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同学们好 现在我们来学习z变换
那首先为什么要有z变换这个概念
前面我们通过学习知道的
一个理想采样器
会把一个连续时间信号
变成一个离散时间信号
而我们又通过一个例子可以看到
如果我们在一个实际的采样控制系统里面
求一个采样信号
到另外一个采样信号的传递函数的时候
那么这个传递函数
通常会出现e^(-ts)这样一些非有理项
而一个传递函数
如果变成这样一类非有理函数的时候
那这个数学处理上和分析起来
就会变得非常困难
所以说我们从数学分析式的角度来讲的话
我们希望去避免
这样一些非有理函数的出现
那么z变换其实就是这样一个工具
它可以有效地避免
这样一些非有理项的出现
我们来看一下怎么去避免
假设现在这个信号我们所处理的这个
原来的这个连续时间信号
它是一个单边信号
因为我们知道我们在用
拉普拉斯变换的时候
我们都要假设这个信号是单边的
只有在t>0时刻的时候
这个信号才是有取值的
那么这个信号
经过一个理想采样器采样以后
就等于x(t)乘以δT(t)
然后把它的表达式
它是等于无穷多个δ函数的叠加
但是以后我们知道它还是等于这些
在这个采样时刻的这个信号的取值
乘以相应的δ函数
对这样一个无穷极数的这个时间信号
我们去做一个拉普拉斯变换
很容易可以得到的
因为这个δ函数本身的拉普拉斯变换是1
而这个减去小k大T
它实际上是对应一个时间的平移
所谓这个时间平移
就表现为e^(-KTs)
因此这个时间信号
它最后就可以表示成
这样一个极数的形式
这样一个极数的形式
而这个极数的形式
我们可以再进一步解一下
因为如果我们把这个e^(-Ts)单独拿出来
这一项它可以成e^(-Ts)的小k次方
我们通过前面的这个例子我们可以看到
实际上使得这个传递函数
变成一个非有理函数的这个项
实际上都是这样一些项造成的
e^(-Ts) 这样一些时延项造成的
所以说为了去避免
出现这样一些非有理项
我们干脆做一个变量替换
如果我们让小z等于e^(Ts)
那我把这个变量代回到这表达式里面
我们就可以把X*(s)变成一个z的函数
变成一个z的函数
那这里边是e^(-Ts)的k次方
这就会变成相应的z的-k次方
所以X(z)最后表达出来的
就是一个关于z的一个无穷的极数
而这个极数我们可以看到
就是说它通常是
比如说如果k等于0的时候它是一个常数
k等于1的时候它是1/z
k等于2的时候它是1/z^2
这些都是些有理函数
所以说在很多情况下这样的无穷极数
最后如果对极数求和的话
它可以表示成一个有理函数的形式
有可能表示成一个有理函数的形式
从而数学处理上相对会更容易一些
所以总结一下如果有一个连续时间信号
我们可以去定义它的z变换
它的z变换就等于对这个连续时间信号
经过一个理想采样器以后
对这个采样器做我们刚才定义的z变换
它就等于x在这些采样时刻的取值
乘以相应的z^(-k)
这样一个无穷极数的叠加
那同样道理因为我们知道
这样一个极数实际上只跟这个信号
在这个采样时刻的取值有关
跟其它时刻取值没有关系
因此本质上这X(z)这个函数
实际上就取决于
这个x(kT)这个时刻序列的取值
因此如果我们去有了一个离散时间序列
其实它并不一定需要一个连续时间信号
只要有了这样一个离散时刻的
这个时间序列x(k)的话
我们也可以去相应的定义
这个信号的离散时间序列的z变换
它就等于x(k)乘以z^(-k)
然后做这样一个无穷极数的叠加
所以说这是一个z变换的一个普遍的定义
那么常用的z变换
我们可以通过查表获得
比如说我们所熟悉的一个阶跃信号
它的z变换是等于z/(z-1)
那么一个指数函数e的负at
它的z变换我们可以计算出来
等于z/(z-e^(-a))
那其它比如说这个斜坡函数
正弦函数 余弦函数的它的z变换
我们都可以通过查表的方式获得
那在这我们就不过多地
对z变换的具体的求取过程进行讨论
如果大家需要用z变换的时候
我们直接可以通过查表的方式获得
直接使用就可以
我们来看一下z变换
具有一些什么样的性质
那么这个z变换实际上
和我们前面学习过的拉普拉斯变换
实际上我们可以看到
它不过是从拉普拉斯变换
经过一个变量替换得到的
所以它的很多性质
和拉普拉斯变换实际上是很相似的
首先有位移定理
如果我们有一个连续时间信号
我们对这个信号做了一个平移
比如说我们平移了N倍的采样周期
往右平移
那我们知道它对拉普拉斯变换
就等于原来这个信号的拉普拉斯变换
乘以一个e^(-nTs)
所以说这个位移定理反映到这个变换里
就相当于在原来的这个z函数
乘以z^(-n)
因为我们知道z等于e^(Ts)
所以e^(-nTs)实际上就是z^(-n)
所以说这实际上就是拉普拉斯位移定理
只不过把原来的这个s函数变成一个z函数
同样道理如果这个信号左移
如果信号左移的话我们会看到
那实际上这个信号的形状
因为我们只考虑单边信号
只考虑单边信号
那么信号往左移动的时候
实际上左移的这个信号
和原来这个信号的形状已经发生了变化
但左移以后在t小于0这一段时刻的信号
实际上已经被截取掉了
这一段信号实际上是等于0的
因此这个左移除了在X(z)
乘以相应的z^n以后
还要把截取的这段相应的计算在内
它最后的表达式实际上是这个样子的
那具体的推导过程
在这里面我们就不细讲了
大家只需要知道
一个信号的左移和右移
它的表达是不一样的
右移由于个信号本身的形状
并没有发生变化
所以它的前后的关系
只是差一个z^(-n)
而左移会多出来这样一项
它是由于这个信号本身被截取以后
所产生的一个后果
产生的一个影响
第二个定理就是初值定理
如果X(z)是存在的话
如果X(z) 当z趋近于无穷
这个期限如果存在的话我们可以证明
那么这个极限实际上就是
原来这个连续时间信号
它在零时刻的初值
这实际上也是可以由拉普拉斯变换
这个初值定理直接推导出来
那么同样也有终值定理
也就是说如果时间信号
当t趋近于无穷的时候它有极限存在
也就是说x(无穷)是存在的
而相应的这个x(t)的z变换X(z)
它任何一个极点的模都是小于1的
也就是说它所有的极点都在单位元里面
那我们可以证明
这时候这个x(t)趋近于无穷
这个终值可以由相应的z变换得到
而这个极限就是X(z)*(z-1)
我只要让z趋近1就可以
这是对应的这x(t)的终值
当然了还有其它的这个z变换的其它性质
我们也可以类似地推出来
那这些性质实际上都是
和拉普拉斯变换相关联的
那具体的我们就不多介绍了
具体大家如果感兴趣的话
可以去参考我们的教材第92页到97页
对z变换的介绍
好 我们这节课就到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
--Video
-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
--Video
-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
--Video
-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
--Video
-频率特性引言--作业
-Fourier变换
--Video
-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
--Video
-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
--Video
-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
--Video
-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
--Video
-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
--Video
-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
--Video
-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
--Video
-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
--Video
-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
--Video
-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
--Video
-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
--Video
-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
--Video
-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
--Video
-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
--Video
-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
--Video
-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
--Video
-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
--Video
-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
--Video
-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
--Video
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
--Video
-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
--Video
-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
--Video
-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
--Video
-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
--Video
-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
--Video
-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
--视频
-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
--视频
--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
--视频
-采样定理--作业
-零阶保持器
--视频
-零阶保持器--作业
-z-变换
--视频
-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
--视频
-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
--视频
-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
