当前课程知识点:组合数学 > 容斥原理和鸽巢原理 > 看得见摸得着的鸽巢 > 鸽巢原理的应用(2)
大家看了很多有关鸽巢的题目
可能会说鸽巢是不是就在摆数字啊
其实我们现实中有
很多地方都可以见到鸽巢原理
就拿这张图来看
大家都知道这是什么吧
对
这就是彩票
其实在彩票中
就往往会可以看到
鸽巢原理给我们带来的现实
比如说就拿六合彩的规则为例
六合彩它每次要从
1到49中摇出6个数字
另外呢摇出的
第7个数字作为特选号码
大家都想知道
这6个数字和特选号码长什么样子
当然鸽巢原理并不能
告诉你它会长什么样子
只是它能够告诉你
它必然有什么规律
我们看一下
拿这些获奖的号码我们来分析一下
有什么必然的规律呢
我们会发现其实每次开奖之后
在正选号码中
它们的第一位数字必然有
至少两个是一样的
是吗
我们如果假设
比如说01 02对于个位数
我们认为它们的第一数字
仍然是保持是0的话
我们会发现每一次确实至少有
两位数字它们的十位数是一样的
为什么呢
我们回头分析一下
其实每次要选出6个号码
而它的十位数有几个选择呢
无非就是从1到49
它的十位数字
只有0 1 2 3 4
只有五种选择
6个号码飞到5个鸽子巢中
自然必然有两个落在
同一个鸽子中了
所以我们会发现
在彩票的结果中
必然有一些规律
但是鸽巢原理它只能
告诉你这是事实
它能告诉你哪两个鸽子
飞到了同一个笼子里吗
不能
所以鸽巢原理往往是用来
证明某些东西必然存在
但是它到底以什么形式存在
鸽巢原理并不能告诉你
刚才我们在quiz中
做的是拿袜子
其实我们把它再弄的复杂一点
我们一共有20件衬衫
但是衬衫分别有三种不同的颜色
我这里有四件蓝色衬衫
有7件灰色的
9件红色的
那我请问任意取多少件的话
能够保证有至少4件是同色的
这个问题比较刚才袜子
稍微复杂了一些
那我们会想该怎么去想呢
其实鸽巢的一个根本原则在于
它就多了那么一点点
有一个临界的感觉
那我们就会想我怎么样才能
保证4个不同色
我们要保证所有的东西不同色的话
我们会发现这里面有3种颜色
那么3种颜色我们要把它说
4个都不同色的话
首先我要分别把
每一种颜色必须拿满
那么意味着它应该拿多少件呢
3种颜色
每种颜色我都拿3个的话
那意味着我找不到4个是同色的
那么这时候我们发现这就是底线了
如果再来一件呢
无论是蓝色 灰色还是红色
任何一件再拿来
我就构成了4个是同色的
因此用这样的思想来看的话
我们可以先构造
3种颜色对应于三个鸽巢
而对应于三个鸽巢
它要保证每一个都必须
要不到4的话
我们这时候应该说用k来表示
k加1等于4
那这时候k应该等于3
当k等于3的时候
一共有n个鸽巢
k乘以n表示我肯定
最大限度让它不满足条件
就是kn个
一旦再来一个kn加1
它就保证了必然存在4件同色
这个答案就是k等于3
kn加1
k是3
n是3
所以kn加1等于10
在这道题中
我只要取10次
无论怎么取都能保证
至少4件是同色的
但是如果问题再扩展一下
我取多少次能够保证
5件是同色的呢
大家看一下这道题目
首先我们会发现5件和4件是不同的
因为蓝色衬衫最多只有4件
所以它的临界点不能
直接再用3乘以3
这样的类似做下去了
我们还是要把它拿满
拿满的情况下
对应于我们首先要
拿够4件蓝色的
然后再去想
其他的颜色要凑不足5件的话
那么就应该是4乘以2
在这种情况下
我拿任何一件
它都会保证构成了5件同色
因此我们的答案就是
4加上4乘以2加1等于13件
拿了13次之后
我总能保证至少5件是同色的
所以对应于这样的陷阱
希望同学们也能够引起重视
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