当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > 零阶保持器 > 视频
同学们好 现在我们来学习保持器
首先我们看一下什么是保持器
为什么我们需要保持器
我们来看一下一个采样控制系统
我们知道它既有连续的控制对象
又有离散时间的控制装置
对于这样一个装置
这个系统中既有连续时间信号
又有离散时间信号
那么从连续时间信号到离散时间信号
我们需要一个采样器
把连续时间信号抽取为离散时间信号
那另外一方面从这个离散时间信号
把这个当这个控制装置
形成一个控制信号以后
这个信号在具体作用在
这个连续时间对象上的时候
我们知道它实际上是没有办法直接作用的
为什么呢 因为这个连续时间信号
只告诉你在采样时刻这个信号取值是什么
而在采样时刻之间的这个信号取值是什么
实际上它并没有定义
而这样一个没有定义的信号
是没有办法直接作用在
这样一个连续时间信号的
所以我们必须有一个装置告诉我们
除了在这些时刻取值以外
那么在这些时刻之间的这个信号
应该取什么
这样才能构成一个连续时间信号
所以说我们需要一个保持装置
通过这个转换把一个离散时间信号
再重构为连续时间信号
那这个连续时间信号
才能够输入到一个连续的控制对象上
形成真正的一个闭环控制系统
我们看一下保持器怎么去实现
它的定义和分类是什么样的
首先我们有一个最简单的所谓零阶保持器
那这个概念很简单
就是说如果在第nT个时刻
它的取值我们已经知道了
那么在从这个时刻到下一个采样时刻之间
我们只需要让它的取值保持不变
保持不变
就像这个一样
我们假如说在这个初始时刻知道它的取值
从零时刻到第一个采样周期之间
我们把这个区间的这个信号的取值
就定义为跟这个零时刻的取值一样
同样的道理在下一个采样周期区间内
那么这个信号的取值
和这个第一个周期的
采样时刻的取值是一样的
那么在这个周期内
和第二个周期的采样时刻的取值是一样的
因此经过零阶保持以后
得到的连续时间信号
就是这样一个阶梯状的一个信号
那么除了零阶保持以外
我们还有一阶保持
因为我们可以想象
这个零阶保持这个在每个信号之间
在每个采样周期的这个信号它的斜率是0
而实际上我们这个实际的信号
它可能是有一定的斜率的
因此我们很容易会想到
我们可以把这个信号推广一下
要如果我们把这个水平的这个线段
用一条直线来近似
用一条直线来近似
有可能得到一个比零阶保持器
得到了一个更准确的重构信号
那这个斜率怎么来定呢
因为我们知道如果我们要定这段
定这个周期时刻
它的近似的这个直线的时候
我们并不知道下个时刻取值是什么
所以这个斜率只能由这个周期之前的
这个信号的取值来定
那一个最简单的方式
就是说如果我们想知道
在这段斜率是多少
我们从这个时刻前面两个取值来开始
那这两个取值采样点的这个连线
我们可以定义这个斜率
而且我们把这个连线继续延伸
延伸到这个周期
我们就可以用这个线段去定义
在这个采样周期内这个信号的取值
同样道理我们如果要看第二个周期
我们就把第0时刻
和第一个周期的这两个采样点
作为一个连线
然后把这个连线延长
就可以得到第二周期内的
这个连续时间信号的这个近似
因此我们可以把一阶保持器
做这样一个定义
就是说在nT到(n+1)T这个时间区间内的话
它就等于前面两个采样点(n-1)T和nT
它们的连线的延长线
因此我们画出来以后就是这个样子
那这个样子我们可以看到
它比重构信号相对的更准确一些
但是实际上我们在工程上
用这个保持器装置的时候
我们更多的还是用零阶保持
因为一阶保持或者说更高阶的保持
它虽然可以让重构的信号变得更准确
但是它带来的这个数学处理上的麻烦
会更困难的多
因此实际上我们用零阶保持器
用的更多一些
那么具体来分析一下
零阶保持器怎么样从数学上来进行判断
我们知道一个零阶保持器
它使得一个信号从零开始
在一个周期内保持这个信号
在初始时刻的取值
所以很容易可以求出来
如果把零阶保持器
看成一个线性系统的话
它的单位冲激响应
就是这样一个方波函数
它在一个周期内它的取值是1
在周期外取值就是0
当然这个方波函数
我们可以把它分解为
两个单位阶跃函数的叠加
因为我们可以看到
这是从0时刻开始从0变到1
这是一个阶跃函数
那么从T时刻以后
我们再减去一个阶跃函数
就变成这样一个方波信号
而这个减掉的这个阶跃函数
就是这个阶跃信号做一个T时刻的延迟
因此通过这样一个表达式
很容易可以得到零阶保持器的
传递函数的表达式
就是对单位冲激响应做拉普拉斯变换
它得到的形式就是(1-e^(-Ts))/s
而知道传递函数以后
我们就可以进一步求
这个零阶保持器作为一个线性系统
它的频率响应
它的频率响应就等于它的传递函数
让s等于jω代进去以后
代进去以后我们知道
这实际上是一个复变函数
而这个复变函数
我们可以把它经过一定的变换
把它变成一个极坐标形式的表达式
极坐标形式的表达式
而这个极坐标形式的表达式
它的幅值是这个形式
而它的相角是跟ω成正比
相角是跟ω成正比
而其中这个ωs是它的采样频率
我们具体来研究一下
这样一个频率特性
就是零阶保持器所对应的频率特性
它对应的图形
也就是它的这个对数频率特性
和极坐标频率特性具体是什么样子的
我们来看一下Bode图
首先我们来看一下幅频特性
我们知道这个幅频特性
只跟前面这项有关系
后边代表的是相频特性
而幅频特性这项里面
这个分母是跟ω成正比的
所以我们可以想象 而分子是sin函数
所以说它只能在正负1之间变化
因此当ω往正负无穷趋近的时候
整个这项显然是趋近于0的
所以说我们可以看到
它的幅频特性是随着ω趋近于无穷的
它最终会衰减到0
另外由于上面这一项它是一个sin函数
它是个周期变化
因此我们也可以看到这个频谱函数
它呈现了一定的周期性的变化
而在这些ωs的整数倍
如果ω等于ωs整数倍
那这个相角就是π的整数倍
所以在这些时刻它的取值是等于0的
所以因此它的幅频特性表示形式是这样的
而它的相频特性我们看一下
如果只是从这项来看只是从这项来看
那么它的相角是应该跟ω成一个线性关系
它应该是ω的线性函数
所以说我们可以看到在-ωs到ωs这区间
它就是ω的一个线性函数
但实际上我们可以看到因为前面这项
它并不是一个严格大于0的数
并不是一个严格大于0的数
因而如果这个信号
如果从正数变到负数的话
也就是说当这个相角ωπ/ωs
如果从在π这个地方
也就是说它从小于π变到大于π的时候
那这个时候sin这个函数
它会从一个正数变成一个负数
因此这个时候会带来一个
从正数到负数会带来一个
180度的相角的跳变
而这个相角的跳变就反映在ωs
也就是在ωπ/ωs
正好在π这个地方的时候
或者正负π的地方的时候
这个地方相角会有一个跳变
当然这个跳变它可以往下跳180度
也可以往上跳180度
实际上都是一样的
那为了方便我们画图
我们假设跳变是往上跳180度
正好跳到相角等于0的时候
而跳变以后我们知道
在一个半个周期范围内
而前面这项的符号实际上是保持恒定的
因此这时候它的相频特性
又变成一个线性特性
而这种特性的话
我们知道是半个周期半个周期
会呈现这样一种周期性的相角的变化
所以这是它的相频特性
我们知道了它的幅频特性和相频特性以后
我们就可以根据这种特性
把它对应的Nyquist曲线画出来
首先我们知道一开始当ω等于0的时候
它是从一个有限远的时刻开始的
因为这项我们知道ω趋近于0的时候
这项等于1
所以它是从一个有限远的地方开始
而这个点正好等于大T
那我们从这个幅频特性来看
在0到π这个区间
或者说ω 从0到ωs区间
它的幅值是逐渐衰减到0
而相角是从0逐渐变到-π
因此我们可以看到在0到π这个区间
或者0到ωs
频率从0到ωs变化的区间内
它的幅值是逐渐收缩到原点
而收缩到原点的时候
这个相角正好是从-π这个方向
去收缩到原点
所以这是第一个半周期内的
对应的Nyquist曲线
那下一个半周期我们可以看到
它的相角是从0开始
然后又变到-π
所以我们可以看它从下一周期
又跟刚才一样
只不过它的这个幅值是从0开始
经过一个半个周期的变化幅值又变到0
就对应于我们从ωs到2ωs
幅值从0开始增加然后又变到0
而相角从0又变到-π
就对应我们这个的变化
对应这个变化
那么这种规律我们会周而复始
我们可以看到这样闭合的圈
是一圈比一圈小 最后收缩到原点
所以它的Nyquist曲线呈现的是这个样子
好 那么这就是一个零阶保持器的
Nyquist特性曲线
我们现在来总结一下零阶保持器的特点
首先零阶保持器实际上是最简单的
因为在确定一个周期内
它恢复的这个连续时间信号的取值的时候
它只需要前一个
最近一个采样时刻的数据就可以
那么从它的频谱特性我们可以看到
在采样频率的整数倍
ω等于k倍的ωs这个地方
它这个频谱特性的
这个信号取值是等于0的
另外如果这个ωs取的足够的宽
ωs取的足够大
其实也就对应于采样的周期足够短
采样速率足够快的时候
我们可以看到那么这一段 低频段
也就是对应-ωs到ωs这一段
它如果足够宽的话
它的变化就非常平缓
如果这个足够宽大家可以看到
我们在这个 信号本身的这个
它所对应的这个频段范围内
如果可以看到它可以变化的足够缓慢
足够缓慢
因此我们可以看到只要ωs足够大
那么在低频这一段
经过零阶保持器以后的
这个信号它的低频这个频率特性
和原来这个信号的频率特性
实际上它相差就不会太大
也就是说X*(jω)乘以H0(jω)
这是采样保持以后的
和原来这个信号它的差别就不会太大
另外我们也可以看到
从幅频特性上可以看到由于这个H0(jω)
它是随着频率的增高逐渐衰减的
所以它的高频段的作用
实际上是衰减的作用
从相频特性上我们可以看到
根据我们刚才画出来的这个相频特性
它在不同的半周期内
它都是呈现一个线性的变化
而且这个相位都是在0到-180度这个变化
所以它的相位滞后最多不超过180度
好 那最后一个我们总结一下
就是说我们还是从刚才的观察出发
就是说如果采样频率很高的话
那么ωs就会变得很宽
变得很宽以后
我们在一个很宽的这个范围内
那么这个信号H0这个幅频特性
我们可以基本上
可以把它看成一个常数
看成常数以后它对原来这个信号的
产生的变化就会非常小
因此这个时候零阶保持器的这个输出
就会非常接近原来的连续信号
从这个意义上我们只要让采样频率足够高
那么零阶保持器
就可以很好的复现
原来这个连续时间信号
那么从工程上来讲
一般我们去ωs等于10倍到20倍的ω1
其中ω1是原来这个信号
它本身的频段的宽度
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
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-控制的基本概念--作业
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-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-信号流图--作业
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-控制系统的基本单元--作业
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-相平面与相轨迹--作业
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
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-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
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-z-变换--作业
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
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-考试环节--期中考试
