当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第五周：频率响应法（一） > Fourier变换 > Video
本节我们简要回顾一下
傅里叶变换
大家应该已经在其它课程中
学过傅里叶变换
所以我们就不展开很多的细节
我们只是把一些
和我们相关的重要的点列出来
来完成我们的后面的讲解
首先我们回忆一下
傅里叶变换的一些基本的概念
满足狄里赫利条件的周期函数
都可以用傅里叶变换
表示为一系列的谐波
也就是正余弦之和
我们看这样一个式子
也就是任何一个周期函数
它可以表示为一个级数
其中第一个a0
相当于这个信号
在周期内的一个平均
而an和bn代表着
不同的频率的系数的
与信号的这种积分过程
也就是不同的余弦所占的比例
或者它的系数
其中T1为信号f(t)的周期
ω1等于T1分之2π为基波
可以看出一个周期函数
它的频谱是离散的
即只在ω1和2ω1
以及nω1的情况下才有谱线
那么如果当f(t)是非周期函数呢
我们可以把它想象成
一个周期为无穷大的一个周期函数
那这样一来它的基波频率
逐渐趋于0
各个谐波之间的差
也趋于无穷小 且无限接近
也就是谐波的幅值也趋近于0
我们得到这样一个结论
非周期函数的频谱
含有一切频率成分
即是由无穷多个
无穷小的谐波组成
它的频谱是连续的
具体的细节大家可以参考教材
我们推广前面的这个
周期函数的一些变换关系
我们给出傅里叶变换的数学描述
所谓傅里叶变换
就是把弦信号
与一个指数函数进行积分
所得到的结果
如果我们与
拉普拉斯变换相对照的话我们发现
它们形式上是非常接近的
拉普拉斯变换
一般写的是从0-到正无穷
但是如果0-以前
都是0值的话
我们其实也可以把这个形式
同样写成从负无穷
到正无穷的积分
那么这两者之间的差别
仅仅就是把s换成jω
我们知道s是一个复数
而在这里面jω只是一个虚数
一般情况下由于s还包含有实部
所以拉普拉斯变换的收敛范围
要大于傅里叶变换
所以很多函数是有拉普拉斯变换
但是没有傅里叶变换的
但是在我们研究过程中
这个问题并不严重
我们举一个具体的例子
我们有这样一个信号
它是一个衰减的函数
它的形式可以写成一个指数函数
乘上一个阶跃函数
它的表明在0时刻以前
信号等于0的
对于这样一个信号
我们对它做傅里叶变换
根据前边的公式
我们可以得到这样一个结论
这是一个关于ω的
一个复变函数
我们同样把它写成一个幅值
和相位的一些形式
我们把幅值和相位
分别画到下面两个图之中
我们可以看到
横轴是一个频率
纵轴分别代表着
所对应的傅里叶变换的
幅值和相位
那么随着频率的增大
它的幅值是不断衰减的
当达到τ分之一的时候
它的幅值变为
原最大幅值的0.707
实际上也就是根号二分之一
我们在这个频率之外
幅值的强度就会迅速下降
而在之前幅值的变化相对较小
所以我们一般称为这个
τ分之一这个频率为截止角频率
从图中我们可以看到
f(t)的频谱中包含有一切频率成分
当ω从0到正无穷变化的时候
我们所计算出来的
傅里叶变换的幅值
其实代表着频率为ω的
那项谐波的相对幅值
当然我们要知道
实际上真正的幅值
是要乘上一个无穷小量的
而负的arctgωτ
代表着频率ω在那项谐波
在t0时刻的初相角
所以就意味着所谓傅里叶变换
就是代表着一个信号中
所包含的对应的频率
它所占的比例以及它的相角
一般而言我们会称为
角频率的10倍为频带
所谓频带就代表着
当在频带范围内
信号的相对幅值
还是占有一定比例的
在频带之外由于幅值太小
我们可以认为相对应的谐波
占比太小可以忽略不计
所以频带就反映了
一个信号中所包含的
各种谐波的一个范围
我们可以试想一下
假设我们的信号
在这个本例中
我们信号中的τ变小
就意味着整个这个信号
会变得更加的尖锐
而τ越尖锐的话
根据前面的图像我们知道
它的极致小面积τ分之一
就会变得越宽
同样频带也会变得越宽
这就意味着一个越尖锐的信号
或者变化越剧烈的信号
它的所包含的频率的成分
反而越多
这是个非常重要的结论
这就意味着越是短的
或者越是尖锐的信号
它的频谱反而越展宽
那么相反亦然
一个非常缓慢的一个信号
它的频谱相反会越窄
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
--Video
-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
--Video
-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
--Video
-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
--Video
-频率特性引言--作业
-Fourier变换
--Video
-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
--Video
-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
--Video
-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
--Video
-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
--Video
-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
--Video
-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
--Video
-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
--Video
-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
--Video
-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
--Video
-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
--Video
-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
--Video
-根轨迹方法简介
--Video
-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
--Video
-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
--Video
-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
--Video
-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
--Video
-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
--Video
-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
--Video
-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
--Video
-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
--Video
-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
--Video
-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
--Video
-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
--Video
-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
--Video
-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
--Video
-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
--Video
-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
--Video
-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
--Video
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
--Video
-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
--Video
-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
--Video
-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
--Video
-非线性系统概述
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
--Video
-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
--Video
-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
--Video
-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
--Video
-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
--Video
-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
--Video
-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
--Video
-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
--Video
-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
--Video
-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
--Video
-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
--视频
-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
--视频
--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
--视频
-采样定理--作业
-零阶保持器
--视频
-零阶保持器--作业
-z-变换
--视频
-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
--视频
-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
--视频
-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
