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同学们好

现在我们来专门研究一下

非线性系统的奇点

前面我们通过

对非线性系统相轨迹的绘制研究

我们知道如果用等倾线的方法

可以帮助我们去画出相轨迹的大概趋势

但是这个方法实际上有一些局限

就是说这个等倾线方法

适用于相轨迹切线斜不为0的时候

如果不为0的时候

在这个地方切线的方向实际上是给定的

但是如果非线性系统有奇点

那我们前面的分析知道

在非线性的奇点这个地方

它的斜率实际上是不确定的

也就是说如果用等倾线的方法

在奇点附近

这个相轨迹的走势是什么样的

实际上是很难确定的

所以在这一节我们来专门的研究一下

怎么样去研究奇点附近的相轨迹的性质

假如说我们的非线性系统满足

这样一个一般性的方程

x一点等于f1 x二一点等于f2

那么回顾一下奇点的定义就是

使得f1和f2同时等于0的

这样一些相平面上的点

那由于相轨迹在这些点的斜率

f1和f2同时等于0

所以在这一点它实际上它的切线

是没有办法定义的

因为这个斜率是不唯一的

或者说没有办法去定义的

所以奇点处的运动由斜率来确定的话

这条路是走不通的

或者说如果我们要用等倾线法画的话

是没有办法画的

那我们知道了在相平面的分析中

奇点附近的相轨迹是一个决定性的因素

比如说当我们研究稳定性的时候

如果这个系统有几个平衡点

那么这个平衡点附近的稳定性

实际上就决定了这个非线性系统的稳定性

那么怎么样去分析

奇点附近的相轨迹的性质

那我们下面分析的一个基本的思路

就是用线性化的模型

也就说在这个奇点的附近

如果我们把这个系统可以进行线性化

用一个线性系统来近似非线性系统的话

那么在大多数情况下

我是说大多数

也就是说在有些情况下实际上是不可行的

那大多数情况下

我们可以用这个线性化的模型

去近似的去理解

这个原来非线性系统性质是什么

好 我们来看一下

对于一个给定的线性系统

怎么样去近似于

怎么样去得到它的近似的线性系统

假如说我们已经得到了

这个系统的奇点在什么地方

就假设这个系统的奇点就在原点

那么这个运动方程在原点的线性的近似

可以表示成这样一个方程

就x一点等于a1x1加上b1x2

那下面一点等于a2x1加上b2x2

那么a1b1a2b2

实际上就是原来这个系统

方程里面的非线性函数f1和f2

在这个原点的Taylor级数展开的系数

所以我们写出来实际上就是这个样子

如果把这4个系数写成一个矩阵

它a1就等于f1对x1的导数

b1就等于f1对x2的导数

a2等于f2对x1的导数

b2等于f2对x2的导数

那么这个取值实际上

就是在奇点这个地方取值

所以我们知道奇点在什么地方

知道这些导函数的表达式

我们就可以算出在这个奇点附近

近似的线性系统的表达式

好 那么得到这样一个

线性化的二元的一次微分方程组以后

我们首先还是希望把这个方程组

画成一个只有一个变量的二次微分方程

这样后面我们就可以方便的用

这个微分方程特征多项式

来表征和研究系统相轨迹的性质

那么怎么样画呢

我们知道从微分方程

二次的微分方程画成一次的微分方程组

这好画

但是反过来怎么画呢

我们看一下具体的过程

比如说我们选一个变量

我选x1也行 选x2也行

比如说我们就选x1 我让x等于x1

我们希望把这个微分方程组表示成

关于x这个变量的二次微分方程

那我们看一下x一点实际上就是x1的一点

那么x1的一点

根据我们上面得到的这个线性方程

就是a1x1加上b1x2

其中x1就是x

那么x2这一项我们先放到这

我们再看一下x的两点

它等于x1的两点

而x1的两点我们同样用这个方程

对两边同时求导

那我们可以得到x1的两点

实际上就等于a1的x一点加上b1的x2一点

那a1x一点实际上我们放到这

那么x2一点我们又可以把这个线性方程

第二个线性方程带进来

带进来以后x1就是我们刚才定义的x

然后就剩下一个b1b2x2

那这项怎么处理

因为我们现在在这个方程里面

如果看x两点等于a1x一点

加上b1a2x加上b1b2x2

我们看这项的话

实际上我们已经快得到了

一个关于x的二次微分方程

但是还有一个x2没有消掉

那怎么弄呢

我们实际上可以从这个方程出发

因为从这个方程出发

我们可以看到除了b1x2剩下都是x的

所以b1x2应该就等于x一点减去a1x

就把这个减到方程的右边

那我们就可以看到b1x2

实际上就等于这个表达式

我们把这个表达式再带到这个方程里面

最后就可以把x2这个变量消去

最后就所有方程里面所有的变量

都只剩下x

我们整理后就可以得到

一个关于x的一元的二次微分方程

那么这些系数和前面得到了

线性微分方程组的系数是有关系的

那么为了方便起见

我们把这个系数我们叫做a负的

这个系数叫做a

把这个系数对应我们叫做b

这样我们就得到这样一个

一元二次的微分方程

x两点等于ax一点加上bx等于0

那它对于我们前面学过二阶系统的话

我们知道它对应一个特征方式

那么这个特征方程的特征根呢

λ1λ2可以有这样一个求根公式表示

那如果得到了这两个特征根的话

我们就知道这样一个线性系统运动

xt肯定是等于e的λ1t加上e的λ2t

这两个运动模式的线性叠加

其中C1和C2实际上

从相平面相轨迹的角度来看

这两个系数实际上

跟我们相轨迹从哪开始有关系

所以知道相轨迹从哪开始

C1C2的系数就定了

我们看一个相对比较特殊的例子

说如果这两个系数其中一个恰好等于0

比如说C2等于0

如果C2等于0的话

我们知道xt的运动里面

就只剩下了这其中的一个模式

所以xt等于C1eλ1t

这时候我们再去看x1点t就是x的导数

那么我们知道求导以后

它等于λ1再乘以C1eλ1t再乘以t

那很容易可以看到

如果这两个相变量

那如果我们画x和x一点的相图的话

可以看到那么这两个量始终是正比的

x一点比上x始终是等于λ1的

所以如果起始点是在这样一个点

也就是说在起始的时候C2等于0的话

这样一个相轨迹是一个斜率为λ1的直线

那么这个性质

实际上我们后面会经常的用到

好我们来看一看

当λ1λ2不同取值的时候

这个相轨迹是什么样子的

首先如果λ1和λ2

是一对共轭的纯虚根

那实际上我们前面学过

对于这样一个无阻

这是一个无阻尼的系统

阻尼为0的系统

相轨迹是一种以原点为圆心的

一种同心的椭圆

实际上从刚才我们求到的这个

xt的解析表达式也知道

因为λ1λ2对应的是两个周期函数

所以最后的相轨迹一定也是周期的

所以这样的点呢如果一个非线性系统

在它的奇点附近线性化的系统以后

得到的这个线性化的系统

对应的两个特征根是一对纯虚根

我们把这样的一个奇点叫做中心点

也就是说所有的相轨迹

都是以这个为中心的一组椭圆

还有一种情况就是说如果这两个特征根

是一正一负的两个实根

那我们最后得到的这个相轨迹

实际上就是这样一个曲线

这个它的特征就大家可以看到

这个形状实际像一个马鞍一样

马鞍一样

那所有轨线的形状

大家都可以看到有一个共同特点

就是说在这个轨线的一开始的一部分

它是趋近于这个奇点原点的

但是到运动到一定程度以后

这个轨线又开始远离原点

所以所有的轨线除了两条比较特殊的

都不会最后趋近于这个原点

那这两条比较特殊的是什么

就是说如果其中就像我们刚才讲

如果C1C2某项系数为0的话

它从这些点开始的相轨迹是一条直线

而这条直线斜率是

相应的特征根λ1或者λ2

所以有两条相轨迹

实际上是穿过原点的直线

而我们看到因为有两个特征根

一个特征根是大于0的

一个特征根是小于0的

那么大于0的特征根我们知道

1的λt实际上是往无穷远走的

所以对应于λ1斜率的这条直线

所有的相轨迹实际上是趋近于无穷远的

而对于斜率为λ2的这条直线我们知道

λ2是负的

所以1的λ2t它应该是趋近于0的

所以这条直线上的相轨迹是趋近于0的

那么这样的点我们叫做鞍点

因为整个相轨迹的图的形状

像一个马鞍的形状

那么如果现在我们的特征根

是一对共轭的辅助根

而且这对共轭的辅助根

是在辅平面的左半平面

那么这样的点我们叫做稳定的焦点

稳定焦点的轨线的一个特征

它是围绕着奇点原点成螺旋状的

逐渐的收缩的趋近于原点

因为我们可以看到

如果有这样一对共轭虚根

我们可以知道它的xt响应

应该是衰减的振荡的衰减到0的

这样一个特征

所以说所谓的衰减

实际上就是这个轨线

离原点的距离是越来越小

所以它会逐渐收缩到

而它又有周期性的变化

这个周期性的变化

就表现在这个轨线

有时候是在左半平面

有时候是在右半平面

或有时候在上半平面

有时候在下半平面

所以这样的一个衰减的周期性振荡的

轨线是对应这样一个稳定的焦点

如果这对特征根在右半平面

它对应了一个不稳定的焦点

不稳定焦点的这个形状

和稳定焦点的形状实际上是类似

但是不同的是这个轨线的方向是相反的

稳定焦点的轨线是由外向里收缩到原点

而不稳定焦点的轨线形状是

由里到外逐渐的发散到无穷远

这个我们从相变量时间响应曲线上

我们也可以很清楚知道

因为这样的特征根对应于发散的

周期性振荡的曲线

所以轨线上的相点

离原点的距离越来越远

而且它是在左右平面的不断的切换

有时候在左 有时候在右

这是表明了这是一个振荡的曲线

那么还有一类奇点我们叫做节点

节点它所对应的特征根的分布是什么

就是这两个特征根都在实轴上

但是它不像鞍点一样一左一右

而是这两个特征根要么都在左边

要么都在这实轴的右边

对于左边的时候我们根据

xt的这样一个表达式我们可以知道

如果都在左边的话

e的λ和e的λ2t都是一个单调下降的

也就是说xt离原点的距离是逐渐的收缩

所以我们可以看到首先这样对应的

相轨线相轨迹都是逐渐的

从远往近往原点收缩的这样一条轨线

所有的轨线都是往原点收缩的轨线

而且根据我们刚才的一个分析知道

就是如果其中的C1等于0

或者C2等于0的时候

那么这个相轨迹

它对应的是一个斜率

为λ1或者λ2的直线

所以穿过原点我们做

λ1斜率λ2斜率两条直线

那么这两条直线也是相轨线

而这样在所有的相轨线

都是从远到近的

最后趋近于原点的相轨线

那么还有一个特点

就是说大家可以看这两条直线

相轨线实际上

把这相平面分割成了4个区域

在4个区域 在不同的区域里面

相轨线的运动有不同的特征

但是这些相轨线有一个共同的特征

就是说当这相轨线

当t趋近于无穷的时候

或者相轨线一直往前走的时候

它总是沿着同一个方向趋近于原点

那这个方向是什么呢

它实际上就是

对应于斜率比较小的渐近线

比如说我们在这个图里面可以看到

这条渐近线的斜率比较小

所有的相轨线当趋近于原点的时候

它趋近于原点的方向

都是沿这个方向趋近的

这也很容易理解

因为我们从这个表达式

从xt的表达式里面可以看到

如果当t比较大的时候

e的λ1t和e的λ2t

那么λ2对应的斜率比较大的这一部分

e的λ2t衰减的更快

因为它如果它衰减的很快

当t大到一定程度以后

xt实际上就是e的λ1t

这一部分起主导作用

当它起主导作用以后

就实际上就类似于让C2系数等于0

就类似于我们刚才分析到的相轨迹

为λ1的这条直线就趋近于这个情况

所以这是稳定节点的特征

好 我们下面通过一个具体的例子来看一下

如果现在有这样一个非线性系统

这个非线性系统其中有一项

x平方这是非线性项

我们取x等于x1然后x2等于x一点

我们首先可以把它对应的

一阶的二元的非线性的

微分方程组写出来

那通过这个微分方程组

我们可以算奇点在什么地方

就分别让f1 f2等于0

我们可以算出来有两个奇点

一个奇点在原点

还有一个奇点在-20这个地方

那么在这两个奇点附近

我们分别可以做线性化

那么这个线性化的步骤我们刚才讲过

首先我们可以求出在奇点附近矩阵

就是由f1f2对x1x2分别求偏导

得出它这个矩阵

我们可以求出来是这个表达式

那这个矩阵的取值到底是多少

是和我们平衡点的位置有关系

第一个我们看第一个奇点原点

那在这个奇点附近我们把对应的

奇点的坐标带进去

x1应该等于0的等于这个0

所以我们得到的

它的a1b1a2b2这个系数就得到它

把这个系数带到我们刚才推导出来的

这个等价的一元二次微分方程里面

我们得到这样一个二阶的常微分方程

那么这个常微分方程

对应于一对实部小于0的共轭的复根

也就是说它所对应的运动

是一个振荡的衰减的

所以我们结论了就是这个原点在

如果相轨迹在这个原点附近运动的话

它应该是一个衰减的振荡的

从相轨迹上来看的话

它应该是螺旋趋近于原点的

这样一个性质

所以它是一个稳定的焦点

我们看一下另外一个奇点在-2等于0

同样道理我们把这个奇点坐标

带到我们刚才求到的表达式里面

对其中x1x是这个取值-2

带进去以后我们得到这个特征方程

得到特征方程和原来特征方程

就不一样了

这时候特征方程是

这特征根是一正一负

就符合我们刚才求到的鞍点的情况

所以说我们在系统的相平面图上画

画一下这个非线性系统相平面图

我们根据刚才的分析就知道

就是在其中的一个奇点原点附近

那么相轨迹应该是一个螺旋的收缩的

趋近于原点的这样一个性质

那在另外一个奇点附近

它应该类似于一个鞍点

它是由两条渐近线

但是所有的相轨迹除了在直线上

所有相轨迹都是先接近这个奇点

然后再远离这个奇点

这是一个鞍点的形状

所以说我们可以想像

如果我们把整个非线性系统

整个相轨线画出来

在这局部就应该是这个样子

我们实际看一看是这个样子吗

我们用Matlab仿真软件

把这个系统的相轨迹精确的画出来

大家可以发现实际上就是这个样子

那这个地方对应的是原点

大家可以看到它是一个螺旋收缩的

不断收缩于原点的这样一些相轨迹

这个相轨迹符合稳定焦点的特征

而这个地方对应于这个鞍点

对应这个(-2,0)这个奇点

我们大家可以看到这两个

有两条相轨迹是正好穿过(-2,0)的

这两条相轨迹实际上就对应于

我们刚才分析这鞍点的时候

穿过这个奇点的两条渐近线

由于这个系统是一个非线性系统

所以说这个非线性系统和线性系统

相比实际上还有一些差别

就在一个比较小的范围内

我们看它近似于直线

但是在一个比较大的范围内

这条相轨迹就会发生弯曲

就是说在远离这个奇点的地方

会发生弯曲

我们再看一下在这个奇点附近的相轨线

也是类似于鞍点的这些轨线的特征

比如说它先接近于这个鞍点然后再远离

先接近鞍点再进行远离

所有的相轨线在这个附近

都符合这个特征

所以说我们对每个非线性系统的

每个奇点都有了这样一定了解以后

我们来了解非线性系统

整个在相平面上的相轨迹的特征以后

就会提供很多的信息

好 我们这节课就讲到这里

自动控制理论(1)课程列表:

第一周:绪论及基础知识

-绪论

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-拉普拉斯变换定义及性质(一)

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-拉普拉斯变换定义及性质(一)--作业

-拉普拉斯变换定义及性质(二)

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-拉普拉斯变换定义及性质(二)--作业

-卷积定义、定理及性质

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-卷积定义、定理及性质--作业

-拉普拉斯逆变换及应用(一):拉普拉斯逆变换定义

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-拉普拉斯逆变换及应用(一):拉普拉斯逆变换定义--作业

-拉普拉斯逆变换及应用(二):拉普拉斯逆变换应用

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-拉普拉斯逆变换及应用(二):拉普拉斯逆变换应用--作业

第二周:控制系统的概念及数学模型

-控制的基本概念

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-控制的基本概念--作业

-控制系统的微分方程描述(一)

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-控制系统的微分方程描述(一)--作业

-控制系统的微分方程描述(二)

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-控制系统的微分方程描述(二)--作业

-控制系统的传递函数描述(一):Laplace变换知识回顾

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-控制系统的传递函数描述(一):Laplace变换知识回顾--作业

-控制系统的传递函数描述(二):控制系统的传递函数描述

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-控制系统的传递函数描述(二):控制系统的传递函数描述--作业

-框图及其变换(一):传递函数框图定义及连接方式

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-框图及其变换(一):传递函数框图定义及连接方式--作业

-框图及其变换(二):传递函数框图变换

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-第二周:控制系统的概念及数学模型--框图及其变换(二):传递函数框图变换

-信号流图

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-信号流图--作业

-控制系统的基本单元

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-控制系统的基本单元--作业

-非线性单元的线性化

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-第二周:控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化

第三周:线性系统时域分析(一)

-稳定性

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-第三周:线性系统时域分析(一)--稳定性

-稳定的Liapunov定义

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-稳定的Liapunov定义--作业

-稳定性的代数判据(一):Routh判据

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-稳定性的代数判据(一):Routh判据--作业

-稳定性的代数判据(二):系统稳定的必要条件

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-稳定性的代数判据(二):系统稳定的必要条件--作业

-参数稳定性,参数稳定域

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-参数稳定性,参数稳定域--作业

第四周:线性系统时域分析(二)

-静态误差(一):误差和静态误差定义

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-第四周:线性系统时域分析(二)--静态误差(一):误差和静态误差定义

-静态误差(二):静态误差与输入

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-静态误差(三):静态误差的计算

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-静态误差(三):静态误差的计算--作业

-静态误差(四):系统类型与静态误差的关系

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-静态误差(四):系统类型与静态误差的关系--作业

-静态误差(五):静态误差的物理和理论解释

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-静态误差(六):扰动引起的静态误差

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-静态误差(六):扰动引起的静态误差--作业

-动态性能指标

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-动态性能指标--作业

-高阶系统动态性能的二阶近似

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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业

-控制系统的校正

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-控制系统的校正--作业

第五周:频率响应法(一)

-频率特性引言

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-频率特性引言--作业

-Fourier变换

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-第五周:频率响应法(一)--Fourier变换

-频率特性函数

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-频率特性函数--作业

-频率特性的图像

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-频率特性的图像--作业

-基本环节的频率特性

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-基本环节的频率特性--作业

-复杂频率特性的绘制(一)

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-复杂频率特性的绘制(一)--作业

-复杂频率特性的绘制(二)

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-复杂频率特性的绘制(二)--作业

-复杂频率特性的绘制(三)

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-第五周:频率响应法(一)--复杂频率特性的绘制(三)

第六周:频率响应法(二)

-闭环频率特性

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-闭环频率特性--作业

-Nyquist稳定判据(一)

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-Nyquist稳定判据(一)--作业

-Nyquist稳定判据(二)

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-第六周:频率响应法(二)--Nyquist稳定判据(二)

-Nyquist稳定判据(三)

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-第六周:频率响应法(二)--Nyquist稳定判据(三)

-相对稳定性(稳定裕量)

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-相对稳定性(稳定裕量)--作业

-从开环频率特性研究闭环系统性能

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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业

-基于频率特性的控制器设计思路

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第七周:根轨迹方法

-根轨迹方法简介

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-根轨迹方法简介--作业

-根轨迹条件

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-根轨迹条件--作业

-根轨迹性质

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-根轨迹性质--作业

-根轨迹的图像

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-根轨迹的图像--作业

-条件稳定系统

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-条件稳定系统--作业

-零极点对根轨迹的影响

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-零极点对根轨迹的影响--作业

-参数根轨迹和根轨迹族

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-第七周:根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族

-延时系统的根轨迹

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-延时系统的根轨迹--作业

-补根轨迹与全根轨迹

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-补根轨迹与全根轨迹--作业

第八周 系统校正(一)

-校正问题及其实现方式

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-校正问题及其实现方式--作业

-校正装置的设计方法

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-校正装置的设计方法--作业

-超前校正装置的特性

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-超前校正装置的特性--作业

-基于根轨迹法设计超前校正装置

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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业

-基于Bode图设计超前校正装置

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-基于Bode图设计超前校正装置--作业

第九周 系统校正(二)

-滞后校正装置的特性

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-滞后校正装置的特性--作业

-基于根轨迹法设计滞后校正装置

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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业

-基于Bode 图设计滞后校正装置

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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业

-超前-滞后校正装置的特性

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-超前-滞后校正装置的特性--作业

-基于根轨迹法设计超前-滞后校正

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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业

-基于Bode图设计超前-滞后校正

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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业

-开环系统的期望频率特性

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-开环系统的期望频率特性--作业

-反馈校正

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-第九周 系统校正(二)--反馈校正

-直线倒立摆控制系统实验

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第十周 非线性系统分析(一)

-非线性系统概述

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-第十周 非线性系统分析(一)--非线性系统概述

-非线性系统的典型动力学特征

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-非线性系统的典型动力学特征--作业

-描述函数法定义

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-描述函数法定义--作业

-描述函数法求取

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-描述函数法求取--作业

-基于描述函数的稳定性分析

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-第十周 非线性系统分析(一)--基于描述函数的稳定性分析

-非线性系统自持振荡的分析

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-第十周 非线性系统分析(一)--非线性系统自持振荡的分析

-相平面与相轨迹

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-相平面与相轨迹--作业

第十一周 非线性系统分析(二)

-相轨迹的绘制方法

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-相轨迹的绘制方法--作业

-奇点

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-奇点--作业

-线性系统的相平面分析

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-线性系统的相平面分析--作业

-非线性系统的相平面分析

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-非线性系统的相平面分析--作业

-极限环及其产生条件

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-第十一周 非线性系统分析(二)--极限环及其产生条件

-非线性系统分析小结

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-非线性系统分析小结--作业

第十二周:采样系统

-采样控制系统概述

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-采样控制系统概述--作业

-脉冲采样与理想采样

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--采样系统

-脉冲采样与理想采样--作业

-采样定理

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-采样定理--作业

-零阶保持器

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-零阶保持器--作业

-z-变换

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-z-变换--作业

-脉冲传递函数(一)

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-第十二周:采样系统--脉冲传递函数(一)

-脉冲传递函数(二):求脉冲传递函数的一般方法

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-第十二周:采样系统--脉冲传递函数(二):求脉冲传递函数的一般方法

-z-平面上采样系统的稳定性分析

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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业

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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业

-采样控制系统的时域分析

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-采样控制系统的时域分析--作业

-修正的z-变换

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-修正的z-变换--作业

期末考试

-考试环节--期末考试

-考试环节--期中考试

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