶点为例

对于1 2 3 4这样4个顶点

它有什么样的一个转动群的表示呢

首先我们要看

先以转动为例

那么转动它有多少个角度

首先它转动0度的话

也就是不动

那么1还是1

2还是2

3还是3

4还是4

如果我转动90度呢

我们转动90度就会发现

如果是逆时针旋转

1变4

4变3

3变2

2变1

同样我们可以转动180度

以及转动270

所以对应的转动我们

一共有4个不同的置换

分别可以写成

ρ1 ρ2 ρ3 ρ4

那么同样的如果我们这样的

一个转动不仅仅是在一个平面上

我们还允许它翻转的话

那么这个群里面的置换会更多一些

比如说我们按照竖方向的

这样一个对称轴来看的话

会发现1 2点进行交换

而3 4点进行交换

同样我们还有横着一条对角线

另外我们斜也可以有一条对角线

这时候1 3点是固定的

2 4发生翻转

同样我们还有这样一个对应于

1 3和2 4两条斜对角线

因此根据它们对称轴

我们一共有4种不同的翻转

这时候我们就会发现

如果以顶点来考虑它的转动群的话

对应于这样一个正方形的话

我们的转动群可以包含有

4个不同的置换

当然我们有时候也会考虑说

如果我们不允许翻转的时候

只在旋转的角度下

那么它是包含4个置换的

刚才我们说的是平面上的正多边形

但是有时候我们是在

一个三维空间里进行转动

比如说我们可以说一个立方体

正立方体它也可以在

三维空间中进行旋转

要让它最后旋转以后

还能是原来位置的话

它必须要保证它对应的

顶角边面都是一样的

而对应于我们又知道

如果我们不是一个以方形为面

我们也许可以拿

三角形为面做一个正的多边形

这里我们看到正的

多面体可以有一个正四面体

那么它就像一个金字塔一样的形状

这时候我们就有一个定理来帮助

我们去求解所有的正多面体的形状

有一个欧拉定理

它表示的是说对应于

任何一个凸多面体

它的顶点个数加上它的面的个数

减去棱的个数

刚好等于2

这就是对应于一个凸多面体

它的顶点 棱和面之间的关系

而有了这样的关系

我们就能分析一下

全世界到底有多少个正凸多面体呢

大家想到这个问题就会觉得

应该不少吧

你想正多边形那么多个呢

但是现实中我们的

正多面体少的可怜

全世界所有的正多面体拿过来

一共只有五种

它们分别就是正四面体

正八面体 正六面体

正十二面体和正二十面体

其他情况都不可能构成

一个正的凸多面体了

就这五种正的多面体

它们之间其实还有一定的对应关系

我们会发现比如说我们把这样一个

正六面体它们的顶点 中心

对应的连接起来

每一个面上它们的

中心进行相连以后

我们实际上可以得到

它里面内嵌了一个正八面体

所以我们会发现实际上正六面体和

正八面体之间是一个对偶关系

同样的正十二面体和正二十面体

它们之间也是一个对偶关系

就只有这五种对应的凸正多面体

我们来定义它们的转动群

我们知道对于这样一个立方体

我们完全可以通过旋转

让它产生不同的变换

而对应于每一个旋转变换呢

我们都可以看作一个置换

因此把这样的置换集合在一起

它就构成了一个对应的

正多面体的一个转动群

也就被称为多面体群

这里我们举个例子

我们知道最简单的

正四面体来看一下

如果我们考虑的是顶点的转动的话

正四面体它们顶点分别是A B C D

这时候我们来看一下

它的正四面体群长什么样子

首先不动肯定是一个置换

也就是A点 B点 C点 D点

仍然保持自己

那么对应的它可以转动

它的转动是什么样子呢

我可以保持a点不动

下面的三个顶点发生

彼此之间的交换

那它们进行旋转的

时候角度有多少呢

它可以是正负120度

所以我们会发现

A点不动

可以是B D C产生一个循环

或者是B C D产生一个循环

同样A点可以作为不动顶点

B点C点D点都可以作为不动顶点

因此对应于我们用面心和

对面的顶点构成了轴进行旋转的话

它可以产生这样四种不同的置换

所以我们会发现实际上正四面体

它的转动群就是包含了

首先一个是不动置换

另外的呢就是顶点对面心

进行的旋转置换

其中一共有4个顶点

两个方向

因此是8个不同的循环表示

除了这个直观的对应的旋转之外

我们看还有没有其他的

对应的操作呢

我们会发现

实际上在这个正四面体中

我们完全可以做一个

穿过它其中的对称轴

比如说我们这里对应的

这样AB这条边

我们上面取它的中点

它对面的那条边也就是CD

它的中点如果将

两个中点进行相连的话

它可以沿着这样一个轴

进行一个翻转操作

那么它一共有多少个这样的

对称轴呢

因为它们两两可以进行对称

所以会发现实际上一共有

3个这样的对称轴

这个三个对称轴对应的

每一个它的置换长什么样子呢

我们会发现

这样一个对称轴实际上是

AB进行互换

CD进行互换

那么同样如果换了

另外一条对称轴的话

可以做到AC进行互换

而BD进行互换

另外一个是AD进行互换

BC进行互换

那么这就发现了除了

刚才的不动旋转

以及对应的面心和

顶点进行旋转之外

我们还有一个它的

内部对称轴进行的翻转

一共有多少个这样的转动和翻转呢

一共有12个

因此这12个置换就构成了

所谓的正四面体的转动群

分别可以写成e (BCD) (BDC)

依次类推

那我们会发现

这样一个置换中

一共有12个不同的置换元素

它对应的实际上就应该是

偶置换an构成了一个交错群

刚才我们看到了对于正四面体来说

它实际上是有12个置换

构成了它对应的置换群

也就是正四面体群

那么对应的我们会说

如果是立方体呢

正六边形呢

正六边形如果大家仔细研究一下

会发现它的对应的旋转和翻转

一共有24个不同的置换

而且这24个不同的置换实际上

对应的就是全排列的结果

它就和对应的四次对称群

s4是同构的

而且同时呢对于正八面体和

正六面体是对偶的关系

因为它们实际上对应的都是

s4这个对称群

那么同学可以作为练习

下面仔细思考一下正四面体和

正八面体的转动群长什么样子

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