当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > 脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法 > 视频
同学们好
我们现在来学习一下
求取脉冲传递函数的一些常用方法
前面我们学过
如果两个子系统通过框图串联连接起来
如果这两个子系统之间有一个采样器隔离
那么它对应的等效的脉冲传递函数
等于这两个子系统的脉冲传递函数的乘积
如果没有这样一个采样器隔离的话
如果是直接相连的话
我们只能把这两个s传递函数的乘积
看成一个整体的s传递函数
求取对应的脉冲传递函数
所以这是我们在求取脉冲传递函数中
经常要注意的一个问题
此外在采样器之间有可能
有时候还需要有零阶保持器
这个零阶保持器是用来把
采样信号重构成一个连续时间信号
送入到下一级的连续系统
所以如果有零阶保持器的话
那么零阶保持器本身的传递函数
也应该计算在内
所以我们在计算的时候
如果零阶保持器后面的
所有串联连接的系统
传递函数是Gp(s)的话
那么我们在算脉冲传递函数的
对应的s传递函数的话
应该把零阶保持器
对应的传递函数H0(s)也乘进来
我们算应该算这个G(s)
所对应的脉冲传递函数
那么我们一般在算G(z)的时候
也就是G(s)对应的脉冲传递函数的时候
我们一般有两种方法
第一种方法是根据定义来
就是说如果知道G(s)
我们可以把它对应的冲激响应
也就是单位脉冲响应g(t)
可以通过反拉普拉斯变换求出来
然后通过G(t)我们得到对应的采样序列
通过采样序列
我可以把g(t)的z变换求出来
那么这个z变换就是要求的G(z)
那么第二种方法
由于第一种方法一般来讲比较繁琐
所以说大家如果第一种方法掌握得
熟练以后就会发现
其实在很多情况下我们可以把一个
求脉冲传递函数的问题分解成很多个
求简单的s函数对应的
脉冲传递函数的问题
所以说一旦我们能够去把
这些问题分解开来
那这些简单的脉冲传递函数
我们可以根据已经知道的z变换表
通过查表的方法得出来
然后最后把所有这些结果
叠加在一起就可以了
我们通过一个简单的例子来看一下
首先我们通过定义来求
这样一个系统的脉冲传递函数
这个系统控制对象是一个二阶系统
那在这个前面有一个零阶保持器
我们想知道从这个采样信号R(s)
R*(s)到这个输出的采样信号
它们之间的脉冲传递函数
根据定义我们知道
它实际上就等于这两个串联系统的
整个的s传递函数
对应的脉冲传递函数
所以我们首先写出G(s)表达式
它等于零阶保持器的传递函数
(1-e^(-s))/s
这里面我们已经首先假设采样周期等于1
乘以对象的传递函数
那么这个传递函数我们整理一下
我们首先把这项
这项是包含了这个传递函数中的
非有理的部分
把这项提出来
那么剩下的1/s乘以
乘以1/(s+1)这一项
我们可以把它拆成一些简单的
有理分式的和
好 那通过这样一个表达式
我们就可以消去对应的单位冲激响应函数
那这个冲激响应函数怎么求
实际上我们是通过
反拉普拉斯变换的查表方法得到
首先我们看这个1对应的部分
1乘以后面括号里面的部分
我们通过反拉普拉斯变换查表方法
我们知道1/s^2对应斜坡函数t
1/s对应于阶跃信号1
1/(s+1)对应于e^(-t)
因为整个是一个单边信号
所以后面要乘以1(t)
而且后面这一部分
e^(-s)再乘以括号的这一部分
就相当于这个信号如果把它作为一个
反拉普拉斯变换变成时间信号
那么e^(-s)的作用
就是对这个信号做一个周期的延迟
所以说我们只要知道这个表达式
那我们在这个表达式的基础上
再做一个周期的
也就是t等于1的时间的延迟
就可以得到第二部分
所以这两部分叠加起来
就是我们想要求得的单位冲激响应函数
那么计算冲激响应函数的
具体的计算过程是这样的
我们先把这个表达函数求出来
然后我让t等于各个采样时刻
比如说t等于0的时候等于0
t等于1时候的我们可以计算出来
它是等于e^(-1)
那么t等于k的时候
我们把k带到这个t里面
可以得到最后的
整理得到它表达式就是1加上e^(-k)
减去e^(-(k-1))
那么最后脉冲传递函数实际上就等于
g(k)这个序列所对应的z变换
等于k从0开始g(k)乘以z^(-k)
我们求这个无穷级数就可以了
那么由于在k等于0的时刻g(0)等于0
所以实际上我们在算这个级数的时候
k从1计算就可以
我们把前面求得了这些表达式
全部带进去以后
我们会发现它实际上可以表示成
两个等比序列的级数和
而等比序列的级数求和的公式
我们在中学的时候实际上就已经学过了
所以我们最后可以很容易地
得到这个级数求和的解析结果
它可以最后第一部分
z^(-k)的级数和是等于
1/z除以1-1/z
后面这一部分对应于这一项
所以这两个通分以后
我们就可以得到这样一个
有理分式的表达式
再把自然对数底数e的小数点的形式
带进去以后
我们就可以得到这样一个数值的表示形式
下面我们来看一下方法B
通过刚才的推导我们可以看到
实际上我们在求脉冲传递函数的时候
它所对应的s传递函数
通常可以表示成一些比较简单的
传递函数的和
所以说我们很容易可以想到
如果这些简单的传递函数
我们已经知道了它对应的z变换的话
我是不是可以通过
直接的查表方法可以得到
实际上这就是我们要介绍的方法B
我们来看一下还是刚才这个例子
我们已经求得了G(s)表达式
它等于1-e^(-s)
乘以后面这个括号里的表达式
这个表达式它可以分解成一些
比较简单的有理分式的和
那么我们首先先把这一部分
先用一个记号X(s)代替
我们来研究一下
那么G(s)它所对应的
脉冲传递函数G(z)
和X(s)对应的脉冲传递函数X(z)
它们俩之间是什么关系
好 那我把这个首先拆开
就是X(s)-e^(-s)X(s)
那么我们还是通过标准的方法
来研究一下它们之间的关系
那么这个函数所对应的单位的冲激响应
假如说它对应的单位冲激响应是x(t)的话
那么这一部分实际上就对应于
这个x(t)的一个周期的延迟
所以说我如果要写它对应的单位冲激响应
就是这个x(t)做一个周期的延迟
就是这个表达形式
好 那我们对这个表达形式
对这个时域的函数
再做相应的z变换的话
我们知道它对应的z变换
就等于这两部分的z变换的和
而这一部分它的z变换就是X(z)
而这一部分的z变换
我们根据z变换的平移定理
就是说如果一个连续时间信号
往右做一个周期的平移的话
那么它所对应的平移信号的z变换
就等于这个信号本身的z变换再乘以z^-1
也就是说这一项的z变换
就等于x(t)的z变换
也就是X(z)再乘以z^-1
所以说再根据线性性质
就是说这两个信号分别做z变换的叠加
就等于整个这个信号的z变换
所以G(z)就应该等于X(z)
减去z的逆再乘以X(z)
把z^-1的这一项提出来
就是(1-z^(-1))X(z)
这样我们就得到了
这个G(z)和X(z)的关系
好 那得到这样一个简单的关系以后
我们就可以根据z变换表求出来了
因为这里边我们得到这个X(s)
已经是个有理分式了
而这个有理分式我们总可以去拆成
这样一些简单的有理函数的和
而这个和所对应的脉冲传递函数
我们是可以通过查表的方式得到的
好 我们来看一下
1/s^2对应的脉冲传递函数是什么
是z/(z-1)^2
实际上前面还应该有个T
但是现在我们假设T等于1
1/s对应的是z/(z-1)
1/(s+1)对应的z/(z-e^(-T))
而T等于1所以这里面是-1
还有我们把这个关系
把这个有理分式整理一下
就可以得到和刚才我们求解的
得到的同样的结果
那所以大家可以看到那这种方法
实际上它可以用于
任意可以查表的传递函数
由于我们所碰到的
连续的控制对象的传递函数
一般来讲都是有理分式
所以这里面所对应的X(s)
一般来讲都可以去拆成这样一些
简单的有理分式的和
所以说这类方法
它所运用的范围还是非常广的
而且大家可以看到
用它来求取对应的脉冲传递函数
实际上是非常方便快捷的
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
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-延时系统的根轨迹--作业
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
