当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第五周：频率响应法（一） > 频率特性函数 > Video
之前我们举过一个例子
当我们把一个正弦信号
作用在一个RC电路上
那么它输出的信号在稳定以后
会产生一个同频率的信号
只是在幅值和相位上发生了变化
那么我们有一个问题
如果我们把一个正弦信号
加到一个任意的对象上
会产生什么样的反应呢
它的输出和输入的关系又如何
而与对象的传递函数
又有什么关系呢
本节围绕这个问题展开介绍
首先我们看这样一个
基本的结构
我们有一个任意的对象
那么输入是一个
幅值为X 频率为ω的一个正弦信号
我们算一下系统的输出
在稳态以后
会得到一个什么样的信号呢
我们设传递函数
是这样一个形式
为讨论方便我们认为
它的所有的极点都在左半平面
也就是这里面没有不稳定的极点
根据之前我们学过的
拉普拉斯变换的一个方法
它的输出信号的拉普拉斯变换
就等于输入信号的拉普拉斯变换
乘上传递函数
由于在这个情况中
我们使用了一个正弦信号
根据拉普拉斯变换表
它的形式Xω比上s平方加ω方
然后我们把这个传递函数
整个这个拉普拉斯变换展开
展成一个分式的和的形式
这是我们比较熟悉的过程
那么其中这个正弦信号
对应的变换展开了之后
会表现为这样一个形式
所有的b和a都是对应的
极点的留数
既然有了这样一个拉普拉斯变换
我们就可以把输入信号做反变换
得到关于输入信号的
的一个在时域内的形式
前边几项都对应的是
我们的前边的一些极点
而且是稳定的极点
最后两项分别对应了两个
正余弦的一个函数变化形式
接下来我们求一下
所对应的两个系数a和a-的具体值
根据留数的计算方式
a就等于它的信号拉普拉斯变换
乘上s加jω
同时让s等于-jω
我们把这个式子展开
其中这个正弦信号的
拉普拉斯变换
可以分解为s加jω
乘上s减jω分之一 乘上Xω的形式
当我们乘上s加jω
并让s等于-jω的时候
我们就得到这样一个表达式
我们把一些对应的部分约掉
同时时我们把这个传递函数
代入了-jω的形式
写成一个幅值和相位的形式
我们可以得到这样一个结论
那么其中这个φ（ω）
代表着传递函数s替换为jω的时候
它对应的相位
在这里我们隐含了一个结论
就是当我们的这个传递函数
s换位-jω的时候
那么G的括号-jω和jω
它们之间是共轭的
也就是说它们的幅值是一样
相位是相反
所以在这个表达式中
我们写成的是-jφ
那么同理我们可以求出a-
它的形式与上面一个关系非常接近
只是在符号上有所变化
在求得了a和a-以后
我们探讨一下
在时域内随着时间趋近无穷
也就是我们说的
当系统趋近于稳态的时候
它最终的信号
是一种什么样形式呢
我们可以发现
由于前面的所有的从
b1到bn项由于它都是稳定的
也就是当时间趋于无穷的时候
前面几项都会趋近于0
最后我们只剩下最后两项
我们分别把a和a-
带到两个式子中
我们会得到这样一个表达式
我们经过一些简单的整理
我们得到这样一个结论
最终当时间趋近无穷的时候
它的输入信号y(t)
会同样变成一个
同频率的正弦信号
但它的幅值和相位都有所变化
我们回忆一下
我们的输入是X乘sin（ωt）
那么对比输出信号的形式
和输入信号形式
我们发现它的输出信号的幅值
与输入信号的幅值之比
等于传递函数中
把s替换为jω之后的
那个复变函数的模
也就是信号y它的幅值
比上输入信号x幅值
等于g(jω)的幅值
同样输出信号y的相位
与输入信号相位的差就是φω
它也同时等于这个复变函数
Gjω的角 也就是这个表达式
那么这样一来
我们就发现一个统一的规律
jω也就是信号的
所谓的频率特性
就是将传递函数中的复变量s
替换为jω
也就是说如果我们知道
信号的传递函数的话
我们只需要把它的变量s
替换为jω
我们就会得到相对应的频率特性
接下来我们把我们这个
单一正弦函数的情况进行推广
推广到任意的输入信号
对于任意输入信号
通过傅里叶变换
我们可以把输入信号
表示为一系列的正弦函数之和
而对于每一项的函数
其实都有上述的关系
这样我们就提出下面的一个结论
系统的频率特性函数G（jω）
可以定义为系统的傅里叶变换
即输出量的傅里叶变换
与输入量的傅里叶变换之比
也等同于将传递函数中的s
替换为jω
其中Gjω的幅值
我们称为是幅频特性
它的相位称为是相频特性
也就是说相对的幅值和相位
相对应于频率ω的函数
那么这样一个关系
我们可以用图像的方式来表示出来
通过图像方式的表示
可以进一步的方便我们
后面对于系统的分析与设计
这在后面的介绍中
我们会一一展开
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
