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从本节开始我们介绍一下
如何用图像的方式
来表示一个频率特性
由于频率特性
对于我们后面的分析非常重要
而通过图像的方式来表达
可以使得我们的分析进展的更顺利
那么如何来画一个频率特性
我们有两种画法
第一种是称为极坐标图
又称Nyquist图
因为我们知道一个频率特性函数
它是一个复变函数
所以可以在复平面内
把频率特性的模和角
同时表示出来的图
就是极坐标图
我们接下来我们以
一个惰性环节为例
我们详细的介绍一下
如何来画它的极坐标图
根据前面的介绍我们知道
惰性环节的频率特性
可以从惰性环节的
传递函数转换过来
惰性环节传递函数
我们还记得是1加ts分之k
如果我们把s换成了jω
我们就得到了这样一个表达式
也就是1加jωt分之k
那么这样一个形式
我们可以写成一个
幅值和角的形式
我们看一下当ω从0变到无穷
也就是不同的频率范围内
它的幅值和角都是如何变化的
我们让ω从0变到无穷
我们经过简单的计算我们可以得到
它的幅值的变化
从k到0
当ω等于0的时候
它的幅值是k
当我们的角度变得很大的时候
它的幅值就会衰变到0
那么角度呢
很显然我们可以得到
当ω等于0的时候
它对应的是0度
当ω变成无穷大的时候
角度变为负的二分之π
那么根据这样一个情况
我们就可以把这个
极坐标图画出来
每对应一个ω我们可以认为
是在一个复平面的
对应的一个点
比如说当ω等于0的时候
它的幅值是k 它的角度是0度
那么它对应的是在一个
正实轴上的一个点
当ω变大以后
那么这个点就会不断移动
最终会落到一个原点
因为当ω等于趋于无穷的时候
它的幅值是0
同时角度是负2分之π
所以2分之π的角度去逼近原点
那么我们看到
我们画成了一个半圆
那这个半圆并不是偶然的
实际上我们可以证明一下
它是不是一个半圆
为证明这个问题
我们把它的频率特性
写成一个实部和虚部的形式
那么实部分别是
K比上1加ω方加T方
虚部是-KωT比上
1加ω方乘上T方
我们做一个简单的变换
就可以发现我们有这样的结论
x方加y方减Kx等于0
那么进一步配方
我们就会得到一个圆的方程
那为什么是半圆呢
是因为我们可以很容易的发现
由于K和T都是大于0的正数
所以对我们这个对象而言
它的实部是大于0的
而虚部始终是小于0的
所以它是一个
在第四象限的一个半圆
接下来我们介绍另外一种
频率特性的画法
我们称为对数图
或者Bode图
因为之前我们看到
极坐标图中有一个缺点
就是我们很难看清楚
幅值的相位相对于频率的变化过程
所以我们更希望
把频率也能在图中表示出来
为此我们引入了这个Bode图
它的横坐标是频率
但是频率我们并不是
以一般的一个度量的方式来表示出来
而是以它的取它的对数
这就意味着
虽然我们的坐标图上
标的是0.1 1和10
但它们的距离
并不是10倍的关系
因为取了对数以后
它每10倍量程
它会对应着一个单位
所以大家记住
横轴是频率的对数
而不是频率本身
但是我们经常在标注的时候
我们并不会标它的对数
我们只会把频率本身标注上去
比如这里的0.1
实际上代表的是lg0.1
那么同样我们的纵坐标
是取得幅值的对数
并不是取幅值本身
我们取的对数
那么对数的话单位是贝尔
如果是用分贝来表示的话
就是20倍的对数
而相位本身就不再取对数了
相位的本身的单位就是角度
下面罗列一些
常见的一些数值的
一个对数的数值
接下来我们以
仍然以惰性环节为例
我们画一下
这个对数频率特性该如何表达
首先我们为了计算方便
我们把这个参数
赋予它一定的具体值
比如K等于1 T等于0.5
同样我们先看一下
幅频特性应该如何表达
所谓幅频特性
就是幅值相对于频率变化的特性
这是它幅值的表达式
那么根据之前
我们的分析的我们已经知道
当ω从0变到无穷的时候
它的幅值是从1一直变到0
那么其中我们先给出一个关键点
就所谓的转折点
ω等于T分之一
当ω等于T分之一的时候
它的幅值等于根号二分之一
如果取分贝为单位的话
20倍的lg根号二分之一
就等于-3分贝
那么它的曲线形状
大概是这样一个样子
首先它在ω等于0的时候
它等于1
就意味着从开始的时候
它是由于取对数以后
就变成0了 就从0开始
当ω变得很大的时候
它的幅值会变成0
当取对数的时候就会变成负无穷
所以它这个曲线
是一个从0到负无穷的一个曲线
其中横轴我们要注意一点
横轴的由于取了对数
所以我们横轴的ω等于0
实际上对应的是负无穷点
我们得到这样一条
这样一条曲线
那么这样一个曲线
似乎不太方便于我们后面的分析
我们给出一个
关于这个曲线的一个渐近折线
我们看看如何来画这条折线
首先我们先认为
ω远小于T分之一
也就是频率在转折点
T分之一的左边
在这种情况下
由于ω远小于T分之一
我们可以认为在幅值中
ωT这项很小
所以整个的幅值就会约等于1
如果我们取对数的话
就是0分贝
也就是在转折点
T分之一的左边
我们可以用一条
在实轴上幅值等于0那条直线
来逼近它
当ω大于或远大于
T分之一的时候
我们可以认为这一项远大于1
所以我们把1忽略掉
我们就会发现
它的幅值约等于ωT分之一1
如果取对数我们就得到
它的幅值的纵坐标的值
应该是-20lgωT
由于我们已经讲过了
它的横坐标
是关于ω的对数lgω
所以纵轴与横轴之间
就构成了一个线性关系
而且斜率是-20
也就是我们画出这样一条直线
从整点开始
谐率为-20的一条直线
事实上随着ω增加
这条直线与我们之前讲过的曲线
会不断的接近
这样一来我们用一条折线
来代替了原来的这个幅频特性
所以我们称这条折线
为近似的对数幅频特性
在后面的应用中
会有着非常重要的应用
所以大家一定要熟悉这条
对数折线的一个画法
它的主要的观点就在于
找到一个转折点
转折点左用一个0的直线来代替
右用一条
斜率为-20的直线来代替
那么斜率为-20
在很多情况下
我们也称为斜率为-1
请大家熟悉这种称呼
接下来我们再看一下
相频特性的变化方式
对一个惰性环节
它的相位等于-argtgωT
我们首先算一下几个关键的值
首先当ω等于T分之一的时候
它的角度是-argtg1
也就是角度等于-45度
当频率远大于T分之一
也就是频率很大的时候
它的角度就会趋近于-90度
当频率很小的时候
小于T分之一的时候
它的角度就趋近于0度
如果大家画出来
是这样一个曲线
当转折点
也就是T分之一的时候
它对应的是-45度
总的变化范围
是从0度变到-90度
或者负二分之π
那么这个曲线有一个特点
它是关于这个转折点对称的
为什么这样说呢
我们可以有这样一个分析
假设我们有两个频率
分别为T分之a和T分之1比a
那么这样两个值我们可以发现
如果取对数的话
它这两个频率值
是关于ω等于T分之一对称的
也就是它们的对数的平均值
刚好等于lgω
那么既然这样
我们就看看它的相位等于多少
如果求第一个平均的相位的话
ω1等于argtga
ω2等于argtga分之一
我们知道如果两个角度的正切
是互为倒数的话
那么这两个角意味着
是直角三角形的两个角
或者说它们的角之和等于90度
也就是说这两个角度
它的平均点刚好是-45度点
所以这条相位曲线
是一个关于转折点的
一个对称的一个曲线
那么知道这一点
有利于我们来画这个相位曲线
那么接下来我们介绍一些
非常重要的结论
就是关于对数频率的一个结果
我们为什么采用对数呢
因为对数有一个
非常重要的优点
就是对数可以把乘除化为加减
那么正是y应用了对数这样一个优秀的性质
我们可以使得
我们的对数频率特性
有很多非常有利于
我们应用的一些能力
首先看第一点
它是展宽了频率范围
由于我们横轴不是采用频率本身
而是采用的频率的对数
这就意味着我们在横轴范围内
可以画出非常大的频率范围
有利于表示出
更大范围内的频率特性
第二一点
当我们的频率特性
整体上发生幅值上的变化
比如说变化为k倍
那么它的幅频特性
实际上只需要上下移动
而形状不变
这是因为它
当我们的k变大的时候
如果我们取对数
就是实际上这个整个曲线
去增加了一个20倍的lgk
或者lgk
那么形状没有发生任何的变化
那么与之相类似的情况是
当我们的时间常数T
发生变化的时候
它的幅 相特性的曲线
也只是左右移动
而没有发生形状上的变化
这意味着当我们画了一个
标准的曲线之后
不同的系数K和T
并不会改变我们所画的
幅频特性的形状
它只会在坐标图中
上下或左右移动
这给我们带来了很大的方便
下一个非常重要的特点是
如果几个幅频特性相乘
实际上对应着
传递函数的串联
当我们有几个对象串联在一起
那么它的总的传递函数
所对应的频率特性
就相当于几个频率特性相乘
那么实际上在这种情况下
我们要求整个的频率特性非常容易
就是把对应的对数幅频特性曲线
直接相加就可以
我们通过一个简单的运算
就可以发现这样一个规律
假设我们的两个
频率特性相乘的话
那么分别可以写成
幅值和角度的方式
如果乘在一起
根据幅数运算的基本规则
它可以写成幅值相乘角度相加
由于幅值取了对数
所以所谓的
它的在对数频率特性上
我们取了对数以后
就表现为它的对数的和
而角度本身就是相加的
这就意味着
几个频率特性相乘的时候
它的总的频率特性
就是可以将相对应的
几个频率特性相加就可以了
最后一个规律
当两个频率特性互为倒数的时候
那么它的幅频特性反号
关于ω轴对称
这是因为如果我们的
两个频率特性互为倒数的话
根据幅值的运算原理
它的幅值刚好是也取倒数
而相角取负号
由于我们取的
是一个对数的幅频
所以它在我们的对数图上
刚好也取的是负号
这意味着如果两个对象的
频率特性互为倒数的话
那么它对应的幅频特性
与相频特性
都是刚好是取反号的
也就是相当于ω轴对称
我们通过这几条规律
我们可以发现
正是由于我们选取了一个
对数的一个表达方式
使得我们可以非常方便的
实现不同类型的
频率特性的一个组合
变换以及运算
这对于我们后面
构成一个复杂的
或者运算出复杂的对象的频率特性
提供了巨大的方便
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
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-非线性系统的相平面分析
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
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-采样控制系统概述--作业
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-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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