当前课程知识点:组合数学 > 容斥原理和鸽巢原理 > 容斥原理的精妙 > 容斥原理的应用(1)
刚才我们介绍了容斥原理的
一些基本的概念
那么我们从简单的例子出发来看看
容斥原理怎么被应用来计数的
先看一个比较简单的计数问题
它说大从1到500
所有的这些整数中有
多少个数字能够被3或者5整除
这个问题一看被3整除的有一批
而被5整除的有一批
或代表的就是A并B
那直接就可以套用容斥原理呀
但关键问题在于我们怎么去
给各个集合进行计数
假如说A集合定为是
能被3整除的集合
而B是能被5整除的
在1到100之间
那这时候我们来计算一下
A的个数实际上就是500除以3
进行下取整
而B的个数相应的就是500除以5
进行下取整
而另外在容斥原理中
我们需要用到交集的个数
也就是A交B的个数
自然A交B表示既能被3整除
又能被5整除
那意味着就能够被15整除
所以这时候A交B的个数
就应该等于500除以3乘以5
我们分别计算它的个数以后
来套用到容斥原理
A并B的个数就等于
A的个数加上B的个数
减去A交B的个数
经过计算刚好是233
但是这道题目大家觉得相当简单
但是相应的大家一定要注意
这里3和5之间是没有公因子的
如果是6和15呢
所以大家在做题目的时候
一定要留意相应的陷井
我们再举一道题
这时候我们是用字符来表示的
比如说ABCDEF
这六个字母中
我要进行排列
但是我要求不允许出现ACE
而且不允许出现DF
也就是说在它的全排列中
ACE不能相邻出现
DF也不能相邻按顺序出现
这时候我们就会想
全排列的个数总个我很会算
就是6的阶乘
这里面它要去掉谁呢
我是不要去掉某些集合
那么我就可以设A集合表示是
在这个全排列中出现了ACE
B集合表示在这个全排列中出现了DF
我们要求什么
我们要求的是说不允许出现他们
那我知道用容斥原理
既然我可以计算出来AB
以及A交B的个数的话
我就可以计算出来想要求的
不允许出现的
那么不允许出现
也就是说A不允许出现
而且B不允许出现
我需要什么样的数字来计算
首先根据容斥原理
它就应该等于全集的
个数减去单个单个集合的个数
再加上两两相交的个数
单个集合
A表示什么
A表示说六个字母的
全排列中出现了ACE
ACE出现它就成为了一个集体
而剩下来元素可以随便放置
那这时候ACE已经合并成一个了
剩下的所有元素加在一起
只有4个了
因此A的集合个数就是4阶乘
相应B是D和F已经合并在一起
六个元素已经变成了5个元素
因此B的个数是5阶乘
对应于A加B是什么
A加B的个数是既出现ACE
又出现DF
那既然这五个元素已经
合并成了两个元素
因此总共就剩下了3个元素
那我们把这些集合的个数代进来
全集个数6阶乘减去
4阶乘减去5阶乘
再加上3阶乘
答案就是582
所以通过这两个例子
我们就可以看到
只要我们能够分析出来对应的子集
算得出来它们的交集
我们就可以很熟练的应用容斥原理
下面再看一道题
仍然是排列
ABCD四个字符
这时候它要组成一个
可以重复的n位字符串
我问你
这样的n位字符串如果
要求ABC都至少出现一次
请问有多少种不同的字符串数目呢
这时候我们就会想
至少出现一次
并不好求
而好求什么
不出现相应好求多了
比如说不出现
A不出现
那就意味着我只剩3个字母了
3个字母它要组成一个n位的
可重排列的话
很容易呀
无非就是3的n次方
每一位都有3个选择
一共有n位嘛
那所以我们就会看到
我们要设计一个什么样的集合呢
我们应该反其道而行之
我们要设计的是
A不出现的集合设为A
B不出现的集合设为B
C不出现的集合设为C
这时候我们去分别求A的个数
A的个数刚才已经分析到了
A表示的是它A字母不出现
那意味着只剩下3个字母
进行可重复的排列
就是3的n次方 同样B的个数
C的个数也和它是相等的
那么对应于A交B是什么意思
A交B表示的是字母A和
字母B都不出现
那意味着还剩下
4个字母中的两个了
因此就是2的阶乘
那么3个呢
A交B交C意味着什么
A不出现
B不出现
C也不出现
这时候只剩下了一个字母D
它要构成n位串
所以只能D重复n遍
只有这一个结果
这时候我们来看
我们要求的是什么
我们要求的集合就是
A补交B 交C补
也就是说在这里面
A的意思是说A不出现
那么它的A的补表示它必然出现
所以我们要求ABC都至少出现一次
的数目就应该等于A补交B补交C补
它的个数等于全集的个数
也就是4的n次方
减去单个单个集合3的n次方
一共有几个呢
一共有3个3的n次方
再加上两两相交的
两两相交是2的n次方
一共有3种这样的交集
所以就是3乘以2的n次方
然后再减掉A交B交C
A交B交C刚才计算出来就得1
所以它的答案就应该是
4的n次方减去3乘以3的n次方
再加上3乘以2的n次方减1
这就是这道题的答案
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