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同学们好
下面我们来研究一下极限环
以及极限环产生的条件
前面我们通过对相平面轨迹的分析
我们发现对于一些在不同的
线性系统之间切换的
这样一类非线性系统
在一定的条件下
这样的系统会产生一些极限环
但是这些极限环
只是我们从相轨迹的一些发展的趋势上
我们观察出来了
也就是说这样一些非线性系统
有可能会产生极限环
但是这些极限环到底是不是真的存在
如果真的存在那么极限环的周期是多少
幅值是多少
那这是我们这节课
所要来继续研究的内容
首先我们回顾一下极限环的定义
那么极限环实际上
就是一些比较特殊的相轨迹
那这些相轨迹在一开始
它并不是周期的运动
但是随着相轨迹时间的增加
它会逐渐的趋近于
一条封闭的孤立的曲线
我们说是封闭的
就是说到最后当它运动到一定阶段以后
它会连着一条封闭的曲线
周而复始的运动
所以这时候的运动
就会接近于一个周期的运动
所谓孤立的曲线
就是说它在这个曲线附近
它只会趋近于这样一条曲线
而不会趋近于别的曲线
这样的轨迹我们叫做
具有极限环运动的特征
而这样一条曲线我们叫做极限环
那么大致的分类来讲的话
极限环大致分为下面这样几类
其中一类叫做稳定极限环
也就是说这个相轨迹不论是从
这个极限环的里面还是从极限环外面
那么只要离极限环足够近
从这些奇点出发的相轨迹
都会随着时间的增加逐渐趋近于极限环
那如果反过来不管相轨迹
从里面出发还是从外面出发
不管它离极限环有多近
那从这些奇点出发的相轨迹
都会随着时间的增长
而越来越远离这个极限环
那这个极限环就是一个不稳定的极限环
那介于这两个状态之间还有一类极限环
就是说如果从里面走
不管从离极限环多近的奇点开始
这个相轨迹总是远离极限环
也就是说从里面走是不稳定的
但是从外面走它总是会
趋近于这个极限环
而这类极限环我们叫做半稳定的极限环
那么实际上从工程上来讲的话
不管是稳定还是半稳定
它只要有某些相轨迹在附近是不稳定的
那这些系统实际上
我们都称为不稳定的极限环
那么在什么情况下有可能会产生极限环
我们来看一下
第一种情况就是说
如果这个系统是一个切换的系统
那么在不同的区域里面
我们通过前面的分析知道
它对应的奇点是有虚实之分的
如果它对应的奇点
如果这系统有两个区域
而这两个区域所对应的奇点
一个是实的一个是虚的
而且这个实奇点是不稳定的
虚奇点是稳定的
就像这个例子
在区域1里面我们看到了P1是一个实奇点
因为这个奇点是由区域1的方程得到的
而且还在区域1里面
那P2在区域1里面
但是它是由区域2的方程得到的
所以它是一个虚奇点
那这样一个相轨迹
我们就可以看出这样一个趋势
因为所谓稳定和不稳定实际上
相轨迹对相轨迹具有吸引和排斥的区别
那么稳定的奇点会吸引相轨迹
那不稳定的奇点
会对相轨迹发生排斥作用
那因此如果这个相轨迹从区域1开始
因为它的目标是区域1的奇点P1
而这个奇点又是不稳定的
所以它就会沿着远离P1
或者被P1排斥的方向运动
最终会运动到区域2里面
那运动到区域2里面
沿着区域2的相轨迹运动的时候
我们知道它的目标是P2
而这个P2又是个稳定的奇点
而稳定的奇点我们知道
它会沿着朝这个稳定奇点运动的趋势走
但是它永远也走不到那
因为一旦它穿过区域1
它又会回到区域1的相轨线上
所以说它就有可能在区域2
和区域1之间发生这种永远的来回的切换
所以这个切换就形成一个相轨迹
另外一种情况就是说如果有两个区域
这两个区域是相邻的
但是这两个区域对应都没有奇点
而这两个区域又都是不稳定的
也就是说在这两个区域里面
假如说有相应的渐近线
我们可以看到它的运动趋势是什么样的
也就是说这是区域1的渐近线
这是区域2的渐近线
从区域1开始运动的时候
它会朝着这个渐近线运动
那么到了第二个区域以后
运动会朝着区域2的渐近线运动
也就是沿着这个渐近线去运动
那么到这个分界线以后那又回到区域1
又沿着区域1的渐近线运动
然后再切换到区域2
又沿着区域2的渐近线去运动
所以大家可以看这种切换
有可能也是会无穷多次的重复下去
而这种无穷多次的重复
最终可能会形成一个稳定的极限环
我们来通过一个例子具体看一下
这个极限环具体是怎么形成的
而且怎么样去计算极限环的周期和幅值
也就是说我们有这样一个非线性的系统
而这个系统是有两个线性系统
通过切换而组合而成的
如果x一点大于x大于0的时候
x两点加上x一点等于正1
反之x一点减x小于0的时候
x两点加上x一点等于负1
我们来看一下
如果我们让这个方程右边等于P
那这个P根据这两个方程
它可以取不同的取值
它可以是正1也可以是负1
那我们知道这个系统是不存在奇点的
因为如果要存在奇点
在这个奇点运动的地方
x和x一点都应该是趋近于0的
而它趋近于0的话我们可以看到
x一点趋近于0 x两点也趋近于0
那这个方程左边就应该等于0
而方程的右边等于P
这个P要么等于正1 要么等于负1
反正是不能等于0
所以是找不到这样的奇点满足这个方程
所以这个系统是不存在奇点的
不管P等于1 还是P等于负1
都是不存在奇点的
但是在这两个区域里面存在渐近线
大家可以看到就是如果这个系统
有一条轨线是趋近于无穷远
而且趋近于无穷远的时候
x一点是趋近于常数值的时候
这时候x两点趋近于0
所以这时候我们就可以得到
就是x点应该是趋近于P的
所以说在一个区域里面
有一条渐近线是x一点等于正1
在另外一个区域里面
有一条渐近线是x等于负1
那么相轨迹具体是什么样
我们用等倾线的方法来画一下
我们画出这个可以推导出等倾线的方程
实际上很容易可以推导出来
具体的推导过程我们就不细讲了
那么这个等倾线的方程
我们最后可以推导出来是什么
解出来是x一点等于P除以1加上α
那这个方程我们知道
方程的右边是和x没有关系
因此它是一些和横轴平行的直线
所以说这个等倾线
是和实轴平行的一些直线
而这个等倾线的这个位置
是和P的取值有关系的
因为P有时候取正1有些时候取负1
所以说在不同的区域里面
这些等倾线的位置是不一样
我们来看一下比如说在第一个区域
我们所谓第一个区域指的是什么
就是指的x一点减x大于0的这个区域
也就是说如果我们在这个相平面上
画这样一条斜率为1的直线的话
在这个直线的上半部分
是对应于第一个区域
也就是P等于1的这部分
那么在这个区域里面
假如说α等于负0.5
我们可以算出来1加上α等于0.5
P等于1
所以这时候过这条直线的斜率
应该是这个样子
所以我们可以画出
在这个区域里面的等倾线
那么在另外一个区域的等倾线里面
就是说由于这个P的值变了
就是在这个区域里面P等于负1
所以虽然是同一条水平线
但是它处于在不同的区域里面
它对应的相轨迹的切线的斜率是不一样的
所以我们把整个相平面里面
不同区域里面的等倾线画出来以后
就是这个分布
好 那我们把等倾线画出来以后
我们来看一下
这个系统的相轨迹是怎么样走的
我们来看一下如果这个相轨迹
从第一个区域出发
我们知道这个系统运动是没有平衡点
也就是说没有奇点
但是这个系统有一个渐近线
就是我们这里画出来的
x一点等于1的渐近线
所以这个轨迹是朝着
这个渐近线运动的方向走的
但是它永远不会走到这个渐近线
因为一旦到这分界线
这运动状态 轨线就会发生切换
那从这个开始的轨线
就会沿着另外一条渐近线
也就是第二个区域所对应的渐近线
x一点等于负1往这个方向运动
然后再发生切换
往上面这条渐近线
然后再发生切换
往下面这条渐近线进行运动
所以从这可以看周而复始
如果取值合适的话
就有可能会形成一个比较稳定的极限环
而且这个极限环我们可以看到
从这个特征上来看
它关于原点应该是对称的
好 那既然它有可能存在极限环
那我们就算一下如果存在
这个极限环的周期和幅值是什么样的
首先算一下周期
怎么来算周期
那我们知道极限环
如果考虑在第一个区域里面
就是如果是有极限环的话
这个极限环一定是有两条轨线组成的
一条轨线是在区域1里面
从这开始往第一条渐近线走这个趋势
从这开始又沿着另外一条相轨线
一定是由这样两段
而这两段是对称的
所以我们只需要研究一段就可以
假如说这个奇点是在这个地方
因为我们知道这个奇点
肯定是在切换的这个线这
而这个切换的点
切换的这条直线是什么
就是x一点等于x这个地方
所以这个奇点一定是在某个
比如说我让x0等于负a
那在这个地方x一点肯定也是等于负a的
因为它是在这条斜率为1的直线上面
那我现在把这个a看成一个未知数
那我从a出发的轨迹
满足在第一个区域里面满足方程
也就是P1等于1的方程
要满足这个方程
而这个方程假如说从这个开始
在某个时刻到达B点
那利用对称性我们知道
那在这个B点的话
因为B点同样也是在
这条斜率为1的直线上
所以在这个中点假如说
这个时刻在t1时刻到达这个点的话
它所对应的x和对应的x一点的取值
应该也是相等的
而且这个值应该正好是等于a
因为这个a点是对应负a的话
B点应该等于正a
因为它是关于原点对称的
好
那我们利用这两个关系就可以去求解了
首先我们这个因为这是一个线性方程
所以这个线性方程解析解
我们很容易得出来
而这个解析解
是最后可以表达成这个样子
因为我们知道它的初值在什么地方
在负a这个地方
所以从初值出发
我们可以得到这个解是跟初值有关系
而且是个时间的函数
那么对这个解析求得的解求导
我们可以得到x一点的表达式是这个样子
那所以说我们为了求得在什么时刻
到达切换点B
那实际上我们就列这个方程就可以了
实际上我就是说
假如说在t1时刻到达切换点B
那么当t等于t1的时候
这个xt应该等于a
那么x一点t也应该是等于a
所以这就给了我们两个方程
那么这两个方程联立又有两个未知数
一个是a一个是t
我们就可以把对应的t解出来
我们可以解出来这个关系表达式
就是t1一定是等于4a
而a满足这样一个
超越的非线性的代数方程
而这个代数方程实际上是
这个超越方程我们只能数值求解
但这个数值求解也不难求
我们可以得出来a是等于0.9575
而t1是等于3.83
就是我a求出来以后
我代到这个表达式里面
就可以得到这个时间
那所以因为这个t1是这个
极限环轨迹运动的一半所花的时间
另外一半是在下面这条轨迹里面
而由于对称性
这一半所花的时间一定也是一样的
所以这个极限环运动的周期
实际上就是t1乘以2
我们算出来是7.66秒
那么算出了这个极限环的周期以后
我们还想知道极限环的幅度
那这个幅度怎么来求
我们从这个极限环上来看
实际上这个极限环的幅度实际上
就对应于xt的最大值
那么xt的最大值实际上就对应什么
大家从这个极限环的运动趋势上来看
它实际上就对应于这个相轨迹
或者说这个极限环这一半轨迹
和x轴的焦点
为什么
因为在这个焦点我们前面证明过
在这个焦点的地方x一点是等于0的
也就是说在这个地方切线是等于0
因为我们知道取极值的时候
对应的导数一定是等于0的
所以根据这个条件
我们就可以求它的幅值
同样根据我们刚才求得的
关于xt和x一点t的解析表达式
因为在取极值的地方
假如说这个极值对应的时刻是θ
那么x一点θ一定是应该等于0的
所以把这个代进去以后
由于前面a已经求出来了
θ我们就可以相应的求出来
它应该等于log的1加上a
把a的取值代进去以后
θ应该等于0.6717
所以说θ求出来以后
我代到xt的表达式里面
我们知道这个时候这个x在θ的
这个时刻取值实际上就是
这个极限环的振荡的最大的幅度
我们可以算出来是1.2433
那么这个计算方法
实际上我们从计算的过程可以知道
由于它是基于一个严格的分析
而计算的过程是一个完全准确的计算
在中间没有采取任何的近似
所以这个计算出来的结构
应该是完全准确的
而对照于这种计算我们回顾一下
前面实际上我们算极限环
实际上还有另外一种方法
就是用描述函数法
那么描述函数法我们知道
它实际上是一种近似方法
它基于的原理
是把在系统中的高次谐波忽略掉
我们只是考虑系统的基波分量
所以描述函数法
我也可以利用它去得到一个极限环
或者说我们叫做自持振荡的
这个振动的周期和幅度
但是这个结果一定是近似的
我们前面计算出来
通过描述函数法得到的周期是6.28
得到的幅度是0.9
而相平面法得到的是7.66和1.243
我们可以看到它们之间
实际上还是有一点差别的
但是这个差别从工程上的角度来讲
我们可以认为它还是比较接近的
那么我们还可以和数值仿真比较
就是对于一个
相对比较准确的数值仿真来讲的话
大家可以看到相平面法
和数值仿真的结果基本上是一样的
当然相平面法这是完全准确的
数值仿真可能会有一点数值误差
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
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-零极点对根轨迹的影响--作业
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-滞后校正装置的特性--作业
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
