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本节我们介绍一下
控制系统的微分方程求解
从前面的介绍中我们可以知道
任何一个控制系统
基本上可以用微分方程来进行描述
那么接下来一个问题是
既然我们已经描述出来了
就应该可以利用微分方程
对于整个控制系统的性能进行分析
也可以称为求解过程
那我们看一下
看这样一个式子
因为任何一个系统
可以写成一个微分方程的一个表达形式
那么接下来我们就想
如何求解这个方程呢
我们第一种方法
是可以利用学过的数学知识
采用通解特解的方式来进行求解
同时我们也可以采用另外一种
更为方便的方式
这就是所谓的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
是工程数学中常见的一种积分变换
它对于求解线性微分方程尤为有效
它最主要作用
就是把微分的运算转化为一个代数运算
从而使得计算和分析都得到了大大的简化
那么由于大家已经在相关的模块中呢
学过拉普拉斯变换
我们在这里只是做一些简要的回顾
拉普拉斯变换
就是将一个函数f(t)从时域变换到复域
它的定义由如下这样一个公式所表达
我们举一个例子
当我们的输入信号是一个阶跃信号
我们表示为1(t)
在零时刻之前是为0
零时刻之后为1
那么对于这样一个信号呢
经过拉普拉斯变换
它的形式为1/s
而s是一个复数
这里我列了一些比较常用的
信号的拉普拉斯变换的形式
那么希望大家有可能的情况下
尽量能够记住
那么其中我强调一下
冲击函数它的拉普拉斯变换就是1
也就是冲击函数在一个复频域内
是一个阶跃函数
而阶跃函数的拉普拉斯变换是1/s
线性函数变换以后变1/s^2
这几个关系我们在后面会经常用到
关于拉普拉斯变换有一些重要的定理
由于定理很多呢
我只对其中的一些定理
我们再做一次重复
比如第一个初值定理
一个信号在零时刻
主要讲是零正时刻
它的值可以由复频域来求得
它可以写为
它的拉普拉斯变换F(s)乘上一个s
再让s趋近于无穷时候的极限
与初值定理相对应的是终值定理
终值定理是一个信号
在时域内的无穷时刻的值
它等于我们的拉普拉斯变换乘上s
再让s趋近于零的极限
我们看这两个公式可以发现
在时域内的零和在复域内的无穷
刚好是相对应的
同样相反也是一样
另外还有微分定理
微分定理
如果我们认为这个信号在零负时刻
也就是零时刻之前是零的话
我们得到一个非常简单的关系
每做一次微分
在时域内做微分
相当于在复域内乘上一个s
两次微分就相当于乘上两个s
也就是s平方
那么其他还有延迟定理
那么积分定理与微分定理相对应
如果我们假设我们忽略在零时刻以前
也就是f零负等于零的话
那么我们每做一次积分
相当于对于在复频域内除以一个s
那么做两次微分就除以两个s
线性性质的一个理解呢
我们可以这样
也就说在时域内两个信号
它们之间乘上一个常数
在相加的拉普拉斯变换呢
可以对应到复域内分别做拉普拉斯变换
并乘上相对应的系数再求和
另外还有时间尺度定理
卷积定理 衰减定理
我们就不一一介绍了
那么这个是拉普拉斯反变换的定义
以及一些常见的信号的
一个关系的一个反变换公式
在这里我们也不做具体介绍
大家可以在其他的模块中进行对应的学习
介绍过了拉普拉斯变换
我们现在开始用拉普拉斯变换
来对我们介绍过的微分方程进行求解
那么它的求解过程
大概可以分为以下几个方面
第一步呢
是对微分方程的两端同时求拉普拉斯变换
我们以这样一个四阶微分方程为例
如果两边同时做变换以后呢
我们可以得到一个关于s的代数方程
这个关系也从前面的微分定理中可以得到
这样我们从一个微分方程
变成了一个代数方程
那么进一步我们可以求一下
输出的一个拉普拉斯变换
那么它可以相当于把
输入的信号拉普拉斯变换
除以到前面这个整个一个多项式
对这多项式我们进一步地
把它展成一个分式的一个和的形式
有了这样的分式和
我们就可以进行拉普拉斯反变换
我们可以对拉普拉斯变换的一些定理呢
每一个分式
都可以对应为一个相应的一个模态
这样我们就可以很方便的求出
输出信号的整个的在时域内的形式
我们以一个非常简单的一个方程为例
看一看这个过程是如何展开的
这个是一个一阶微分方程
它的输入呢
我们可以采用一个阶跃的输入
同时我们认为这个信号的初始值为0
那么按照前面刚刚讲过的一个
用拉普拉斯变换的一个研究过程
我们首先对这个微分方程的两端
进行拉普拉斯变换
我们得到这样一个形式
然后导出相对于输入信号的
拉普拉斯变换本身
也就是它等于r(s)/(Ts+1)
由于输入信号是一个阶跃信号
我们刚刚讲过
阶跃信号的拉普拉斯变换是1/s
所以我们可以写成这样一个形式
那么进一步把它展成一个分式的和的形式
相当于1/s减去1/(s+1/T)
那么有了这样一个分式的表达式
我们可以非常容易地做拉普拉斯反变换
那么其中1/s
对应时域中就是一个阶跃函数
而第二个式子它对应的是一个指数函数
我们直接给出结果
它的反变换结果
也就是输出信号在时域内
可以写为一个阶跃函数
减去一个指数函数
那么上面这张图呢
就反应了输入信号的变化过程
我们可以看到这个信号是一个指数曲线
从零点开始 最终趋近于1
那么趋近于1这个问题呢
实际上我们可以
通过用终值定理来确认一下
那么终值定理的定义大家可能还记得
我们回到上一页
终值定理是如何求得的呢
就是输出信号y(s)
要把它这个信号这个关系乘上一个s
再让s趋近于零
我们看这样一个关系式
这是输出信号的拉普拉斯变换
如果乘上s的话
那么和这s就抵消了
只剩下1/(Ts+1)
如果再让s趋近于零
那么这个式子自然等于零
从这个关系中我们可以看到
我们用终值定理
同样可以得到输入信号
在时间趋近于无穷的时候得到的值
那么接下来我们换一个输入
我们让输入等于一个冲激信号
而不是一个阶跃信号
对于冲激信号而言
它的拉普拉斯变换就是1本身
所以输出信号的拉普拉斯变换
就是1/(Ts+1)
那么这样
我们同样可以写成一个分式的形式
那么做反变换
我们得到了一个新的一个变换关系
如果画成图的话
我发现这仍然是个指数曲线
不过它是从一个初始值1/T
那么一直趋近于零
这里有一个初始值会突然跳变的现象
也就是从零点直接跳到了1/T
这个不仅能从方程式中可以看出
同时我们仍然可以用
另外一个定理来验证一下
为什么是这样
这个定理就是我们前面提到的初值定理
那么具体求解过程
我们就在这里就不展开了
大家可以回去试验一下
看看这个结果是不是正确
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
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-采样控制系统概述--作业
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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