当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十周 非线性系统分析（一） > 相平面与相轨迹 > Video
同学们好 现在我们来开始学习
利用相平面分析非线性系统
前面我们学习过了利用描述函数法
分析非线性系统的稳定性
及自持振荡的方法
那么这类方法实际上类似于
我们在分析线性系统的特征的时候
所用的频率响应法
也就是说利用Nyquist判据
或者应用Bode图来分析线性系统的方法
是和这一类方法来平行的
那么和线性系统的时域方法平行
在非线性系统的分析中
还有一类方法我们叫做相平面法
它实际上类似于我们在分析线性系统中
所用的直接解微分方程的办法
这类方法它适用于
一类比较简单的非线性系统
那么在讲相平面法之前
我们首先看一下描述函数法
有一些什么样的局限
使得我们必须要采用新的方法
首先描述函数法我们知道
它是一个近似的方法
它是对一个静态的
相对简单的非线性环节
把它用一个近似的线性环节来代替
所以这里面一定会带来精度的问题
就是它在很多的情况下可能是不准确的
第二个由于描述函数法
本质上是依赖于频率响应的
所以从这个描述函数法的分析结果上
它是没有办法直接看到系统的时间响应
或者说它分析的是
一个非线性的输入输出系统中的
稳态响应这部分
就是当系统输出达到稳态的时候
这时候的输入输出特性
而对于系统的瞬态响应
从描述函数法实际上是没有办法分析的
第三点描述函数法是针对这种周期输入
也就是说对于这种正弦输入
或者说如果更推广
可以是其它的周期输入
它可以对某些情况下
提供比较有效的分析
但是如果输入不是一个周期信号
描述函数法也相应的会失效
我们来看一下什么是相平面法
在讲相平面法之前
我们首先要给它一个定义
假如说现在有这样一个二阶的非线性系统
它可以由一个二阶的微分方程来描述
x两点等于f的x x一点
这样一个非线性的微分方程来描述
其中f是x x一点的一个非线性函数
在这里边如果我把x和x一点两个变量
我们把它称为相变量
那么这两个变量它构成一个二维平面
这个平面我们叫做相平面
这是我们相平面的定义
大家可以想象对于这样一个
非线性微分方程
我如果把这个方程的解求出来
就是我们可以求出来x关于时间的变化
x一点关于时间的变化
也就是说x如果表示未知的话
x一点就表示它的速度
如果速度的曲线和位置的曲线
我们同时都能够求解出来的话
我们把它画在这个相平面上
这时候也就是说
我可以把时间这个变量去掉
就是说我给定一个时间
我可以把相应的x和x一点
在这个时间的取值标在相平面上
然后再换一个时间
再把相应的x和x一点标在这平面
那么当时间从0趋近于正无穷的时候
那这些点就会连成一条轨迹
这就是这个非线性系统
所对应的一个相轨迹
那我们对非线性系统的分析
基于相平面的分析
就是基于对这些轨迹的分析得到的
那么如果对这些轨迹
能够有一个比较准确的刻画
那从轨迹的特征上
我们就可以对非线性系统
得到一个比较准确的分析结果
那么我们来看一下
如果要用相平面法来分析非线性系统的话
首先第一点我们必须要知道
相轨迹是什么样的
所以我们首先要知道
怎么样去画一个非线性系统的相轨迹
如果这个非线性系统的方程
是我们刚才讲的这个样子
x两点加上fx x一点等于0
那么有些时候为了方便起见
我们把这两个变量 相变量
x和x一点的编号
分别叫做x1和x2
这样我们就可以把
这样一个二阶的微分方程
变成两个一阶的微分方程组
其中x1的对时间的导数
因为我们知道x1一点其实就是x一点
所以它等于x2
那么x2一点其实就是这里面的x两点
所以它应该等于负的fx x一点
所以它就应该等于负的fx1 x2
那所以这是一个
对于这样一类比较特殊的非线性系统
我们可以把这个
一个二阶的非线性微分方程
写成这样一个两个一阶的非线性方程
那么更一般的
如果这个表达式更一般的话
或者说我们相变量不取x和x一点
我们可以取任何一个
关于x和x一点的两个独立的函数
比如说一个取x加x一点
一个取x减x一点
任意两个独立变量
那么这个时候
我们总可以把这样一个二阶的非线性系统
表示成两个一阶的非线性系统
只不过这时候方程右边
就是一个比较一般的函数表达式
不再像这边这个地方这么特殊
那对于这样一个非线性系统
我们就可以画出这个系统的相轨迹
也就是说如果我们得到了x1t和x2t的话
对于每个时刻我把相应的x1t和x2t
画到这个相平面上
那么把这些点描出来
就会得到一个相轨迹
那么怎么去确定这个相轨迹的形状呢
因为一般来讲
对于这样一个非线性系统
我们是不可能去得到它的解析解
如果得不到解析解
那是不是就没有办法
去画出这个相轨迹的形状
或者说大致的画出它的形状呢
我们说是有办法的
那么怎么画呢
我们来看这样一个简单的原理
因为这两个方程里面
它都是关于是两个相变量
关于时间的微分方程
而在相轨迹上面
实际上跟时间是没有关系的
或者说时间是个隐含的关系
它是这条轨迹的一个轨迹的参数
所以说我们首先先把时间给削掉
那这两个方程我们两边除一下
方程的左边相除 右边相除
那我们很容易可以得到
右边就是这个方程除以这个方程
就是右边就是f2除以f1
那么左边我们知道
实际上大家如果不严格的来讲
就可以把这个看成一个
通常的一个分式
那么这个分式里边dt就可以削掉
所以就可以得到dx2除以dx1
也就是说x2对x1的导数
它应该等于这个函数
那这个实际上就有个非常直观的几何含义
那这个几何含义是什么呢
就是说如果我从某一个初始值开始
x10 x20 也就是我们这里面
标出这个黑点开始
那从这个点开始 dx2除以dx1是什么呢
就是说我们画出这条相轨迹
在这条轨迹的地方如果做一个切线
那这个切线的斜率就是dx2除以dx1
就是在这个轨迹
在这个地方的切线的斜率就是dx2 dx1
当然这个切线的方向
是指向时间增加的方向
所以说这个关系
就是这个f2除以f1这个非线性函数
它就代表了在这个点地方切线的斜率
而这个斜率是x2和x1的一个非线性函数
它是依赖于这个点所处的位置
所以说如果知道了在任何一个地方
这个切线的斜率的话
我们就可能根据
这个切线的斜率的这个分布的特征
去把相轨迹描出来
那我们看一下如果我们知道
在一个相平面相轨迹的地方
是有这样一条切线
具体的来分析一下
在这个切线我们知道
刚才我们所定义的dx2除以dx1
它应该等于f2除以f1
那么f2除以f1这样一个标量函数
它代表了这个切线在这个地方
沿着时间增加的方向
这个切线的斜率
那我如果再定义这样一个相量
就是说我们让这个相量
第一维等于f1 x1 x2
相量第二维等于f2 x1 x2
那这是一个相平面上的相量 二维相量
那这个相量v所指的方向
实际上就是这个切线这个相量所指的方向
所以这个v它代表这个切线的
这个所指的这个方向
它用这个相量可以来表示
好 那我们来想象那如果在这一点
如果这个v是不等于0的
如果v不等于0的话
那我总可以把这个箭头画出来
而这个箭头它是有一个确定的指向
而有一个确定的指向的话
这个相轨迹在这一点附近
如果在一个不是特别准确的话
我在这点附近可以用一个
以这个斜率的一个线段来近似的表示
或者说相轨迹在这个附近
可以由这个相量指向来唯一确定
但是还有可能会发生这样一种情况
就是在某一个点 x1 x2这个地方
这个相量v就是等于0
那这个时候我们可以看到
如果这两个都等于0的话
00的话这个方向
实际上是一个不确定的方向
不知道是往这边指还是往这边指
还是往那边指
那这种点的话就是如果在某一个点
x1 x2这个点发生这种情况下
让这个v这个相量等于0的话
也就是f1 x1 x2 f2 x1 x2
如果同时等于0的话
这类点我们就称为奇点
在奇点可能会发生这种情况
就是比如说在这个地方原点是个奇点
那在奇点这个地方
它可能有多条相轨迹去穿过它
就是说我给从这个奇点出发的话
我也不知道我将来相轨迹朝哪个方向走
这个方向是不确定的
不像这种点我们称为普通点
这种普通点如果这个v不等于0的话
在这个地方相轨迹是唯一确定的
它只能有一条相轨迹穿过它
那么奇点实际上我们这个概念
我们前面碰到过
我们前面在去讨论
非线性系统的动力学特征的时候
实际上我们牵涉到
讨论过平衡点的概念
实际上奇点就是平衡点
就是让f1 f2等于0的地方
也就是说如果这个系统的轨迹
一开始就从奇点开始的话
它是永远会停在奇点这个地方的
那如果这个奇点
就是说在这个点的附近
不存在其它的奇点的话
这个点我们叫做孤立奇点
我们来看一看 举两个奇点的例子
第一个例子就是如果有这样一个方程
当然这是一个线性系统了
但是对于我们来理解奇点的话
实际上是一样的
对这个线性系统来讲的话
如果我们记这个相变量
一个是x 一个是x一点
我们把它分别记作x1 x2的话
我们可以去写出
它的这个一一对应的一阶线性方程组
那么我们知道奇点对应于方程右边
都等于0的情况
所以这个等于0就等于x2等于0
这个等于x1等于0
所以原点是系统的一个奇点
而且只有这个奇点
因为让方程右边等于0
只有这一个解
所以这个点是孤立奇点
我们画出这个系统的这个相轨迹的话
我们后面知道这个相轨迹是一组同心圆
是一组同心圆
它是以这个原点这个奇点
为中心的一组同心圆
好 那一个系统的奇点并不总是孤立奇点
它还有可能发生下面这种情况
我们来看这个例子
这也是一个二阶的线性系统
我们用同样的相变量x和x一点的话
我们会写出它对应的一阶线性方程组
x一点的导数是等于x2 这是一样的
那么x2一点的导数实际上就是x的两点
因为x2等于x一点
那x两点根据这个方程来看
它应该等于负的x一点 就是这个
x一点根据定义就是x2
所以我们这个方程
第一个方程的右边是x2
第二个方程右边是负x2
所以让方程的右边等于0的话
实际上我可以看到不管x1等于多少
只要x2等于0这样的点就是奇点
所以说对于这样一个线性方程
x1轴上的所有的点其实都是奇点
其实都是奇点
那我们画出相轨迹的话
其实从任何一个地方出发
这个相轨迹它可能会终止于
x1轴上的任意一个点
所有这些点都是奇点
所以这些奇点是连续分布的
那么在对奇点有了一定了解以后
我们来看一下画相轨迹的一些基本的原则
或者说在画相轨迹的时候
它所满足的一些通用的一些规律
首先如果我们还是考虑
这样一个二阶的非线性系统
它满足我们可以推导
比如说如果定义相变量是x和x一点的话
它应该满足这样一个
非线性的一阶的线性方程组
好 那我们首先看一下
这个奇点在什么地方
因为这个方程比较特殊
这个方程在第一个方程的右边就是x2
第二个方程的右边
它可能是个比较一般的非线性函数
那如果第一个方程右边是x2
如果奇点要满足这个条件
方程右边等于0的话x2一定是等于0
当然这个时候如果让f等于0的话
x1可能是取不同的值
但是x2本身是一定等于0的
所以这样一类系统
所以对这样一类系统
这是一个相对比较特殊的系统
如果相变量是定义为x和x一点的话
那么这个系统的奇点一定是在x1轴
也就是说它对应x2一定是等于0的
好 那如果奇点以外
如果再看奇点以外
就是说如果这时候x2等于0
但是f x1 x2这时候不等于0
也就是x2等于0 也就是说f x1 0
如果它不等于0的话
那么这个点对应的点一定不是奇点
也就是说我们所谓的普通点
那我们看看在这个普通点这个地方
这个相轨迹一定有一个
唯一的相轨迹穿过它
那这个相轨迹在这个点附近的斜率是多少
我们同样也可以推出来
这个斜率就应该等于
就是这个方程右边这个函数
除以这个方程左边这个函数
就是f x1 x2除以x2
当然这时候x2等于0了
所以而由于这个又不等于0
所以在这个地方就一定是等于无穷大
一定是等于无穷大
所以说那无穷大是什么意思
也就是说在这个地方的切线的斜率
一定是无穷大
什么样的切线的斜率是无穷大呢
就是这个切线一定是垂直于x1轴的
所以说对这样一个系统
如果看这个相轨迹穿过x1轴的时候
它是什么样呢 它一定是垂直穿过的
一定是垂直穿过的 就像这样子
好 那我们再看一下
另外一个相轨迹的特征
它在上半平面和下半平面的运动方向
好 在上半平面我们知道
上半平面对应的x一点 x一点是什么呢
我们知道x一点其实就是x2
其实就是x2
那x2在我们的这个相平面的这个表示上面
我们知道因为我们的相平面的定义
就是横轴是x1 纵轴是x2
所以在上半平面x2总是大于0的
x2大于0其实就等价于x一点大于0
那么x一点大于0什么意思呢
就是对应 因为我们知道
这实际上就是它的速度
也就是说它的这个增加率
它大于0就代表x一定是增加的
那所以我们从这可以看出来
就是如果这个相轨迹的某一点
从某一点开始
而这某一点是从上半平面某一点开始的话
那对应的x1一定是增加的
那这意思就是什么呢
x1增加的就是这个相轨迹一定是往右走的
同样道理在下半平面的x一点
其实也就是x2
x2在下半平面是小于0的
也就是说对应x是单调减小了
所以相轨迹向左运动
所以说我们在画出一个相轨迹的时候
我们去看如果轨迹在上边的话
一定是往右走的
这个轨迹在下边的话一定是往左走的
那如果你画出来的这相轨迹不是这个样子
一定是画错了
当然这个规律的话
一定是对于这样一类系统
就是说由这种形式所表示的系统
而且相变量是一个是x 一个是x一点
对于这样一类系统所描述的系统
它有这样的规律
如果相变量取得是其它的变量的话
那这个规律是不一定成立的
另外一个是对称性
在研究对称性之前
我们首先对这个方程稍微做一些变化
那首先我们看
对于这样一个二阶的非线性方程
x两点实际上就是x一点的时间导数
而这对时间导数
我们又可以把它变化一下
就是说我们是加上一个
就是除以一个dx 再乘以一个dx
我们就可以把它拆成两项
这项就是x一点
x的时间导数就是x一点
所以我可以把它写出来以后
然后把这个x一点除过去以后
就可以写出来它应该是等于dx一点除以dx
等于负的f x x一点除以x一点
这实际上就是我们前面推导的
一个相平面上相轨迹在任何一点
切线所满足的方程
只不过这个方程是针对
我们这个比较特殊的系统而言的
我们来看一下
这个对称性和f这个函数本身有什么关系
也就是说假如说现在有这样一个系统
这个系统相轨迹
它关于这个x轴是上下是对称的
上下对称的我们知道
上半平面的轨迹是相右走
所以切线是这个方向
下半平面的轨迹是往左边走
所以切线是这个方向
所以我们看在这两个对称点
A点和B点上下对称这两个点的斜率的话
我们可以看到
这个斜率和这个斜率是相反的
所以这是一个
那我们看一下由这个条件
咱们怎么来推断出来
f应该满足什么样的对称性关系
好 我们看一下在上半平面A
它按照我们刚才推导的关系
应该是负的f x x一点除以x一点
假如说这个等于a
那么在下半平面B 在B这个地方
我们知道在下半平面
就是它对应于同一个x
但是x一点是互为相反数
所以我们在讨论
下半平面的这个方程的时候
这个x一点实际上要换成负的
所以它是负的x一点 负的x一点
然后斜率根据我们刚才
从这个轨迹上的观察去判断
在这两个点的斜率是互为相反数的
所以这要换成负a
所以在这个时候这个系统
就是说我们根据这两个关系
就这两个去比较一下
我们就可以去推断出来
那这个时候f x x一点和f x 负x一点
它两个一定是相等的
这个相等是什么意思
就是告诉我们f关于x这个轴
如果我们要画f这个函数
关于x轴就是说它一定是对称的
一定是对称的
所以这是第一种对称性
好 那我们可以用同样的方法
分析其它的对称性的情况
如果现在这个系统
它的相轨迹是关于x一点这个轴对称的
那我们看一下这个时候
f应该满足什么样的对称性的特征
我们来看一下根据我们这个相轨迹
因为这时候两个相轨迹
在左右的两部分相轨迹
都是往右方运动的
所以这时候这个切线方向往这
这个切线方向往这
所以它的斜率还是互为相反数
所以我们来列一下这个方程
根据我们刚刚列这个方程
如果在A点它满足
f x x一点除以x一点等于a的话
那么在它的对称点B这个地方
x一点本身是一样的 但是x要变成负x
因为它是关于x一点轴左右对称的
对应的斜率应该也变成负号
所以从这个结果推出来
f x x一点应该等于负的f负x x一点
也就是说它关于x 如果固定x一点
它应该是x的一个奇函数
如果f满足这样一个关系的话
相轨迹关于x点轴是左右对称的
那另外一个如果这个相轨迹
是关于原点对称的
这时候在这两个部分
大家可以从这个图上很清楚的看到
这个轨迹切线往这边走
这个轨迹的切线往这边走
它所对应的斜率是一样的
所以我们去列这两个方程的时候
A两边斜率都是相等的
而它所对应的A点和B点
x和x一点要同时取负号
因为它是关于原点对称的
所以说我们就得出来
这个f要满足这个关系的时候
相轨迹是关于原点对称的
所以我们在拿到一个非线性系统
得到它的非线性系统
所满足微分方程的时候
我们如果看到f满足各种对称性的时候
我们就可以首先的判断
它的相轨迹具有一个什么样的对称性
好 我们这节课就到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
--Video
-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
--Video
-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
--Video
-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
--Video
-频率特性引言--作业
-Fourier变换
--Video
-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
--Video
-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
--Video
-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
--Video
-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
--Video
-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
--Video
-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
--Video
-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
--Video
-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
--Video
-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
--Video
-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
--Video
-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
--Video
-根轨迹方法简介
--Video
-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
--Video
-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
--Video
-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
--Video
-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
--Video
-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
--Video
-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
--Video
-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
--Video
-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
--Video
-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
--Video
-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
--Video
-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
--Video
-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
--Video
-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
--Video
-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
--Video
-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
--Video
-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
--Video
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
--Video
-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
--Video
-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
--Video
-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
--Video
-非线性系统概述
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
--Video
-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
--Video
-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
--Video
-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
--Video
-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
--Video
-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
--Video
-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
--Video
-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
--Video
-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
--Video
-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
--Video
-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
--视频
-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
--视频
--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
--视频
-采样定理--作业
-零阶保持器
--视频
-零阶保持器--作业
-z-变换
--视频
-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
--视频
-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
--视频
-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
