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本节我们结合一些新的例子
继续画复杂系统的频率特性
首先我们看一个非最小相位系统的例子
前面我们介绍过所谓最小相位系统
就指系统中所有的零点和极点
都位于负平面的左半平面
也就是它的实部都是负数
但凡只要有一个零点或者极点
位于负平面的右半平面
那这样的系统
就变成了非最小相位系统
我们看我们当前这个例子
这个系统中是由一个积分环节
一个一阶微分环节
和一个一阶不稳定环节所组成
那既然是不稳定环节
它就包含了一个不稳定的根
也就是包含一个
位于负平面右半平面的根
也就是S等于1
那么它的绘制逻辑绘制原则
和之前是完全一样了
我们把它
按照转折频率分解排成序
那么第一个是积分
第二个是一个一阶不稳定环节
第三个是一个一阶微分环节
我们分别画一下
积分就对应着-90度
它的这个幅频特性
是一条斜率为-1的直线
而对于一个一阶不稳定环节
根据前面举例的内容
大家可以知道
对一个一阶不稳定环节
它的幅频特性
与一个惯性环节是完全一样的
它主要的区别是它的相频特性
它的相频特性不是从0到-90度
而是从-180到-90
那么这个变化范围
只与这个s减1分之一
这种类型的不稳定单元相对应
在这里我们也标出来
那么第三个单元
是一个一阶微分环节
它的这个近似的
幅频特性是一条折线
先是在实轴
然后是向上的
斜率为1的向上的直线
它的相频特性
是一个从0到+90度的一个曲线
画好了三个基本单元的
幅频特性和相频特性之后
我们就可以把它加在一起
获得整个系统的频率特性
先看幅频特性
从最左边开始
首先是一个积分
代表着斜率为-1的直线
到了转折频率1
我们首先遇到的
是一个不稳定单元
而它的这个幅频特性
是一个向下的折线
所以我们把从-1
变成了斜率为-2的一条直线
当走到第二个转折点
也就是转折频率为3的时候
我们遇到的是一个一阶微分环节
它的幅频特性是一条向上的折线
所以我们从斜率-2
变为斜率为-1的一条直线
那么同样我们可以画出它的相频特性
相频特性和以前一样
我们分别计算
三个单元的变化范围
分别是积分是-90
一阶微分环节是0到+90
不稳定环节是-180到-90
我们合在一起
我们会画出
它的相频特性是从-270开始
一路向上最终接近于-90度
我们知道非最小相位系统
与最小相位系统有很大的差别
最小相位系统
幅频特性和相频特性之间
有明确的对应关系
而对于非最小相位系统
它们之间就没有这样明确的关系了
我们必须要根据具体对象来画
大家可以结合这样一个
对数的幅频特性和相频特性
画一下它的对应的极坐标图
我们接下来看一个
带有参数的一个系统的例子
在这个系统中
我们有若干个参数
有比例系数也有时间常数
这个系统是由两个积分环节
一个惯性环节
和两个一阶微分环节所组成
为了能画出
它的对应的这个频率特性
我们需要区分
以下三种不同的情况
第一种情况它的时间常数
是这样一个排列
Ta大于Tb大于T1大于0
跟这样的排列
它们对应的转折频率刚好相反
第一个转折频率是Ta分之一
第二个是Tb分之一
第三个是T1分之一
也就意味着如果我们从左向右
来画系统的频率特性的话
那么首先遇到的是两个积分
而两个积分就意味着
它的形状是一个斜率为-2的
或者-40的一个直线
第一个我们遇到的
是一个一阶微分环节
所以斜率从-2变成了-1
接下来我们遇到的
是第二个微分环节
首先斜率从-1又变成了0
到了第三个转折频率
我们遇到的是一个惯性环节
所以斜率又从0变成了-1
这是一个一路向下的一条幅频特性
针对这个例子
我们更关心的是它的相频特性
我们看按照相频特性画的原则
我们首先确定一下所有单元
它总体的一个变化范围之和
两个积分环节
对应的是一个-180度
两个一阶微分环节
对应的是0到+180度
一个惯性环节
对应的是0到-90度
这样如果把它加在一起的话
我们就得到一个总的变化范围
是从负π到负二分之π
但是它的中间变化过程
是略有差别的
我们先看当前这个例子
它的起始是-π
由于先遇到的两个微分环节
所以它的角度
是不断增长的一路向上
在接近0的时候
遇到了惯性环节所以再往下
最终收敛到负二分之π
如果画成极坐标图
我们看到这样一个形式
当ω等于零的时候
它的这个幅值很大
所以从无限远处开始
到无穷的时候
它的角度会收敛到负二分之π
同时幅值为0
接下来我们看第二个情况
在这里顺序稍有变化
我们把T1介于Ta和Tb之间
也就意味着
这个系统的变化的顺序
是先从两个积分开始
先遇到的是一个一阶微分环节
再遇到的是一个一阶惯性环节
再遇到一个一阶微分环节
鉴于大家已经相对比较熟练画法
我们就直接开始画它的幅频特性
从左面开始两个积分
就意味着是斜率-2的直线
到了第一个转折点
我们遇到了一个一阶微分
所以斜率-2变成了-1
到了第二个转折点
遇到的是一个惯性环节
所以斜率从-1又变成了-2
到了第三个转折点
斜率又从-2变成了-1
它的基本形状不变
也是一个一路向下的一个形状
我们重点看相频特性
它仍然起始于-π
也就是-180度
开始由于遇到的是一个微分环节
所以它的角度是向上长的
当长到第二个环节的时候
遇到的是一个惯性环节
所以角度开始掉头向下
然后再遇到的
是一个微分环节再继续向上
最后也收敛于负二分之π
与前面相比
它的相位形状略有差别
它仍然始于-π
结束于负二分之π
但中间没有切过负二分之π
当然这个是否切负二分之π
并不是非常重要
我们看第三个例子
这个顺序又调整了
我们把T1设为最大
这样一来系统的
这个转折频率的分布
就变成了先是T1分之一
然后是Ta分之一和Tb分之一
从画的顺序来看
最先遇到的是两个积分
也就是斜率为-2的直线
然后先遇到的是一个惯性环节
所以从斜率-2变成了斜率为-3
继续向下这条直线
接着连续遇到两个一阶微分环节
所以斜率从负3逐渐变为-2和-1
那么这时候
我们再重新看一下它的相频特性
它仍然开始于-π
但由于首先遇到的
是一个惯性环节
和它的角度是先往下的
它趋近于负二分支三π
但是还没到的时候
我们连续遇到了两个一阶微分环节
所以角度开始向上
也就是曲线开始掉头向上
最终也收敛于负二分之π
虽然总的范围不变
但是相频曲线的变化有所区别
尤其是这对情况3
它这个曲线会与负π这个线相交
那么什么叫与负π相交
我们回到极坐标图上
一个极坐标图与它的某一个点
它的相位是-π
就意味着这个点位于的负虚轴上
也就是说与相位是负π这个点
就是极坐标图与负虚轴的交点
所以这个点我们在后面会看到
这是一个非常重要的点
具体针对这个例子
我们还给出了
计算这个点的频率的一个结果
大家回去可以验证一下
接下来我们还可以
做一些附加的练习
便于大家能够加深一下
对于画图的这个感觉
这里有四个系统
分别请与后面的这六张图相对应
看看它们大概属于哪种情况
也就是根据系统传递函数
来判断一下它的极坐标图的情况
根据之前的讲述
当我们画一个系统的极坐标图
或者频率特性的时候
我们其实可以关注几个非常关键的点
那么根据关键点
我们基本上可以大概判断出
系统极坐标图的形状
或者它频率特性的情况
一个是初始点
也就是说ω等于0的点
如果系统中不包含有积分
那么当我们ω等于0
或者初始的时候
系统往往是一个常数
我们看1和3
这里都不包含有积分
这意味着它的起始点
也就是ω等于0的那个点
是位于实轴上的
刚好都等于对应等于k
如果一旦包含了积分
就意味着它的起始点
会位于无穷远处
因为ω等于0的话
这个值如果取幅值的话
是一个非常大的量
所以包含了积分的系统
它的极坐标就是始于无穷远处
这是第一个
我们用来观测的一个原则
第二个原则我们可以分析一下
它整体的角度的变化范围
我们看第一个
尤其是有三个惯性环节所组成
那么角度的变化范围
是从0度到-90度
由于有三个
所以就变成了0度到-270度
看系统3
总共有五个惯性环节
一个微分环节
我们经过简要计算就可以知道
它总体的变化的范围
是从0度到-360度
相当于一个微分环节
和一个惯性环节是抵消的
同样的我们对于其他系统
也可以做类似的计算
这样一来我们就可以算出系统
当它系统频率收近于无穷的时候
它最终
是以什么样角度来收到原点
从此而可以判断出它具体的形状
那么具体的结果在这里就不说了
大家可以回去练习一下
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