当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第一周：绪论及基础知识 > 拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义 > 视频
我们在前面三节里
学习了拉普拉斯变换的定义
和它的性质
下面我们要学习的是
拉普拉斯变换的逆变换
因为在自动控制理论里
或者是在解微分方程中
我们在知道了
拉普拉斯变换之后
我们要求解它的原函数
象原函数
所以怎么求呢
就是有拉普拉斯逆变换
我们首先学习
拉普拉斯逆变换的数学定义
然后我们再讲如何求象原函数
拉普拉斯变换的逆变换的
定义是这样的
如果复值函数f(t)
就这是象原函数
满足拉普拉斯变换
存在定理的条件
在f(t)的任意连接点处都有
f(t)就等于
这个实际上是它的拉普拉斯变换
那我们假设我们先知道的
是它的拉普拉斯变换
要把这个f(t)找出来
那数学定义是
就是这样的一个积分
也是一个积分
这个积分跟拉普拉斯变换的积分
稍微有一些不同
特别明显的就是
它的积分的上下限对吧
我们拉普拉斯变换是
负无穷到正无穷
这个它是在这个复平面
就是s平面上的任意一条直线
这个直线是它的实部是σ
相当于是这样的一条
假设这是一个复平面
比如说这样的一条线
它的这个实部是σ
就是从这个负无穷到正无穷
这样的一条直线的一个积分
主值积分
这个公式就称为
拉普拉斯变换的一个反演公式
那记成什么 就是这样的
就是L逆 对吧 就是逆变换
就是拉普拉斯变换的逆变换F(s)
我们看这个积分不是那么简单
是吧
这个拉普拉斯变换的这个F(s)
乘上一个指数函数
然后再积分
这我们其实通常
我们都不会这样去做
因为太复杂了 求积分
那我们通常怎么求逆变换
或者怎么去找到这个象原函数呢
我们来看个例子
这是F(s)
是一个分式对吧
然后我们来求它的逆变换
就是我们知道这个F(s)
是这样一个分式
然后我们是想知道
它的象原函数f(t)
那我们怎么做呢
我们先把这个分式做一个分解
分解成两个简单的分式
有了这两个简单的分式
我们根据我们前面知道的
比如说指数函数的拉普拉斯变换
或者sin cos
或者其它的根据性质得到的这个
比如说t t方
这些它的拉普拉斯变换
我们就可以求出来
那说到这个1/(s+4)
这是谁的拉普拉斯变换呢
大家可能还记得是什么呀
是什么
是e^(-4t) 对吧
是指数函数的
那1/(s+2)呢
就是e^(-2t) 对吧
所以它的拉普拉斯变换
我们把它分成两个拉普拉斯变换
然后各自变成了2倍e^(-4t)
e^(-2t) 就这样求
所以这个求我们看
我们并没有去根据
逆变换的定义去乘上
将这个F(s)乘上e^(st)
然后再做积分这样求出来
那样很麻烦的
我们就是利用了
我们已知的这个
一些简单的函数的拉普拉斯变换
我们反过来把它找出来
来看这个例子
这个例子也是一个分式
实际上我们将来学到的
这个传递函数
就自动控制理论
学到的传递函数
都是一种分式的形式
所以我们举的例子
也比较接近这个
自动控制理论里
学到的这个传递函数
所以它这个F(s)
是1/[s*(s-1)^2]
那我们还是用前面的这个技巧
就是要把它分成一些小的
然后每一个都可以
根据我们前面的性质
来把它的那个相应的
象原函数找出来
所以我们现在来做一个分解
F(s)的分解应该是有这三部分对吧
因为根据它的分母的这个情况
就abc这个需要确定
这三个系数需要确定
那怎么定呢
有一个比较简单的办法
就是比如说要求a的话
我们在这个等式的两边乘上s
好吧
乘上s
然后让s怎么呀 让s等于0
所以这个乘上s之后
就是它这个后面
就s在分子上都会有s
当s等于0的时候
就只剩下a
所以这个取s等于0
所以就得到a等于1
同样的对于第三项
(s-1)^2
我们也是 我们先在等式两边
乘上(s-1)^2
所以这个地方就只剩下c
然后这有a 有b
这个a是已经求出来是1的
所以b还在这
那这个是1/s
所以这个时候我们让s等于1
这样很容易就把c求出来
就c也是等于1
那这个b是比较复杂一点对吧
我们不能再乘s-1
因为这个地方分母上
你如果乘s-1的话
这分母还有s-1
你又不能让s等于1
所以我们来看怎么做呢
还是乘
还是乘
但是不能让s等于1
不能取s等于1
因为这个时候分母就
这就没意义了对吧
所以我们取一个简单的s等于2
s等于2的话这一项变成1
这一项b+1
然后这一项1/2
然后这边是s等于2的话
是1/2
所以b是等于什么 b就等于-1
就这样求出来
这样求出来之后
abc知道之后
我们就把这个完全分解了
分解成三项对吧
分解成三项
然后我们来求拉普拉斯逆变换
我们对它每一项来做
1/s 还有1/(s-1)
还有1/(s-1)^2
1/s的逆变换是什么呀
大家还记得吧 是1对吧
这个是最简单的
那s-1是什么 指数e^t 对吧
因为它这是减嘛 等于是e^t
那这个我们是用什么性质
我们是用微分性质
这个你可以看成是什么
s-1它的一阶导数
就会有(s-1)^2出来 ok
这当然这还有个负号
所以用这个微分的性质
我们知道是te^t 对吧
符号就是正的 就是这样得到
所以我们学习了
这个拉普拉斯逆变换的
它的数学定义
但是实际我们在求象原函数
就涉及到拉普拉斯逆变换的时候
我们实际上我们是不会去用
它的这个数学定义来求的
我们是根据我们对
拉普拉斯变换的
一些基本的函数的
一些拉普拉斯变换
然后加上这个微分积分的操作
然后得到这个函数的
这个拉普拉斯的逆变换
我们知道1的拉普拉斯变换
是1/s
那现在反过来问
如果拉普拉斯变换是1
那它的象原函数是什么
我们现在就来回答这个问题
它是什么呢 是δ函数
我们看δ函数的定义是怎么来的
我们先考虑一个矩形的电流脉冲
这个函数你看到
它的这个积分的这个面积是1
好吧
然后这个宽 宽是τ
然后它的这个高
或者它的长是1/τ
那现在它的这个面积
也称为这个脉冲的强度
就是它你看是1
那现在我们是要做什么
如果脉冲强度不变
就是说这个面积不变
我们把这个τ变小
那相当于就是这个τ往这边走
往这边 往左移 往左压
相当于你看下面的这个图里面
这个最下面的这个矩形
是比较扁的 对吧 比较宽
然后把这个τ再往里走走
得到τ2的时候它又变高了
然后再往左移
再把这个τ往下压
它就会变得越来越
细长细长 细高的这种
所以这个这样得到了
一个极限的一个情况
就是当这个τ趋于0的时候
就得到了这样的一个函数
这个函数在0的时候就会怎么样
因为τ趋于0的时候的话
你要保证这个积分要等于1
所以这个高度就会越来越高对吧
就会趋于无穷
然后在t不等于0的时候
在其它的地方
这个地方以外
就只在0这个地方
它会有一个无穷的这个量
然后其它的就全都是0
所以这个函数它的积分等于1
这是一个比较广义的函数对吧
这就是一个广义的函数
所以我们称这个函数
我们叫δ函数
这个函数的拉普拉斯变换就是1
我们来看δ(t)的拉普拉斯变换
我们还是用这个δτ来
先关于δτ我们做拉普拉斯变换
我们可以根据定义得到它对吧
但我们知道在0到τ之间
就刚才我们画的那个图里面
在0到τ之间它的值是1/τ
所以把它换掉
换掉这就是e^(-st)/τ dt
然后做积分
这个τ是没有关系的
跟t没关系 拿出来
所以是e^(-st)做积分好吧
做积分得到它
然后它的上下限
积分的上下限
这是做积分得到的
然后积分的上下限0 τ
然后取值就把它带进去好了
带进去就1-e^(-sτ)
然后再做什么呢
这个怎么出来的
这个是对它做泰勒展开
大家很熟悉了对吧
因为这个地方
它是一个接近于0的
所以用泰勒展开的话
我们可以得到这样的一个式子
这样一个极数
得到这个极数之后
我们来求δ(t)的
δ(t)还是根据它的定义来
就是让τ趋于0
δτ(t)的这个极限
所以这个变换也是把它放进来
然后做它的这个极数的里面的τ
让τ趋于0 τ趋于0的话
你看极数的每一项
因为k是从2到无穷
所以这是一个
在分子上的一个项对吧
τ等于0的话 这一项等于0
那就每一项
这个极数的每一项都是等于0的
所以加起来还是0
所以这个时候我们看到
它剩下的就是1
所以从这我们就可以看到
这个δ(t)这个广义函数
它的拉普拉斯变换就是1
反过来就是说
如果我们在求
拉普拉斯逆变换的时候
我们发现有一项是1对吧
或者是让你求这个
这样的东西
1的拉普拉斯逆变换那是什么呢
已经知道了这是δ(t)
是这样的一个广义函数
好了
与δ(t)有关的拉普拉斯变换
可以根据相应的性质得到
比如δ(t-t0)
就是它的时移的对吧
时间往后推t0的这样一个量
那它等于什么 就等于它
然后δ(t)还可以求导数
n阶导数的这个
它的拉普拉斯变换就根据它
这个是我们学到的
一个广义的函数
它的这个拉普拉斯变换
我们刚才讲了
拉普拉斯的逆变换的数学定义
然后又举了几个例子
另外我们还介绍了
就是这个δ(t)这个广义函数
它的拉普拉斯变换
我们下面会介绍
如果利用拉普拉斯变换
和拉普拉斯逆变换
来求解微分方程
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
