当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第一周：绪论及基础知识 > 拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用 > 视频
这一节我们学习
如何利用拉普拉斯变换求解微分方程
因为这一部分其实很重要
因为在自动控制理论里面
我们在知道了传递函数和输入函数
要求输出函数的时候
其实就是通过这个拉普拉斯变换
和它的逆变换来求的
我们来看一个例子
这样一个方程y的二阶导数
加4y的一阶导数再加3y等于e^(-t)
它的初值 初值y(0)和y'(0)等于1
大家看一下这个方程
要解
直接的去解 去把这个y解出来
是不是不是很直观
去猜一下
我们首先要去
我们如果没有学拉普拉斯变换
我们就会去猜这个y
到底是个什么样子的 对吧
然后再把它带进去
把它的这个系数求出来
然后再确定
但是要猜这个y的这个样子
我觉得就很困难
因为有各种各样的函数
有sin函数 有指数函数
还有t t方什么的这个
各种各样的 函数实在是太多
我们很难去猜出来
一看这个样子就能把它猜出来
这是很困难的
那我们在学习了拉普拉斯变换之后
我们就可以有一种系统的方法
按步骤的来求解这个微分方程
首先我们来看微分方程的
一般的表达式
这是一个n阶的微分方程
对吧
y的n阶导数 然后这样线性的
系数是常系数
所谓常系数就是给定的
不会随时间变的
就是常数说穿了 好吧
这样的一个方程
这个f(t)要给出来
那它的初值
我们说的是初值不是终值
就是当t等于0的时候它的值
我们要是已知的
就是对于这样的一个微分方程
我们怎么利用拉普拉斯变换来求解
我们来看我们首先设什么呀
设y的拉普拉斯变换是Y(s)对吧
f(t)的拉普拉斯变换F(s)
因为f(t)是在你拿到的这个微分方程里
f(t)是给定的
所以你可以很快地就给它
把它的这个拉普拉斯变换求出来
那我们现在实际上我们是做什么呢
我们是要把Y(s)找出来
我们的这个思路就是
我先把这个Y(s)找出来
然后怎么通过逆变换
再把这个y(t)找出来
就是这样的
很直观的一种方式
那我们现在来看一下
因为根据这个拉普拉斯变换的
这个微分性质
我们对这个微分方程的这一部分
因为它不仅有y(t)
它还有
前面我们还有y的n阶导数对吧
所以我们先要把它变出来
变出来的话我们看
一阶导数是什么样的呢
就是根据这个性质我们可以得到
是sY(s)-y(0)
所以把这个初值代进去
因为这个初值是要给出来的
所以就变成了这个y0
y的二阶导数的拉普拉斯变换
根据这个微分性质就是y的一阶导数
这个一阶导数的拉普拉斯变换乘上s
再减去y'(0) 对吧
所以那这个一阶导数这个呢
用前面上面这个式子换过来
所以就变出s方来了 知道吗
就是s^2Y(s)-sy0
然后再减y1
这个是它的初值 这是它的初值
那所以由前面这个往下推的话
对k k阶导数的话
那就是得到什么呀
大家这样归纳一下
就是你看这个二阶导数的时候
这是出了s方
所以k阶导数的话
就是s的k次方乘上Y(s)
然后再往下降s^(k-1)y0
然后s^(k-2)y1
然后一直到y的k-1
对吧 就这样推过来嘛
由一阶二阶 我们可以这样类推
得到这个y(k)的这个拉普拉斯变换
所以我们现在要把它那个整理一下
怎么整理呢
就是关于Y(s)的整理
然后另一部分就是与这个初值有关的
而且没有Y(s)的这些项
所以我们先把初值就是后面这一部分
与初值有关的这一部分拿出来
关于Bk的Bk(s)就是说s^k这个
就是y(k)(s)
它的拉普拉斯变换里面
前面有一部分是很简单的就是s^kY(s)
然后是再减去后面的这一部分
后面的这一部分我们把它记成Bk(s)
好吧 我们把它合在一起
这是减Bk(s)
所以可以把它这样写成一个
求和的形式 这样比较简单一点
所以这样一来的话
我们就发现这个y(k)(t)
就是y的k阶导数的拉普拉斯变换
可以写成这样的形式
好了 那从n阶到这个
看原来这个式子是y的n阶导数
然后再加上
a n-1
y的n-1对吧
所以我们这样一整理的话
就得到这样的
就把Y(s) 与Y(s)有关的拿出来
把它的系数写在一起
这样乘上Y(s)
然后后面的这个F(s)是哪儿呀
是从哪儿来的
这个F(s)是f(t)对不对
方程里面最开始的那个方程
右边那个f(t)的拉普拉斯变换F(s)
然后把这个与初值有关的这一部分
移到这边来 它原来是负的
减去B的这些Bn Bn-1这个
把它移过来 所以变成加
就是这一部分
这个是y y的初值
y(t)的初值有关的部分
就是在拉普拉斯变换的时候
产生的这一部分把它移到这边来
这边来之后我们就可以看到怎么样啊
很明显的就是说我们如果知道了Y(s)
我们就可以怎么样
通过逆变换得到y(t) 对吧
所以我们现在已经差不多了
就是我们现在把这个
这个s的多项式这个
s^n+a(n-1)s^(n-1)
这个多项式给除过去
那为了简单呢
我们就把前面这一部分记成Q(s)
所以这样子一个求和的这样记呢
会看的比较清爽一些
然后B(s)就是每一个Bn Bn-1的这个
把它放在一起
这样的话我们就简单的形式
就是Q(s)Y(s) F(s)
这是f(t) 从f(t)过来的
然后这个B(s)这是跟初值有关的
这个是由它的这个几阶导数
然后它的系数这样决定的
所以这样我们就可以得到
Q(s)是等于它
那我们来看这个B(s)
是包括所有的初值条件 对吧
那特别的一种情况呢
就是说如果所有的初值都等于0呢
那这个B(s)就怎么样
就没有了 就等于0了
所以在这种情况下的话
这个形式就变得更加简单
就是F(s)/Q(s) Y(s)就得到了
得到Y(s)之后我们知道该怎么求了吧
那就是求这个逆变换对吧
所以求解微分方程的步骤呢
首先是对微分方程
做拉普拉斯变换
然后就得到这个Y(s)的代数方程
然后再把这个Y(s)求出来
就是Y(s)等于什么什么
要把这个求出来
求出来之后
再对Y(s)做拉普拉斯逆变换
就得到了这个原微分方程的解y(t)
我们可以看到这个过程
是非常系统的
就是不管你拿到什么样的微分方程
只要它是这个常系数的线性的
这种定常的这种微分方程的话
我们不管它是有多复杂 对吧
阶次有多高 那个系数有多复杂
我们都可以根据这个步骤
来把它求出来
那我们现在举个例子
这是一个二阶的微分方程
就刚才我们前面也给大家看了
那这个怎么解呢
就按这个步骤来
我们首先对它做什么呀
拉普拉斯变换
等式左边拉普拉斯变换
等式右边拉普拉斯变换
等式左边拉普拉斯变换
我们先是把这个
关于Y(s)的这个弄出来
那你看一下其实很简单的
就是如果它是二阶导数
你在这对应的写个s方
一阶导数就是s
然后系数留下来就是4s
然后这个是它本身对吧
当然就没有s了
所以就直接是把它的系数保留下来
这样括起来
这个就是Y(s)的这个它的系数了
好吧 这是拉普拉斯变换
然后这边是根据
它的那个初值得到的
所以这个要稍微小心一点
因为要乘 这个因为有二阶
所以也会有s出来
这个按那个步骤来
然后这个是e^(-t)的拉普拉斯变换
所以首先是对这个
原来这个方程的左边
做拉普拉斯变换
右边做拉普拉斯变换
那它们还是等的对不对
这得到了这样的一个
关于s的一个方程
s的方程里
你是去把这个Y(s)求出来
所以我们看这样把它移过去
然后除过来就得到了这个Y(s)
就Y(s)得到是它 得到它之后
这又回到我们前面举的例子了
就有一个这个F(s)对吧
这相当于这变成了一个F(s)
有了它我们要去把这个
它的象原函数求出来
就是这样
那对这个分式我们也可以
以前面的这个来分解
分解成三项
一个是s+3的这一项
还有是s+1的这一项对吧 b
然后还有一项是什么呀
(s+1)^2的这一项 c
所以你对它还是
我们前面讲的那个技巧
先等式两边乘上s+3
然后令s等于-3
然后就可以把a求出来
对于c的话你是乘上(s+1)^2
然后令s等于-1 可以把c求出来
对于b你是乘上s+1
然后当然你不能再取s等于-1
你可以取个比如说s等于0
对吧 也可以
所以我们这样的话
我们就通过这个方式
我们就把这个得到的结果
直接写在这了
就是对这个Y(s)的分解
是这样的一个分解得到了
得到了然后我们就每一项
对应的每一项做拉普拉斯逆变换
这个其实我们也说过
我们不是在利用定义去求
而是我们一看1/(s+1)
我们就知道它是一个什么呀
指数的e^(-t)的拉普拉斯变换对吧
这个它的逆变换其实就是e^(-t)
然后这个(s+1)^2的平方的话
那这个前面有t了对不对
这个是拉普拉斯变换的
微分性质得到的
然后s+3那就是e^(-3t)
是吧
所以最后的结果
大家看就是这样的形式
下面我们再给稍微复杂的
一个例子是什么呢
就是说我们既然能求
微分方程的解
那微分方程组的解
那当然也可以求对吧
所以我们来看这个微分方程组
这个微分方程组有y 有x
然后都是二阶的导数 对
初始条件
这个初始条件都等于0
这样一来会比较简单一点
就我们不用考虑这个初始条件的
那个B(s)那个东西的
所以那我们来求它的解
我们就用拉普拉斯变换
你看这个
如果不用拉普拉斯变换
这样的一个方程组
你肯定都晕掉了 没法弄对不对
因为不仅是一个还是两个变量
而且有二阶导数
然后这样纠缠在一起
所以我们用拉普拉斯变换
是非常容易就把它求出来
那我们看y(t)它的Y(s)对吧
这个是通常就这样假设了
X(s)对吧
然后这个系数怎么弄
它有二阶 二阶导数
那就s平方出来然后乘上Y(s)
这个x的二阶
那就是s平方乘上X(s)
然后一阶sX 这个是没有的对吧
那就Y(s)
这个e^t就1/(s-1)
2是什么呀 2/s对吧
这相当于是1的拉普拉斯变换
这不要就留下2出来
经常有学生会到这个地方
就直接用2了
他没看到这个要做拉普拉斯变换
这是相当于是2乘1
这个1这个函数的拉普拉斯变换
所以是s分之2
这个地方要小心 容易出错
然后下面这个同样的2s^2
这个是s方 然后这个是s
这个是X(s) 就直接是它
然后这个也是用1的对吧
它的这个微分性质对不对
出来的有一个t
所以这就是1/s^2
就是相当于其实就是1/s
就是它的这个导数出来的
是1/s^2
那我们就得到这样一个方程组
就这个微分方程组
现在我们得到的是什么
我们现在得到的是代数方程组
这个方程组里面的变量是什么呢
就是Y(s)和X(s)
所以我们怎么求
我们现在你就看这个代数方程组
你怎么求呢
其实还是线性的
线性的代数方程组
那你就是你把这个Y(s) X(s)求出来
这个大家都会对吧
线性代数 就把它求出来就可以
先把它求出来
我们先把它整理一下
就合并同类项整理一下
得到了这样的一个式子
所以我们求这个
线性方程组的Y(s)和X(s)
求出来之后
也是这样的分式的形式
所以我们也把它做分解
把它分成简单分式的这个组合
这个X(s)同样这样分解出来
分解出来然后怎么样 逆变换
这个y(t) 这个是什么 这是1
这项是1对吧
这项是e^t 对
这项是te^t
但是那个符号要注意
是不是要加个负号
这个x(t) 这个是什么
这个是t对不对 t这一项
这有负号 负
然后这项也是t 跟t有关
然后te^t对不对
所以但这些符号要注意一下对吧
因为在微分的性质里面
这个是
-t
f(t)等于F'(s)
还记得吧
就我们给出来的是一个
一般化的n 它这个是n
所以这个负号
这个正负号这要注意一点
就是要在微分性质时候
好 我们刚才讲了
利用拉普拉斯变换
求解微分方程
和微分方程组的例子
求解微分方程和微分方程组
是拉普拉斯变换的
一个非常重要的应用
在自动控制理论里面
同样也是利用拉普拉斯变换
来求解这个系统的输出
大家在将来的学习中就会看到
这个拉普拉斯变换的具体的应用
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
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-控制的基本概念--作业
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
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-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹的图像
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
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-超前校正装置的特性--作业
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
