当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > 采样定理 > 视频
同学们好
现在我们来学习采样定理
我们通过前面学习知道
一个采样器把一个连续时间信号
变成离散时间信号
所以说同学们很容易会产生一个疑问
就说一个采样器把连续时间信号
变成离散时间信号以后
信息会不会受到损失
因为这个很容易理解
因为采样器只是在这些周期时刻
把信号的取值保留下来
而其他信号的取值一概全部扔掉
因此信息一定是有损失的
那么这个损失到底有多少
那有没有可能
我们通过设计适当的采样装置
使得这个信息的损失为零
或者说信息损失在可控的范围之内呢
那我们现在要学习的采样定理
就是要回答这个问题
首先我们简单地
从一个比较直观的图像来理解采样定理
假如说我们这个采样的信号
是一个变化比较缓慢的信号
也就是说一个比较光滑平滑的一个信号
那么我们在不同的周期时刻采样取值以后
然后把其他的时刻的取值扔掉以后
我们来看一下有没有可能
通过采样以后的离散时间信号
把之前的这个连续时间信号重构出来
由于这个信号变化比较平缓
所以我们很容易可以想像
那我们可以通过插值的方式
把不同采样时刻之间的这个曲线
这个之间的这个时刻的取值
通过一条平滑的曲线连接起来
而我们用这条曲线去近似
原来的连续时间信号的时候
我们知道如果原来时间信号比较平滑
那么这个它们之间的
信号误差会是比较小的
而如果原来这个时间信号变化比较剧烈
那我们可以想像
这时候这个经过平滑插值
近似以后的这个近似信号
和原来误差就会比较大
但是这个误差我们可以通过把采样
通过这个加快采样速率
我们使得这个采样周期间隔比较短
从而在这个每个采样周期内
这个信号的变化
相对的比较平滑比较缓慢
就说变化不那么剧烈
只要这个采样周期的这个长短
比上这个信号变化的速率呢
只要能够足够的短
那么我们总可以
通过这种插值的方式去近似这个信号
所以说我们可以看到
那么这个信息的损失
实际上是跟采样周期的长短有关系的
那么具体怎么量化地分析
我们现在来看一下
这个分析我们首先通过
采样信号的频谱来看
我们知道任何一个时间信号
它总是有一个频谱的
那这个频谱一般来讲
它在频率比较低的时候取值比较大
随着频域的增高
那么这个频谱的这个高度
会逐渐地衰减到零
因为基本上任何一个物理的信号
它都有这样一个特性
我们来看一下对于这样一个信号
我们看一下
如果这个信号本身的频谱是这样的
那么采样输出以后
这个信号频谱会变成什么样子
那么在计算这个采样信号输出的频谱之前
我们首先要用到这样一个性质
也就是说这个采样器本身
这个δT这个时间函数
它的傅里叶展开是什么样的
我们可以证明它的傅里叶展开
实际上等于1/T
然后e^(jkωst)
所有这些项的叠加
也就是说所有的这一些前面的系数都是1
实际上这样一个
傅里叶展开的这个级数表达式
实际上在数学上来讲是并不是严格的
因为大家可以证明这个傅里叶级数
是一个发散的级数
因此如果要严格地去描述
这个级数所表达的关系
我们还需要一些关于δ函数背后的
这个广义函数理论
但是从工程的角度来讲的话
我们经常只要形式上地去用这些表达式
实际上得到的结果基本上都是正确的
所以在这里面
我们不对数学严格性做过多的讨论
而只是用这个结果
我们把这个傅里叶级数展开
代到我们上面这个表达式里面
我们会得到x*(t)
等于x(t)乘以e^(jkωst)
然后做这样一个级数的叠加
而对这样一个函数
我们去两边去做拉普拉斯变换
跟我们刚才的分析一样
那由于这实际上是相当于一个时延项
而这个时延是jkωs
所以做拉普拉斯变换以后
就等于每一项就是X的s在做这样一个平移
那这个平移我们从频谱上可以看到
就说如果让s等于jω的话
把代进去以后就相当于我们去看它的频谱
其中的每一项就是这个频率
去做了k倍的ωs的平移
也就是说它相当于采样前信号的X(jω)
然后做整数倍ωs平移以后再叠加到一起
所以我们从频谱图上看到就是这个样子
就是它等于原来这个信号的频谱特性
再加上一些向左向右
移动整数的周期倍的频谱特性
所有的这个频度特性叠加在一起
因此我们可以看到
我们比较一下这两个频谱特性
那我们可以看到
当这些不同的分量之间有交叠的时候
叠加出来的频谱特性
和原来的频谱特性肯定是不一样的
但是有一个比较特殊的情况
就是说如果这个信号
本身的这个宽度是有限的
就是说如果这个
原来这个信号本身的宽度是ω1
也就是说它是这个频率
在-ω1到ω1这个区间范围内
这个频谱取值是非0的
而在这个区间之外
这个频谱函数的取值都等于零
那我们来看一下
这样一个信号经过一个采样装置
它得到了一个频谱函数是这个样子
而在图形上表达出来
它可能会是这个样子
也就是说它等于原来的频谱函数
经过整数的周期的平移以后
得到这样一个叠加的这样一个频谱函数
那这个频谱函数
就是这个采样信号的频谱函数
那我们很容易可以看到
就是说如果我们这个采样周期
也就是说ωs取的足够的大
ωs取的足够的大
那么这两个对这样一个带宽有限的信号
那么这个不同的叠加分量
它有可能会互相拉得开
拉开以后互相就不再会有叠加
互不重叠
如果互不重叠以后
我们看到那么这个频谱信号
和原来这个频谱信号虽然是不一样的
但是在这个低频的范围内
负ω1到ω1这个区间内
这个信号和原来信号的形状
实际上是一样的
因此我们可以想像
我们如果有这样一个低通滤波器
把所有的高频分量把它滤掉
滤掉以后这个信号就和原来信号
频谱上是完全一致的
那这是一个数学的表达
那么在物理上告诉我们什么
就是说这样一个带宽有限的时间信号
如果经过一个理想采样装置以后
这个采样信号再经过一个低通滤波的话
那么这个滤波后的这个信号和原来信号
应该是完全一样的
至少在理论上是完全一样的
所以说这样一个信号
它可以去完全重构之前的这样一个信号
因此采样定理告诉我们
任何一个带宽有限的信号
只要理想采样器的采样周期足够得短
那么我们总可以去辅助一个低通滤波器
把这信号完全重构出来
那么即使这个信号这个带宽不是有限的
那我们也可以去合理的
去选取一个有限的带宽
把这个频谱信号
比较小的这些分量把它截取掉
那么通过上述这种方式重构出来的信号
和原来这个信号也会非常得接近
至少误差可以控制
在一个比较合理的范围内
那这就是采样定理的本质
好
我们这节课就到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
--Video
-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
--Video
-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
--Video
-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
--Video
-频率特性引言--作业
-Fourier变换
--Video
-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
--Video
-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
--Video
-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
--Video
-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
--Video
-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
--Video
-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
--Video
-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
--Video
-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
--Video
-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
--Video
-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
--Video
-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
--Video
-根轨迹方法简介
--Video
-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
--Video
-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
--Video
-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
--Video
-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
--Video
-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
--Video
-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
--Video
-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
--Video
-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
--Video
-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
--Video
-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
--Video
-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
--Video
-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
--Video
-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
--Video
-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
--Video
-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
--Video
-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
--Video
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
--Video
-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
--Video
-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
--Video
-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
--Video
-非线性系统概述
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
--Video
-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
--Video
-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
--Video
-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
--Video
-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
--Video
-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
--Video
-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
--Video
-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
--Video
-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
--Video
-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
--Video
-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
--视频
-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
--视频
--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
--视频
-采样定理--作业
-零阶保持器
--视频
-零阶保持器--作业
-z-变换
--视频
-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
--视频
-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
--视频
-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
