当前课程知识点：组合数学 > 初识母函数 > 整数拆分 > 整数拆分（1）
今天呢我们来研究一个非常经典的问题
被称作整数拆分
说起整数拆分大家都可以想象
整数拆分的确切定义就是
将一个正整数拆分成若干个正整数之和
但是这里大家要注意
是否考虑你进行加法的时候的顺序呢
如果你认为所有的位置都是有关的
也就是加的时候考虑它顺序
这样的整数拆分被称为有序拆分
英文叫做Composition
如果说我并不考虑它的顺序
只是认为数字被切成几块
那么我们称它为无序拆分
英文就称为Partition
我们来用3这个简单的数字来理解一下
对于有序拆分来说
3可以等于1加2 也可以等于2加1
因此1加2 2加1是两个不同的有序拆分
但是对于无序拆分来说
3就是1和2之和 1 2就是一种有序拆分
因此我们可以知道有序拆分和无序拆分
是整数拆分的不同类型
我们先拿有序拆分来看
对应于一个数字n
想要拆分成r个自然数之和
它到底有多少种不同的方案呢
其实这个问题可以用放球模型来解决
比如说我们对于n个数字
用n个小球来表示
这时候我们要把这n个小球
划分到r个区域里面去
而且这r个区域就从第一位一直到第r位的
这时候我们可以看到
要想把这些球放到r个区域内
就意味着我应该把它划分成r个不同的小格子
要划分出r个区域
我们中间可以用r减1个隔板来实现
那么它要在插的时候
由于每个区域内至少要有一个球
那意味着应该在所有球之间的间隙去插隔板
那n个球之间有多少个间隙呢
一共有n减1个间隙
那这个问题就显而易见了
对于数字n要想拆分成r个自然数之和
我们就相当于在这n减1个间隙中
选择r减1个做隔板就好了
因此我们可以说对于有序拆分来说
相对比较容易
把自然数n拆分成r个自然数之和
它的方案数就等于cn减1 r减1
下面呢我们来分析一下无序拆分
首先我们来定义一个无序r拆分
也就是对应于一个数n
怎么把它划分成r个自然数之和
以3为例 比如说3的2拆分
意味着把3拆分成两个自然数
这时候它只有一种答案
也就是3等于2加1
2和1就构成了一个无序拆分
那么对于3的所有的无序拆分
我们可以看 如果分成1拆分的话
它就是3加0加0
如果是2拆分的话 2加1加0
如果是3拆分就是1加1加1
注意在这里面我们虽然用了加法来表示
但是它们的顺序是无关的
这时候我们就会想
似乎这种现象我们似曾相识
是不是就可以想象把它变成一个放隔板
x1加x2加xn等于b的一种非负整数减个数呢
我们来分析他们的区别
我们会看到
当初我们介绍这道题目的时候
是说到确实可以有这么多个数字放在里面
我们在中间加隔板
最后呢我们就能够用C(n+b-1,n)
来表示对应的非负整数解个数
但是在这里我们会发现
有一点和无序拆分不同的
在这样一个划分中
我们如果划分0加3加0 和3加0加0
在这个非负整数解个数这个问题中
它们是两个解
但是在我们的无序拆分中
这两个方案实际上对应的是一种无序拆分
因此我们发现原来我们说到的
这种隔板放球模型
是不再适用于无序拆分了
那我们总结一下
刚才的有序拆分中
我们是说所有的球都是无区别的
然后我们要放到有标志盒子中
但有一点盒子是不允许空着的
如果我们允许盒子是空着的时候
这时候我们把它就变成了无序拆分
因此从放球模型上我们来总结一下
什么是无序拆分呢
无序拆分就是
把一个整数拆分成若干整数的和
它相当于把n个无区别的球
放入到无标志的盒子中
而且允许盒子空着
至于有多少种方法
就意味着整数拆分数是多少
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