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本节我们介绍另外一种
求取复杂系统的传递函数的方法
称为信号流图法
那么之前我们介绍
基于框图变换的求解方法
这种方法有一个小的缺点
就是当我们在逐步地
化简系统的时候呢
我们要不断地去重新去画出系统的框图
那么在过程中很容易出现一些错误
那么有没有一种可能
我们不去反复地画系统框图
直接根据原图一次性给出系统传递函数呢
那么这就是信号流图的一个作用
首先我们看一看信号流图的定义
信号流图与框图相比其实很相似的
它只是把这个形式做了一点点变化
在框图中我们知道
我们有个框 框里是传递函数
左边是输入 右边是输出
那我们把这个变成一个
信号流图方式的时候
我们需要把变量变成一个点
然后把连接关系变成一条线
是一个有向的线
而传递函数被认为是
这个传递关系的一个传输增益
这样我们就得到了
这样一个基本的结构关系
我们以一个标准的负反馈结构图为例
我们可以把它写成一个信号流图的方式
在这里面由于这个比较点
我们把它变成了一个汇入点
这个汇入点只有汇入的方向
所以它并没有一个减的操作
所以我们需要把这个减的操作
变成一个负号放到我们的这个
前边的这个传递函数里面
同时在前面这个给定量
我们要增加一个增益为1的一个连接关系
我们可以看到这样一个信号流图
与前面的传递函数是完全等价的
我们可以看一眼
这个输入信号r乘上1再减去y乘上h
乘上G等于y
这个关系与之前的传递函数的
表达方式是完全一致的
也就是说信号流图
在变量之间的关系上是没有任何变化的
只是在形式上有所变化
接下来我们定义一些重要的概念
第一个是支路
所谓支路就是两个节点之间的
定向的线段
从一点到另外一点有向的一个线段
能走通的这么一个线段
第二一个是通路
就是从一点到另外一点的有向的路径
每个中间节点仅能经过一次
也就是从这两点之间
可能会离的比较远
所以它的可能走的路上会比较长
但一定是有向的 不能重复走
第三个叫回路
所谓回路就是一个按照这个方向
可以组成一个闭环的这么一个通路
我们称为回路
第四一个概念是不接触回路
所谓不接触回路
就是两个回路之间是没有公共的节点
也就是一个节点都不能有
有一个节点就称为接触了
有了这样一个概念
我们重新再审视一下
我们之前所遇到的那个问题
第一个我们把补充题一
用信号流图的方式
表示成下面的一个结构
那么这至于如何变换呢
大家可以验证一下
应该也不是很难
那么我得到了这样一个
看上去有些复杂的一个信号流图
那么有了图以后我们不做任何变换
我们只是去观察
它其中的一些重要的一些概念
比如我们可以看看
我们既然关心从输入到输出
那我们就看从输入r到输入c
到底有哪些通路
以及整个系统中有哪些回路呢
从r到c我们按照箭头方向
我们发现大概有三条通路
分别为通过G1 G2 G3 G4 G5
这是一个非常明显的通路
另外在通过G1以后我们可以分叉为到G6
再经过G4 G5到c
第三条通路
是经过G1 G2 再经过G7再到C
也就是说我们从输入到输出
一共有三条通路
那么系统中有哪些回路呢
我们用一个动画来表示
第一个回路是G4到负H1这样一个回路
在这我们称为L1
第二回路是G2 G7 再经过一个负H2
再闭合的这么一个回路 我们称为L2
第三个回路是一个比较大的一个回路
这由于这个看不到箭头了
第四个回路是从G1 G2 到G5
最后再经过一个最外层的这么一个
反馈回来的这么一个回路
也就是说我们一共有四个回路
这里我们也可以提前判断一下
这四个回路有哪些是互不接触呢
接下来有这些基本的一些
关于通路和回路的概念
我们就可以利用信号流图的梅逊公式
可以直接给出整个系统的传递函数
它的公式表达如下
在这里面Qi是代表着
从一个点到另外一个点
具体在我们的问题中
就从输入到输出的
第i条前向通路中
所有传递函数的乘积
那么这i代表着所有的
我们关心的两点之间的所有通路
那么Δ被称为流图的特征式
它的具体的关系等于
1减去所有回路传递函数乘积之和
也就是在这个系统中
所有的回路的传递函数的乘积之和
再加上每两个
互不接触回路传递函数乘积之和
再减去每三个
互不接触回路传递函数乘积之和
再加上每四个等等一直循环下去
当然实际情况中
后面的一些高阶项不容易出现
表达的公式相当于
1减去∑所有的这个
回路传递函数乘积之和
我们称为1-∑aLa
再加上两两互不接触的回路的
传递函数乘积之和
后面我们就省略掉了
那么最后一个量叫Δi
被称为余子式
所谓余子式
就是从这个特征式Δ中
除去与第i条前向通路接触的回路
那么这样一个描述应该讲
是非常得这个不容易理解的
那么接下来我们通过一些实际的例子
来阐述一下这个
信号流图的梅逊公式的意义
再回到我们这个问题上来
之前我们已经明确知道了有三条通路
那么这三条通路我这里没有列出来
同时我们也得到了四个回路
分别列到整个这个图上来
我们会发现在四个回路中
只有L1和L2是互不接触的
也就是说L1和L2
没有任何一个节点是共用的
与此对应的L3与它们之间
都是完全是重合的
所以说显然是接触了
L4也是一样
与L1 L2和L3都分别都接触
所以这里面
只有一对互不接触的回路L1和L2
有了这样的认识
我们就可以直接根据梅逊公式
给出传递函数
我们看到从输入到输出
一共有三条前向通路
分别是Q1 Q2 Q3
那么根据通路的结构我们可以给出
分别的传递函数的相乘积的形式
比如Q1它经历了一二三四五
所以它的Q1就等于G1一直乘到G5
那么与此类推Q2 Q3也是一样的
在回路里面一共有四个
根据回路里边经过的传递函数
我们可以分别给出
传递函数的相乘积的形式
比如回路一它就等于-G4H1
L2等于-G2G7H2
与此类推L3和L4
那么在回路里边
只有L1和L2互不接触
其它都接触
根据以上这些观察
我们就可以根据梅逊公式
来得到我们结果了
首先我们要算一下特征式
特征式等于1减去所有回路的
对应的传递函数乘积之和
也意味着也就是L1加到L4
再加上每两个互不接触回路的
这个对应的这个回路的这个量的之积
所以在这里面
由于我们只有L1和L2互不接触
所以我们只有L1乘上L2
那么其它就没有了
那更谈不上每三个了
因为L3和L4呢
分别与所有的回路相接触
接下来我们针对三条前向通路
分别看看它对应的
特征余子式是什么样的
对应第一个通路Δ1
我们会发现第一个通路一二三四五
它与所有的回路都是相接触的
既然与所有的回路相接触
那我们就需要对于第一通路而言
从特征式中去掉所有
与第一条通路相接触的回路
由于这个通路Q1
与所有的回路都相接触
所以我们就要把所有的回路全部去掉
所谓去掉某一个回路
就是要对应那个回路量
比如说L1等于0
这样一来我们发现对于第一通路
我们的余子式就等于1
接下来我们看第二个通路
也就是说这个Q2
它的路径是一四五六
如果我们观察图的话我们可以发现
这个相通的仍然与所有的回路相接触
所以它的这个余子式也等于1
我们接下来再看第三条前向通路Q3
它的通过的路径是一二七
如果我们回到前边图上观察
我们会发现这个前向通路Q3
刚好与L1回路互不接触
没有公共的节点
这样一来在从特征式中去除的时候
我们就需要保留L1
所以我们会得到1-L1
那么为什么L2没有被保留呢
因为Q3是与L2相接触的
所以我们需要把L2视为0
所以我们在这里只保留了L1一项
既然我们有了特征式
有了三个余子式
我们就可以很容易地得到
整个一个传递函数
按照梅逊公式它的整个结果
就是1/Δ 再做求和
那么在求和里边
相当于每一个前向通路的量Q1
乘上它对应的余子式
我们知道把Q1乘上Δ1
加上Q2乘上Δ2 再加上Q3乘Δ3
我们得到相同的结果
大家可以验证一下
那么对于补充题二
在这里我们也做一些展开的一个介绍
看看对于这种情况下
是如何得出它的这个传递函数的
首先看一眼补充题二要做一个映射
可以得到对应的信号流图
那么如果我们观察这个流图的话
我们会发现一个特点
从输入到输出的话
我们似乎只有一条通路
就是横着这条通路
其它通路是不存在的
那这样一来这个问题
会得到了大大的简化
由于只有一条通路
那么也就是说只存在着一个Q
我们称为Q1
Q1它的量等于所有通路上
传递函数的乘积
也就是从G1 G2一直乘到G6
那么在这个例子中回路似乎比较多
那我们看一眼大概哪些回路
这里边一共有6个回路
回路一G2 G3和-H2 也就是L1
回路二是G1 G2乘上H1
G3是G5和-H4
L4也就是第四个回路是G5 G6乘上H3
那么相对应的还有第五个回路
和第六个回路
由于回路比较多 情况就变得复杂了
在这里面一共出现了
这么多对的互不接触回路
分别是L1 L1和L3 L1和L4
L2和L3 L2和L4 以及回路L5和L3
以及回路L5和L4
一共有六对互不接触回路
那么这里面有没有三个互不接触回路呢
我们经过分析发现是不存在的
所以这里面那么高阶项就都置为0了
那么有了这些观察
我们就可以根据梅逊公式
来认识我们所希望的结果了
首先它的特征式
等于1-所有回路的对应量之和
也就是括号L1加到L6
再加上所有两两互不接触回路的
对应量乘积之和
也就是L1乘上L3加上L1乘上L4
一直加到L5乘L4
由于有三个互不接触回路
这后面都是0了
在这里面我们只有一个通路
所以我们只需要计算一个余子式
那么对于前向通路Q1而言
这个通路我们可以发现
这个通路贯穿了所有的回路
所以这个通路是与所有的回路都相接触的
这个问题从这点看上去变得比较简单
既然这样它的余子式就等于1
所以整个的结果
也就是传递函数就等于1/Δ
乘上Q1再乘上Δ1
大家可以看到对于这个例子而言
信号流图是不是变得比较容易
比我们做框图变换会变得更加容易一些
接下来我们同样对于我们前面提到的
这个顺馈的例子
同样采用信号流图的方式来进行运算
首先把它变成一个信号流图
这个变换关系应该来讲还是比较容易的
对于这样一个信号流图
我们观察从输入到输出
一共几条通路呢 一共有两条
分别是第一条通路和第二条通路
回路一共有两个
就是回路1 G3
还有第二个 和回路2
那么我分别写出两个这个前向通路
和两个回路的对应的一个传递函数乘积量
也就是Q1 Q2和L1 L2
那在这个例子中我们没有互不接触回路
所以整个求解过程也是比较简单的
那么它的特征式等于
1-所有的回路的这个对应量之和
也就是1-（L1+L2）
那么由于没有互不接触回路
同时前向通路
两项通路都分别与两个回路相接触
所以它的两个余子式也非常简单都等于1
那么接下来我们就可以根据梅逊公式
给出结果来了
从这些例子可以看出信号流图的方式
与框图变换的方式相比有它独特的优点
它并不需要反复重新
去画一个这个框图变换的那个结果
避免了在重新画框图过程中的一些错误
但是也增加了我们观察的难度
要求我们非常严格仔细地去观察
到底有哪些通路和哪些回路
以及回路之间的关系
以及回路和通路之间的关系
那么如果我们观察足够仔细的话
信号流图也同样可以给出一个比较快的结果
在实际过程中大家可以自己选择
采用哪种方式来进行运算
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