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偶数个5怎样算(2)在线视频

偶数个5怎样算(2)

下一节:母函数小结

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偶数个5怎样算(2)课程教案、知识点、字幕

刚才我们是用了两个递推关系

进行联立进行求解的 似乎看着并不方便

我们有没有更加直接的方法呢

其实我们希望最好就只有一个递推关系

那么重新再分析这样一个式子

我们会发现其实奇数个5和偶数个5

它们之间并不是独立存在的

奇数个5的方案加上偶数个5的方案

不刚好就是所有方案嘛

那所有方案的全体一共是多少个呢

也就是9乘以10的n减1次方嘛

那就意味着其实an加上bn

实际上和值就是等于9乘以10的n减1次方

利用这样的思想

其实我们只需要列一个方程就够了

同样我们对这个问题

还是按照尾数来进行分类

这时候不同的是我们来分类

是按照最后一位数字是不是5进行分类

我们先看 如果最后一位数字不是5的话

意味着什么

最后一位如果不是5

还要保证它能有偶数个5

意味着前n减1位中有偶数个5

所以如果最后一位不是5的话

它的方案数就应该是9倍的an减1

也就是最后一位除了5有9种方案

而前面的正好是n减1位里面有偶数个5

如果最后一位刚好是5呢

意味着前面的n减1位应该是有奇数个5的

奇数个5我们刚才分析了

an加上bn 应该等于9乘以10的n减1次方

这里面 正好应该是n减1位有奇数个5的

那意味着是bn减1

bn减1等于

9乘以10的n减2次方 再减去an减1

这样一联立之后呢

我们就可以求出它的递推关系

就应该等于an等于an减1乘以9

加上9乘以10的n减2次方

再减去an减1 联立之后

就可以计算出一个独立的递推关系

利用这个递推关系

我们可以进一步的求解

我们有了这样一个递推关系之后呢

我们可以进一步的整理

可以得到an就应该等于

8倍的an减1加上9乘以10的n减2次方

同样我们可以计算它的初始值

a1是等于8的 在这里面可能有同学会问了

刚才一开始我们用一种方法的时候

我们为了计算方便

因为不知道a0是什么

所以呢 直接拿a1当了常数项

有没有可能我直接拿a1作为x的系数呢

其实在这里面我们可以尝试一下

比如这里我就是设计ax的母函数

等于a1x加a2x平方 一直累加下去

这样ak对应的就是x的k次幂

我们看一下计算答案是不是一致呢

这时候我们对应的还是用母函数的定义来做

比如说x平方项它对应的系数是a2

a2根据递推关系等于8倍的a1加9

x3次方它对应的系数是a3

它根据递推关系等于8倍的a2加上90

依次类推 我们经过累加之后

可以知道左边的这一项累乘之后

变成了母函数ax减去缺失的一项a1x

而右端的第一项呢

第一项刚好乘以x的平方项之后

这变成了8倍的a1x平方

和原来的母函数ax来说

需要累乘一个8x

而同样8倍的a2x3次方也是多了8x

因此右端第一项就等于8倍的x乘以母函数ax

而第二项呢刚好变成了

9倍的x平方 90倍的x3次方

900倍的x4次方

这时候我们把公共的因子

9和x平方拿出来之后

后面剩下的就是1加上10x

加上100的平方x平方 依次类推

我们进一步的整理会发现

实际上我们得到了关于ax的一个等式

1减8x乘以ax

等于8x加上9x平方除以1减10x

这时候ax进一步整理

变成了x乘以8减去71x

除以1减8x乘以1减10x

这个式子虽然比较复杂

但实际上它仍然是一个分式的表达

我们只要把它部分分式化

就可以利用一些泰勒展开得到一个通项表达

我在这里面

我们仍然可以利用待定系数的方法

那么我们在这里省略具体的步骤

最终的答案是ax等于1/2乘以7x除以1减8x

加上9x除以1减10x

而1减8x分之7x

我们可以把x提出来

提出来之后呢

它下面的系数不就变成了1减8x分之7了嘛

那这时候我们依次把它展开成

anx的n次方的系数的话

就相当于ax等于1/2乘以∑k从1到无穷大

7乘以8的k减1次方

加上9乘以10的k减1次方的xk次方

由此可以见ak

实际上等于7/2乘以8的k减1次方

加上9/2乘以10的k减1次方

因此实际上ak的答案

和我们第一种方法设计的是完全一样的

而且我们通过验证

比如说代入k等于1的时候

确实等于8

而代入a等于2的时候

a2确实等于13

结果是正确的

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