当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第七周：根轨迹方法 > 补根轨迹与全根轨迹 > Video
同学们好
现在我们来学习根轨迹这一章的
最后一个问题
补根轨迹和全根轨迹
我们回顾一下
前面我们最开始在定义根轨迹的时候
做了两个最基本的假设
一个假设就是我这个系统
它是有负反馈系统
另外一个假设
就是我这个系统参数的变化范围
从零到正无穷
但是待会儿我们会通过两个例子看到
实际上在很多情况下
这个参数变化的范围
它可能是从负无穷到零
那对于这些系统
我们可以看到它实际上没有办法
去转化成一个
我们已经定义过的标准的
根轨迹的问题
那对这一类问题
我们和研究时间系统一样
我们也需要对这个根轨迹
所要满足的一些基本的相角
和辐值条件做出修改
然后根据修改的条件
来绘制相应的根轨迹
那么现在开始学习
我们首先举两个例子
第一个例子
如果我们现在有一个系统
是一个非最小相位系统
那么这个非最小相位系统呢
我们的定义是K乘以1-T1s
除以s（1+Ts）
大家注意因为我们在定义K的时候
因为K通常对应于
我们一个放大器的这个增益环节
所以说它应该是对应于
我这个有理分式
这个上面这个分式
和下面这个分式
这个常数项这个大于零的部分
也就是说当s趋于0的时候
这一部分应该是趋近于1的
当s趋于0的部分
这一项应该是趋近于1的
所以我们如果有0点
在右半平面的时候
我们通常把它写成1-T1s
然后这时候K是大于0的
这是一个非最小相位的系统
那么这个系统实际上和我们
在定义根轨迹的
这个开环传递函数的
这个标准形式实际是不一样的
因为我们在定义这个根轨迹的
平时的时候我们假设
这个有理函数部分的
这个分子多项式和分母多项式
都是首一的
也就是最高次
s最高次数它的系数是1
也就是大于0的
但这个显然不是
这个最高次数s的这个系数是小于0
所以说我们为了这个
把它表示成我的标准形式
我们可以把它变一下
就是说我们在研究幅角条件的时候
我们把原来的这个
开环的传递函数
开环传递函数
1-T1s 我们要把s的
这个最高次的系数变成大于0
变成首一的
那就变成s-T1分之一
然后因为s系数变成正的了
所以前面就必须要提出一个负号
提出一个负号
这时候我们在研究
这个相角条件的时候
这个相角条件还是一样的
就是说这个G（s）
它的这个相角条件
应该是180度的奇数倍
但是我们具体表达出来以后呢
我们就可以看到
如果我们还希望
这个K是大于0的
还希望这个K是大于0的
那么这时候这个负号呢
我们写这个相角的时候
就由于有一个负号
这个相角就应该等于
这一部分有理分式的相角
再加上负号对应的180度相角
所以我们把这个写开以后
就是π加上K（T1s-1）
除以s（Ts+1）
这一部分是一个标准的形式
所以这两个 两边一消
我们就可以得到了
那么它满足的相角条件
实际上就是如果
我们把这个有理分式的分子和分母
都写成首一的多项式的话
那么这个相角条件的右边
就应该是180度的偶数倍
而不是奇数倍
所以这是一个非常不一样的地方
那么还有一个例子
就是说如果我们这个系统
不像我们前面的假设
它不是一个负反馈系统
而是一个正反馈系统
那这个时候
也就是说我这个反馈的时候
在这儿是做和而不是做差
这时候我闭环传递函数
就是G（s）
G（s）是我的开环传递函数
G（s）除以1-G（s）
那这个时候闭环系统的特征方程
就不是1+G（s）等于0
而变成了1-G（s）等于0
而这时候对应的根轨迹的条件
就是G（s）等于1
而不是我们负反馈系统里面的
G（s）等于负1的那个根轨迹条件
所以这里面我们这个幅值条件
还是一样
但是相角条件也变成了一个
因为等式右边等于1
它的相角是180度的偶数倍
所以这时候的相角条件也变化了
所以我们这个幅角条件
就是说这个相角条件
这个开环传递函数
等于180度的奇数倍呢
实际上并不是适用于任何系统
就是如果我这个系统里面
有非最小相位的环节
也就是说有零点或极点
在复平面的右半平面
或者说我这个系统
它不是负反馈 而是正反馈了
那这个时候我们就要小心
这时候的相角条件
有可能会发生变化
那么我们看一下
那就是这两个系统
实际上虽然它的问题出发点不一样
但是它的这个数学的表达
实际上是一样的
也就是说它都可以转化为
这个增益系数是为负的
一个负反馈系统
比如说我们这个非最小相位系统
我们把这个
把这个1-Ts变成Ts-1的时候
我们就可以把它这个
变成这样一个增益系数是小于0的
但它还是一个负反馈系统
那如果我们是一个正反馈系统
那我们可以把这个开环传递函数
变一个负号
那这个地方输入端都变成同号
就是都变成相减
这就是一个正反馈系统
这时候我这个增益系数
它也是小于0的
所以从数学表达式上
这两类问题
实际上都对应于增益系数为负的
负反馈系统
所以这样一类问题
也是非常重要的
而且增益系数为负的这个根轨迹
来画它的根轨迹
实际上是我们前面所讨论的
标准方法所没有涉及到的
所以我们需要对它呢
进行单独的研究
好 那么现在我们
涉及了这些问题以后
我们就可以和前面的
根轨迹结合起来
对所有可能碰到的
这个系统的根轨迹
做一个统一的定义
那一般的来讲呢
如果我这个系统的开环传递函数
我可以把它写成这样的
就是我可以把它拆成
s-z1这些零点的一次多项式乘积
除以s-p1 s-p2
这些极点的一次多项式乘积
然后它的一个等效的增益系数
因为有些参数的根轨迹
它并不一定直接是
表示成这样形式
但是可以等效的表示成这样的形式
那么这个增益系数是K
那么我们可以有这样的一些划分
就是说如果这个系统
是单位负反馈的
但是这个K是0到无穷的
这就是我们定义的
标准的根轨迹
如果这时候K是从负无穷到0
这就是我们把这一部分根轨迹
就是它是由我们刚才所讨论的
这种非最小相位系统
或者正反馈系统
产生了这一类的问题
对应于增益是负的
这些系统的根轨迹
我们把它叫做补根轨迹
那如果我这个K
又可以是负 又是可以是正
从负无穷到正无穷变化的时候
那这个根轨迹
我们把它叫做全根轨迹
好 那么这个根轨迹的画法
我们已经知道了
那么怎么画补根轨迹
就是说K小于0的时候怎么画
那么这个实际上
我们熟悉了根轨迹的画法
来推导补根轨迹的这个画法
实际上也非常自然
也就是根据我们的幅值条件
和相角条件
那我们看一下
它的闭环特征方程
闭环特征方程它现在是
根据我们的这个推导
它还是一样
就是G（s）F（s）+1应该等于0
因为我们统一的
假设这个系统都是负反馈系统
所以我们推出来G（s）乘以F（s）
应该是等于负1
那这个负1呢
但是这时候我如果是画补根轨迹
那这时候K是对应于K小于0
所以我这时候
假如说我可以把它变形一下
就是说我把它统一成K大于0的情况
也就是说 我如果让K'等于负K
这个K'是大于0的
那把它代进去以后
这个根轨迹条件
就变成了K'乘以W（s）等于正1
而不是负1
所以说我们来讨论一下
这个根轨迹条件
对应于K'大于0
它所对应的幅值条件和相角条件
那么幅值条件还是一样
两边我取模
这个幅值条件还是这个
K'乘以W（s）的模总是等于1的
这个和我们标准根轨迹
实际上是一样的
但是幅角条件是有了变化
也就是说我这个W（s）的这个相角
由于我方程的右边是等于正1
所以它的相角应该是等于
180度的偶数倍而不是奇数倍
所以这个根轨迹的条件
实际上我们是幅角条件
有了一些变化
所以说我们在画根轨迹
分析这些根轨迹的几条性质的时候
所以跟幅值条件有关的部分
我们形成的规则
实际上是一样的
但是所有和幅角条件相关的性质
我们都得修改一下
我们一个一个来看
比如说第一个实轴上的根轨迹
那实轴上的根轨迹
原来我们在研究根轨迹的时候
我们说实轴上的根轨迹
它是要求我在实轴上的闭环极点
它右边的开环零极点的个数
应该是奇数个
那在这里边大家可以分析一下
通过同样的这个相角条件
我们可以得到这个结论
就是说我这个时候
只要我这个闭环极点
假如说这是一个闭环极点
那它在右边的实轴上的
开环零极点的个数
一定要是偶数个
一定要是偶数个
所以我们有了这个条件
就可以画出这实轴上的补根轨迹
好 那么渐近线
渐近线也是一样的
因为我们这个相角条件
是180度的偶数倍
所以说我这个n-m还是一样的
只不过我这个奇数倍的180度
2k+1变成了2k
也就是说是360度的整数倍
所以这是我们的渐近线
要稍微修改一下
那么离开极点的出射角
和到达零点的入射角
实际上这个表达式也很相似
就是说我们后面的这些合式
实际上是不变的
但是我们前面这个
关于π的整数倍这一部分
就是由原来的180度的奇数倍
变成180度的偶数倍
这个地方要修改一下
好 那有了这些性质以后
我们就可以看一个简单的例子
比如说如果我现在
有这样一个系统
这是我们前面提到了
这个非最小相位系统
就是说我现在有一个零点
在右半平面
这时候我们要画出
它的这个补根轨迹
那和同样的道理
我就是把这个
把分子多项式变成
首项系数大于0的
这时候就对应于
我这个等效的这个增益系数负K
我把它定义成K1
那么这个K1应该是一个小于0的数
所以这对应于我系统的一个
补根轨迹
比如说对应我这个传递函数的
一个补根轨迹
好 我们来看一下
原来这个系统的这个根轨迹
就是说它就对应于
就是说这个系统K大于0
这个系统对应是K大于0
所以对应这个系统的根轨迹
实际上就对应于
我定义好了这个系统
它对应K1是小于0
就是这个系统的补根轨迹
好 我们看一下
我们简单分析一下
根据我们刚才这个
得到的这些性质
来概述一下这个补根轨迹
应该满足的条件
首先它因为起点和终点
是由我们的幅值条件来决定的
所以幅值条件得到的性质
实际上还是不变
所以这里面我们有两个极点
所以它一定有两个分支
而这两个分支的起点
在0和负T分之一
对应两个开环极点
那终点还是对应于开环的零点
负的T1分之一和无穷远
那么实轴上的根轨迹呢
因为它是和相角条件有关
它应该发生变化
我们根据这个
所有的在实轴上的根轨迹部分
右边的这个实轴上的
零极点的个数应该是偶数个
我们可以得到
它应该是负T分之一到0
和T分之一到正无穷这两个部分
那么分离会合点
我们也同样可以计算
就是我们依据的这个公式
也是一样的
就是把K表示成s的函数
根据我这个根轨迹条件
把K表示成s的函数
然后对s求导
就可以得到我们的分离会合点
所以这样我们就可以画出来
我们这个根轨迹的一个
大致的形状
就是说如果现在我们这个
开环的极点一个在零
一个在负T分之一
那么开环的零点
在负的T1分之一
那么它的一定是从这两个极点出发
然后到这个零点和到无穷远结束
但是实轴上
和我们原来分析是不一样了
原来我们的分析是怎么画呢
就是我们在画根轨迹的时候
是从最右边的这个零极点开始
往左边画
也就是说如果按照根轨迹的画法
应该从T1分之一到原点
这一段应该是我们实轴上的根轨迹
但是我们画补根轨迹的时候
实际上是相反
应该是从最
比如说我们在这儿
假如说这个点我们可以看到
这个点往右走
它实际上包含零个
在实轴上的开环零极点
所以这个点
应该是我这个实轴上
补根轨迹的一部分
所以这一段应该是补根轨迹
或者说我们简单的来讲
就是如果我们按照根轨迹的画法
如果按照根轨迹的画法
把这个根轨迹在实轴上画出来
那么把它去掉剩下的部分
就应该是我们实轴上的补根轨迹
我们可以从两个角度来画
一个是我
根据我这个相角条件的
这个奇偶性来画
另外一个我可以根据它的互补性质
就是我把
如果我把这个根轨迹的
在实轴上的部分画出来
那它剩下的部分
一定对应补根轨迹的部分
那么分离会合点我们可以算出来
在这两个极点的中
从这儿开始会合
然后往这边走
再次分离以后
一个到零点一个到无穷远
这是我们这个系统的
这个补根轨迹
我们再看一个例子
稍微复杂一点的例子
就是说如果我这个系统
有三个开环极点
我们画一下这个系统的
这个全根轨迹
也就是说我们既要画它的根轨迹
也要画它的补根轨迹
那么这一部分呢
我们画出来是这个样子的
那么这个全根轨迹画出来
就是我们有两部分组成
其中红色的部分是我们的根轨迹
因为我们这时候
我们可以看到
开环系统的这个极点
对应于0 负1和负2这三个点
那么根据我们这个根轨迹
就是这个根轨迹
K大于0的这一部分
我们画实轴上的部分的时候
应该是从最右边开始
从零开始到负1
然后下一个从负2到负无穷
所以这个是对应
我实轴上的这个根轨迹的部分
然后从两个极点相向而行
会有一个会合然后再分离
这两支分别走向无穷远
所以红色的这一部分
是对应于我这个根轨迹
也就是K大于0这一部分
那么剩下的部分
就在实轴上
如果除去红色这一部分
剩下的蓝色部分
就是我实轴上的补根轨迹
它对应于K小于0的时候
那它这个补根轨迹
它对应的这一段补根轨迹
两端的极点出发
从这两端相向而行
会在中间会合
然后也会有两支往无穷远走
另外一支从这个零出发往右
它会往无穷远走
所以这是我的补根轨迹
那么根轨迹和补根轨迹
我们如果放在一起
也就是我的全根轨迹
所以这就是我们这个补根轨迹
和全根轨迹的画法
好 我们看一下一些典型的
全根轨迹图
那么这个
如果我把根轨迹和补根轨迹
画出来以后呢
大家就可以发现
就是我们这时候全根轨迹画的
它就会有一些闭合的曲线
那这些闭合曲线对应于
如果我这个开环系统的零点是有限
就是说这个闭合极点
当K往正无穷远走的时候
它会终结于这个零点
但是往反方向走的时候
也就是往负无穷远走的时候
它也会终结于这个零点
所以说这个零点
它会对应一个全根轨迹的
一个闭合的曲线
这也是
大家可以看到
凡是这个有圈的地方
它都会对应一个闭合的曲线
那么还有一些曲线
它是从负无穷远来
然后往正无穷远走
蓝色的是补根轨迹
红色的是这个根轨迹
根轨迹和补根轨迹放在一起
就是我的全根轨迹
好 那么到这儿
我们关于根轨迹的部分
就讲完了
那我们可以看到
关于根轨迹的这个画法
实际上是多种多样
问题的定义也多种多样
但是我们的出发点
无外乎就是一个
就是根轨迹条件
它所对应的相角和幅角条件
只要我们掌握了
这个最基础的概念
无论系统怎么变化
我们都可以从这个相角条件
和幅值条件出发
去分析出根轨迹应该满足的性质
从而把根轨迹画出来
根据根轨迹的这个形状和它的特性
去分析我这个系统的性能
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-Nyquist稳定判据（三）
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
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-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
