当前课程知识点:组合数学 > Polya定理 > 母函数型Polya定理 > 母函数型Polya定理(1)
刚才我们介绍了很多的例子
说明了波利亚定理可以有效的
帮助我们去进行着色方案的计数
但是大家会去想波利亚定理
告诉我们的结果是
一共有多少种着色方案
但是对于每一种着色方案
它会有多少个呢
比如说四个珠子去着色
每个珠子都有3种类颜色的话
我们有可能会问如果两红
一蓝 一绿有多少种不同的方案
这时候单纯的用波利亚定理
可能就不行了
我们会想其实我们有一个有利的
工具帮助大家进行枚举
大家还记得母函数吧
母函数实际上可以帮助我们
进行着色方案的枚举
就举个简单的例子
比如说我们要对三个
相同的小球进行着色
一共有四种不同颜色进行选择
它可能的颜色组合如果
用母函数的形式该怎么表达呢
我们会发现其实对于一个球它的
着色方案可以用
红色黄色绿色蓝色加在一起
这就是一个球的不同方案
一共有3个球就应该是
R加Y加B加G的三次方
如果我们把它依次展开之后
就会发现每一项前面的系数
就表示它有多少个方案
我们就会想如果波利亚定理
能够结合母函数
是不是就可以给我们找到特殊
情况下他们对应的
方案有多少个呢
我们举个简单的例子
比如说有三种不同颜色的珠子
我要拼成四颗珠子的项链
这道题我们刚才给大家进行了解答
这时候我们想来仔细分析一下
对应的如果把母函数引入进来
会有什么样奇妙的方案
首先我们还是要分析它的置换
比如说第一个置换就是
绕这种中心旋转90度
绕中心旋转90度
我们知道这实际上对应的
就是四阶的循环
四阶循环意味着在这个循环里
四个方案里面全部都要取同色
对应的母函数该怎么写呢
可以说我们这四个珠子
全部都是红色
那意味着
就是R的四次方
有可能它对应的
全部都是蓝色
就是B的四次方
它一共有四种不同颜色选择
因此对于这样四阶循环直接用
母函数的方式可以直接把它写成
R的四此放加上Y的四次方
加上B的四次方
加上G的四次方
那意味着
这样一个循环
用母函数是可以表达的
如果让它旋转180度
会产生两两的对换
那两两对换意味着在一个循环内部
两个珠子采取的颜色是同色的
两个珠子同色有多少种可能呢
就是R平方加上Y平方
加上G平方等等
我们就会发现这里我们同样利用
他们对应的循环大小不同
以及他们对应的每一个循环内部
应该采取同色这样的形势
就可以写出对应的母函数
我们如果考虑翻转的话
同样如果对于不穿过
珠子的对角线
它对应的置换就是两两互换
同样也可以写成对应的
母函数形式
就是R平方加B平方
加上G平方
因为它有两项
所以它有平方项
另外一个
另外一个穿过珠子的对角线
实际上一阶循环有两个
再加一个二阶循环
写出来意味着一阶循环里面
一个珠子颜色选择可以是红色
也可以是蓝 也可以是绿
那这时候R加B加G
它一共有两个
因此是R加B加G的平方项
对于二阶循环
可以直接写成R平方加
G平方加B平方依此类推
对于不动来说就是四个
都是一阶循环
就是R加B加G的四次方
这时候我们把所有对应不同情况
下的母函数都列出来的
这时候把所有的置换代入到
波利亚定理中
如果不考虑单个方案的话
直接就可以套用对应于C(Pi)
就可以找到所有的等价类方案数
但是现在我们把它用
母函数的方式引进来
会发现实际上PG bar
可以写成B的4次方
加上R的4次方
依此类推
我们把每一项展开
就可以得到对应的式子
而每一项都代表一些意义
比如说我这里面B的平方
R G意味着着它对应的
有两个是黑色的珠子
有一个红色的珠子
有一个绿色的珠子
而B平方 R G对应的
系数是多少呢
在这样一个多项式中
我们刚好发现
它的系数就是2
意味着有两种不同的方式
通过演示我们也确实发现
我们可以有这样
两个黑珠子的排列
另外我们也可以有
另外黑珠子的排列
通过这样的表达我们会发现
其实母函数和
波利亚定理如果结合
就可以更细致
去寻找对应的方案数
如果把原来的波利亚定理中
M的CPI次方进行改变
就会发现
每一个m的C(pi)次方里面对应的
项可以完全打开
这里面对应的m
实际上是着色方案
如果有可能是一个珠子
自己保持同样颜色的话
可以用B1加B2一直累加下去
他们对应的CP1次方
接着如果是两个
二阶循环
二阶循环意味着
循环括号内要取同色
那这时候我可以来写
就是B1的平方项加上B2的
平方项一直累加到BN的平方项
对应外面此幂就应该是
二阶循环的个数
依此类推
这时候我们已经把原来的
波利亚定理改成了
带有母函数形式的波利亚定理
利用这样的式子
就可以求解更多更多的问题
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