当前课程知识点:组合数学 > 初识母函数 > 母函数与递推关系 > 偶数个5怎样算(2)
刚才我们是用了两个递推关系
进行联立进行求解的 似乎看着并不方便
我们有没有更加直接的方法呢
其实我们希望最好就只有一个递推关系
那么重新再分析这样一个式子
我们会发现其实奇数个5和偶数个5
它们之间并不是独立存在的
奇数个5的方案加上偶数个5的方案
不刚好就是所有方案嘛
那所有方案的全体一共是多少个呢
也就是9乘以10的n减1次方嘛
那就意味着其实an加上bn
实际上和值就是等于9乘以10的n减1次方
利用这样的思想
其实我们只需要列一个方程就够了
同样我们对这个问题
还是按照尾数来进行分类
这时候不同的是我们来分类
是按照最后一位数字是不是5进行分类
我们先看 如果最后一位数字不是5的话
意味着什么
最后一位如果不是5
还要保证它能有偶数个5
意味着前n减1位中有偶数个5
所以如果最后一位不是5的话
它的方案数就应该是9倍的an减1
也就是最后一位除了5有9种方案
而前面的正好是n减1位里面有偶数个5
如果最后一位刚好是5呢
意味着前面的n减1位应该是有奇数个5的
奇数个5我们刚才分析了
an加上bn 应该等于9乘以10的n减1次方
这里面 正好应该是n减1位有奇数个5的
那意味着是bn减1
bn减1等于
9乘以10的n减2次方 再减去an减1
这样一联立之后呢
我们就可以求出它的递推关系
就应该等于an等于an减1乘以9
加上9乘以10的n减2次方
再减去an减1 联立之后
就可以计算出一个独立的递推关系
利用这个递推关系
我们可以进一步的求解
我们有了这样一个递推关系之后呢
我们可以进一步的整理
可以得到an就应该等于
8倍的an减1加上9乘以10的n减2次方
同样我们可以计算它的初始值
a1是等于8的 在这里面可能有同学会问了
刚才一开始我们用一种方法的时候
我们为了计算方便
因为不知道a0是什么
所以呢 直接拿a1当了常数项
有没有可能我直接拿a1作为x的系数呢
其实在这里面我们可以尝试一下
比如这里我就是设计ax的母函数
等于a1x加a2x平方 一直累加下去
这样ak对应的就是x的k次幂
我们看一下计算答案是不是一致呢
这时候我们对应的还是用母函数的定义来做
比如说x平方项它对应的系数是a2
a2根据递推关系等于8倍的a1加9
x3次方它对应的系数是a3
它根据递推关系等于8倍的a2加上90
依次类推 我们经过累加之后
可以知道左边的这一项累乘之后
变成了母函数ax减去缺失的一项a1x
而右端的第一项呢
第一项刚好乘以x的平方项之后
这变成了8倍的a1x平方
和原来的母函数ax来说
需要累乘一个8x
而同样8倍的a2x3次方也是多了8x
因此右端第一项就等于8倍的x乘以母函数ax
而第二项呢刚好变成了
9倍的x平方 90倍的x3次方
900倍的x4次方
这时候我们把公共的因子
9和x平方拿出来之后
后面剩下的就是1加上10x
加上100的平方x平方 依次类推
我们进一步的整理会发现
实际上我们得到了关于ax的一个等式
1减8x乘以ax
等于8x加上9x平方除以1减10x
这时候ax进一步整理
变成了x乘以8减去71x
除以1减8x乘以1减10x
这个式子虽然比较复杂
但实际上它仍然是一个分式的表达
我们只要把它部分分式化
就可以利用一些泰勒展开得到一个通项表达
我在这里面
我们仍然可以利用待定系数的方法
那么我们在这里省略具体的步骤
最终的答案是ax等于1/2乘以7x除以1减8x
加上9x除以1减10x
而1减8x分之7x
我们可以把x提出来
提出来之后呢
它下面的系数不就变成了1减8x分之7了嘛
那这时候我们依次把它展开成
anx的n次方的系数的话
就相当于ax等于1/2乘以∑k从1到无穷大
7乘以8的k减1次方
加上9乘以10的k减1次方的xk次方
由此可以见ak
实际上等于7/2乘以8的k减1次方
加上9/2乘以10的k减1次方
因此实际上ak的答案
和我们第一种方法设计的是完全一样的
而且我们通过验证
比如说代入k等于1的时候
确实等于8
而代入a等于2的时候
a2确实等于13
结果是正确的
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