当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第七周：根轨迹方法 > 根轨迹性质 > Video
同学们好
现在我们来研究一下
怎么样利用根轨迹条件
来分析和计算
根轨迹的一些基本特征
那么我们要研究的这些特征
包括根轨迹到底有多少支分支
这些分支从哪儿开始到哪儿结束
根轨迹在实轴上
具体哪些部分是在实轴上
它的分布是什么
根轨迹如何趋于无穷的时候
它的渐近线的方向
以及这些渐近线和实轴的交点
在什么地方
还有根轨迹
如果不同的分支发生交叉
分离会合的时候
它的分离会合点怎么去计算
还有根轨迹在极点的出射方向
以及在零点的入射方向
是怎么计算
那么有了这些特征
我们就可以根据这些特征
去画一下这个根轨迹的草图
那么在研究具体的
这些性质之前
我们先做两个约定
第一个约定我们假设
相角为0的方向
就是正实轴的方向
那么当这个实轴的逆时针旋转的时候
是我们相角增加的方向
第二个约定我们目前为止
先研究一类最标准的系统
就是说这个系统
是一类负反馈的系统
那么在这个负反馈系统中
我们的增益系数
只考虑大于0的情况
那么在后面的研究中
我们会考虑更一般的
就是如果我们有正反馈连接
或者说我们的这个增益系数
有可能是小于0的时候
我们怎么去研究
好 那么在研究
这个根轨迹的性质之前
我们首先为了研究的方便
先把这个闭环传递函数
写成一些标准的形式
首先我们把这个G（s）F（s）
这个开环传递函数
把它的这个变化的参数K分离出来
那么这个函数是K的一个线性函数
然后把除了K以外
剩下的这个函数
它是一个标准的有理分式
我们写成分母是A（s）
分子是B（s）这种标准形式
那么在这儿我们假设A（s）和B（s）
都是首一的多项式
就是说它的这个最高次数
这个系数是1
那么进一步呢
我们可以把A（s）和B（s）
展开成一次因子的乘积
这样我们就可以把它的
这个开环传递函数的零点和极点
全部就表示出来
也就是说分母是s-p1乘以s-pn
这样n个这个极点的这个乘积
分子就是这个m个零点
就是这样的乘积
好 那么就是说
首先我们来看一下
根轨迹的一个最基本的性质
就是说首先如果我这个s
是在根轨迹上
也就是说它满足这个根轨迹条件
1+G（s）F（s）等于0
那么如果我们对这个等式两边
同时做共轭 复数共轭
那么我们可以看到
1的复数共轭还是1
但是G（s）F（s）复数共轭
就变成了G（s*）乘以F（s*）
这里面s*就是s的复共轭
那么这就告诉我们
这个s的复共轭
它也满足这个根轨迹条件
也就是说我们的s复共轭
也是在这个根轨迹上的
那这就告诉我们呢
这个根轨迹实际上
在这个根轨迹上复数的闭环极点
是共轭的成对出现的
根轨迹所以它是关于实轴对称
因此我后面呢
实际上我们只需要考虑
在s的上半平面这一部分就可以了
那么上半平面我们搞清楚了
下半平面我们对称的
把它就翻转下来
就可以得到这个根轨迹的全貌
然后我们在这个后面的研究中
我们首先为了便于分析和研究
我们先把这个标准的根轨迹条件
就是1+G（s）F（s）等于0这个条件
这个先变一下形
我们把这个1移到等式的右边
变成负1
然后再把这个变化的参数K除过去
就变成了s-z1乘以到s-zm除以
s-p1乘以到s-pn这个有理分式
等于负K分之一
这是我们首先要记住一点
第二点我们在分析这个根轨迹的
相角条件的时候
我们知道这个根轨迹的相角条件
实际上是跟它的增益是没有关系的
因为增益是个实数
所以它的相角条件呢
本质上只跟这些零点和极点有关
当我们把这个开环传递函数
分解成这样1次因子的乘积
或者这个分式的时候
我们可以把它的相角
分解成下边这个样子
也就是说大家从这个图上就可以看到
就是说这些相角
它实际上是一些标准的向量的
相角的和和差
其中s-zi大家可以看到
比如说我们现在这个系统
有两个极点一个零点
s-z1就是从z1开始到z
我做一个箭头
那么这个向量它的相角
就是s-z1的相角
同样道理s-p1 s-p2的相角
都是分别从这些极点出发
到s这个地方做一个向量
它对应的相角
那么我们这样写出来以后
我们这个整个
G（s）乘以F（s）的相角
就可以表示成
这个所有的这些零点
对应的这些相角的和
减去所有这些极点对应的
这些相角的和
那么这些所有相角的和和差
它应该等于
根据我们的相角条件
它应该等于180度的奇数倍
那么从这个式子里边
我们也可以看出来呢
在一个开环传递函数里面
我们所有的零点
它提供了一个正相角
所有的极点
它提供了一个负相角
因为正的极点前面是带一个负号
它提供的是一个负相角
那么这个基本概念在我们后面
在分析校正的时候
实际上是非常基本的一个出发点
好 我们来分析第一个性质
就是我们这个根轨迹
到底有多少支
然后每一支是从哪儿开始
到哪儿结束
我们根据我们前面这个变化的
这个根轨迹条件呢
我们首先可以看
那么在起点什么是起点呢
就是对应于K=0的情况
那我们看到
如果在K=0的话呢
那么等式的右边 分母等于0的话
那么等式的右边一定是趋于无穷的
所以如果要让右边趋于无穷
我们看什么样的s
可以让这个有理分式是趋于无穷
那么很显然
就是说当s等于这些极点的时候
就是要么p1 要么是p2
或者到s p1到pn中间的任何一个
那么这个有理分式
都可以趋于无穷
所以我们就可以得到结论
就是所有的开环极点
都是我们的根轨迹的起始点
那么除了这些开环极点
再没有别的这个s
可以让这个有理分式趋于无穷
所以说在所有的起始点
都是我们的开环极点
那么什么是我们的终点呢
同样的道理
就是终点是对应K趋于无穷的时候
当K趋于无穷的时候呢
我们等式的右边
分母等于无穷的时候
等式右边是趋于0
这个同样的道理大家可以看到
就是当s等于这些零点的时候
z1或者zm其中的一个的时候
任意一个的时候呢
那这个有理分式是等于0的
所以这个零点是我们根轨迹的终点
或者说是我们根轨迹的有限终点
那么既然说有限终点
也就是说实际上还有一些无限终点
为什么会有无限的终点呢
我们可以看呢
大家看这个分式
就是说除了这些零点以外呢
还有一些点
可以让这个分式趋近于零
因为我们在这个
在一个物理可实现的
开环传递函数里面
我们这个分母的次数
总是大于分子的次数
就是n总是大于m的
所以当s趋于无穷的时候呢
大家可以看到
就是分母就变成了趋于s的n次方
分母趋于s的n次方
分子趋于s的m次方
所以当n大于m的时候
s趋于无穷的时候
这个也同样是趋近于0的
所以我们还有一些终点
实际上趋于无穷的
所以说这样我们就可以得到结论
就是说我们的起点
是我们的极点
那么终点是我们的零点
以及一些无穷远的点
那么到底有多少个分支
是趋于无穷远呢
我们也很容易可以去计算
因为我们知道有n个极点
是我们的根轨迹的起点
所以当我们K连续变化的时候
从这n个起点开始
我们会对应有n个分支
会连续的去变化
那么这n个分支
必然有它各自的终点
那么这个终点呢
包括了m个零点 m个零点
那么必然还有n-m个分支
它的终点不是零点
不是零点它就只能是无穷
所以我们必然有m个分支
是趋近于零
它的终点在零点
剩下的n-m个分支
它的终点在无穷远
这是我们的第一个性质
那么第二个性质
就是我们的这个根轨迹
如果在实轴上有分布的话呢
它是怎么样分布的
那这个我们要从我们的相角条件
来分析一下
那首先来看一下我们的相角条件
就是说首先第一点
就是说因为我们的相角
是所有的零点和极点
都对我们的相角条件是有贡献的
但是在分析实轴上的根轨迹的时候
共轭的零极点是对这个相角条件
实际上是没有贡献的
为什么这么说呢
我们来看一下这个示意图
假如说我们有一个闭环的
这个极点s是在我们的实轴上
我们看一下这两个
有一对共轭的极点
共轭的开环极点s1和s2
他们对这个s的这个相角的贡献是多少
我们很容易可以看到
s2到这个向量
到s这个向量的这个相角是θ2
s1到这个s的这个向量的
这个相角是θ1
当然这两个相角
由于我们这个对称性
这两个相角加起来正好就是360度
所以他们的相角正好是2π
因为我们知道这个相角应该是
相角的和应该是这个π的奇数倍
所以这个2π实际上是
不影响我们的这个
相角的这个奇偶性
就是π的这个倍数的奇偶性
所以它对相角是没有贡献的
那我们再来看一下
如果这个共轭的零极点
对相角没有贡献
那必然只有我们实轴上零极点
对它有贡献
假如说我们除了这些共轭的
复数零极点以外呢
还有n个零极点在实轴上
那其中在这n个零极点之中
有l个零极点
在我们这个闭环极点的右边
那我们分别来看一下
那么他们总的相角贡献是多少
我们从这个图上也可以看
就是假如说这是我们的闭环的极点
假如说我这个零极点
这里边我们以这个极点为例
其实零点也是一样的
那我们这个极点
在这个s的右边
那我从这儿做一条线段
到s我们可以看到
那么它的相角实际上是180度
它从这儿的相角是180
也就是它的相角贡献是180度
那反过来如果我们这个极点
在这个闭环极点的左边的话
那我们看一下这个向量
从这个极点到s的这一条
这个向量的这个相角它是0度
所以说它的相角的贡献实际是0
那这样的话我们就可以去计算一下
所以这n个零极点
它的总的相角的贡献
我们可以看到
就是说在这里面有
假如说我们有m个零点有n个极点
那么它的相角的贡献
根据我们前面的分析
它的表达式是这样的
那么其中在这里边
我们所有的复数的零极点
它的相角贡献都是这个π的偶数倍
所以它不影响我们最终结果的
这个奇偶性
那在这里面实数的极点有l
假如说有l个零极点
在测试点的右边的话
那么它的总的相角贡献
就是l乘180度
因为每一个相角的贡献是180度
那么剩下n-l个贡献
它们的相角各自的
每一个相角贡献都是0度
所以就是n-l乘以0
所以最后实际上
这左边的这些零极点
实际上它的相角贡献也是没有的
只有在这个测试点s的这个右边的
这些零极点它的相角贡献是
是有贡献的
就是l乘180度
所以我们根据这个等式
马上就可以得出结论
就是说如果我们要让
这个根轨迹的这个s
满足这个相角条件
这个l就必然要等于2k+1
也就是说l必须是奇数
所以这就告诉我们
在我们实轴上的这个
根轨迹如果在实轴上的话呢
那在这个根轨迹的右边
只能有l个奇数
所以根据这个原理
我们就可以很快的去画出
实轴上的根轨迹
比如说我们现在假如说
我们在这个实轴上
把所有实轴上的零极点
都已经排布出来了
那我们看呢
那我们在这些实轴上的哪些部分
是它的这个
是有可能是我们的根轨迹
比如我们看在这儿
在这儿的话
那我们这个
比如在这儿的话
那它的这个所有的这个
它在右边没有零极点
也就是说它的零极点的个数
是偶数个
所以这一部分
从这个极点往右边这一部分
不可能是我们的根轨迹
那从这两个极点之间的这一部分
我们可以看到
那么在这一部分
这个任何一个s呢
右边只有一个极点
所以这一段是我们的根轨迹
同样到这儿了
它右边有两个极点
所以这一段不是
那到这一段呢
它右边有三个
有两个极点一个零点
所以总数是三个
所以这一段
也是我们根轨迹的一部分
所以以此类推的话
我们就可以很容易的画出我们的根轨迹
就是说我们从最右边这个开始
依次画线段
画完一个线段以后呢
我再从下一个
不管是零点还是极点出发
然后再画一个线段
到相邻的这个零极点
然后再隔一个再出发呢
就这样一直画下去
把所有的可能的这些线段
或者射线画出来
就是我们实轴上的根轨迹
那么第三个性质
就是说如果有些根轨迹
是趋于无穷的
它的终点在无穷
那么它的渐近线
它的方向是什么样的
那么我们从这个图上
可以很容易可以看到
就是说当我们这个闭环极点
是趋于无穷远的时候
那么这些
就是我们所有的零点和极点
从零点或极点出发到这个s的这个线段
它的这个方向会趋于无穷
当s趋于无穷远的时候
会趋于无穷
那么都会趋近来于同一个相角
比如说这个相角我们叫做γ
那么根据我们的相角条件
所有这些相角γ
所有零点的相角的贡献是正γ
那么所有极点的相角贡献呢
我们前面要带一个负号就是-γ
所有的这些相角的贡献
就是m-n个γ
所以它按照我们的这个
根轨迹的相角条件
应该等于π的奇数倍
所以说我们就是说
由于又有n-m条不同的渐近线
那么这些渐近线的角度
它的方向就应该是2k+1 π
除以n-m
其中这里面的k
可以有n-m个不同的选择
比如说可以让k从0开始
一直到n-m-1
那这是我们的渐近线
那么渐近线
我们只有方向是不够的
我们还需要知道
它这个渐近线是从哪儿开始的
只要我们确定了
这个渐近线上的某一点
那么在根据它的方向
就可以把这个渐近线画出来
那么这一点我们可以根据
渐近线和实轴的交点来确定
那么这个交点的公式
可以由这个公式
就是所有极点的和
减去所有零点的和
再除以n-m
由于这个推导比较复杂
我们在这儿就不细讲
就是如果希望知道的话
可以去看参考我们的教材
那么第四个性质
就是说我们这个根轨迹
有些根轨迹的分支
它可能会发生交叉
那么在交叉的地方
就会发生这个
闭环极点的分离和会合
那么这些分离会合
假如说是发生在实轴上
我们看一下物理上
它是一个什么样的图像
比如说我们在这儿
就是说我们这个从两个极点出发
从两个极点出发
那么这两个极点
因为我们知道极点都是起始点
那么这两个根轨迹
一定是相向而行
那么相向而行的时候呢
它必然在某个地方会会合
会合以后
它就会沿着不同的方向
再进行出射
那么在这个会合点的地方
大家画一个k
和我们这个闭环极点σ的
由于这时候我们的闭环极点都是实数
在这一段
那我们可以画一个
他们的函数依赖曲线
那么这时候大家可以看到
由于我们这个k往中间走的时候
都是k是增加的方向
所以这个k是从两边
都是往上上升的
而我们的σ从这边往这边走
σ是减小的
从这边往这边走的时候
σ是减小的
所以大家从这个图像上可以看到
如果把k看成σ的函数
那么k在会合点这个地方
一定是取极大的
那么另外一个就是说分离
就是假如说我们现在这个实轴上
有两个零点
那么我们知道这个零点
一定是这个根轨迹的终点
所以说一定从某个地方开始
会有两个分支
一个往这边走 一个往这边走
那么在这个分离点
这就是我们所说的分离点
那在这个分离点
就是我们可以看到
往这边走的时候k是减小的
往这边走的时候k也是减小的
k也是减小的
所以在这个地方
在分离点的k实际上是一个极小
所以根据我们这个极值条件
我们利用微积分的一个最基本的原理
就是说我们如果
根据我们这个根轨迹的条件
把k 从这个里面
把k表示成闭环极点的一个函数
那么这个时候
我们根据这个极值条件
那么k在这个分离会合点
一定是取极值
也就是说这个时候
它的这个导数 对s的导数
在这个分离会合点
一定是等于0的
所以说我们对这个表达式求导以后
我们就会得到这样一个有理分式
这个有理分式如果让它等于0
如果我们能把这个方程能解出来
满足这个方程的s的话
它一定就是我们的
分离点或者会合点
当然这个分析
我们是根据一个假设
就是说我们这个分离会合点是在实轴上
这样我们把这个k看成一个
这个s是一个实数的函数呢
我们可以根据我们的这个
微积分的这个极值原理去求取
那么有时候我们的分离点和会合点
有可能是在复平面上
这就是说它的分离会合点
有可能是一个复数
那么这个时候
实际上我们可以用
另外一个等价的证明
另外一个等价证明
因为这个时候
实际上我们可以看到
从另外一个性质来出发
就是说这时候分离和会合点
实际上它对应于我们闭环系统
特征多项式有重根
就是说我本来
在这个分离会合点之前或之后
这两个根轨迹上
对应的闭环极点它不在一起
当然在这个分离会合点的这个地方
它又变成一样了
所以这个地方是对应有重根的情况
当然有重根的情况的话呢
大家很容易就知道了
就是说如果我这个
一个多项式有重根的话
那么如果对这个多项式求导
这个重根一定是这个多项式的
导函数的根
举个简单的例子
就是说如果我这个多项式
s-1的平方
那么对s-1的平方求导以后
就是2乘以s-1
大家可以看
那么1既是s-1平方的根
也是它的导函数2 s-1的根
所以我们可以
这两个条件就可以把这个
分离会合点求出来
就是说我如果这个闭环系统
特征多项式f（s）
它等于A（s）+KB（s）=0
那么它的导函数很容易知道
就是A'（s）+KB'（s）
那这个s闭环极点
也应该是这个函数的根
所以这又给了我们两个方程
从第二个方程里面把k解出来
然后再代到第一个方程里面
就会得到我们这个条件
就是A（s）B'（s）减去
A'（s）B（s）等于0
那这个条件实际上大家可以看到
它实际上和我们前面
推导出的这个条件
它的这个分子多项式
实际上是一模一样的
所以说当B（s）不等于0的时候
这两个条件实际上是等价的条件
当然了这个条件
只是一个必要条件
就是说我们在计算
分离会合点的时候
我们根据这个方程
把分离会合点求出来以后
那么求出来的这个解
它并不一定是我们的分离会合点
因为这个点有可能
不在我的根轨迹上
那如何看它在不在我的根轨迹上
就要再进一步的计算一下
这个点对应的K等于多少
就是说我们把它代到这个函数里面
代到K的表达式里面
K等于负的A（s）除以B（s）
这个表达式里面
我们计算相应的K是多少
如果是它大于零了
那么这个点就一定是
我们根轨迹上的某一点
而且它对应于分离会合点
那么这个地方我们举一个例子
假如说我们这个开环系统的传递函数
是这样一个三阶系统
我们看一下它的分离和会合点
是什么样的
那我们的闭环系统的特征方程
我们可以很容易的写出来
就是s乘以s+1乘以s+2加上K等于0
然后我们把K表示成s的函数
就是我们这个函数
展开以后
就是这样一个三次多项式
那么我们根据这个分离点
和会合点的这个满足的必要条件
我们把K对s求导
就得到这样一个二次的多项式
我们求解这个二次方程
就得到s有两个解
一个是-0.423 一个是-1.577
然后这两个点
并不一定是我们的分离会合点
如果要看它是不是呢
还要算一下对应的
这个K等于多少
假如说我们对于这个
s=-0.423这个解
我们把这个s代到我们K的
这个表达式里面
就把s让它用-0.423代进去以后
我们算出来对应的K是0.385大于0
所以这一点是在我们的根轨迹
而且它是一个分离会合点
那对于s等于-1.577来讲
我们算一下
它对应的K是小于0的
所以它不在我的根轨迹上
因此也不是一个分离会合点
所以说我们可以看到
这个-0.423它是一个分离会合点
那它到底是分离点还是会合点
那我们很容易可以根据
这个根轨迹可以看出来
因为我们在这里面
这个开环传递函数
只有零点没有极点
所以说只有极点相向而行
会合而成的点
不可能有向零点这个终极
而产生的这种分离点
所以这是一个会合点
好 我们来看一下第五条性质
复极点的出射角和复零点的入射角
那么为什么要研究这两条性质呢
就是因为我们在去画根轨迹的时候
从零点出发
我们需要知道它是从哪个方向
沿哪个方向开始的
或者说我们这个根轨迹
终结于零点的时候
它是沿哪个方向结束的
这样可以帮助我们
更准确的去判断根轨迹的走向
和它的形状
那么怎么去计算
我们还是从相角条件来出发
首先来看一下
就是如果我们有一个复极点Pr
那么它从Pr开始
它出射方向是什么样的
在这里面我们比如说画出来
这个Pr是一个极点
假如说它的出射方向
是这个φPr
那么我们在这个根轨迹
离Pr很近的地方我们取一个s
非常近
那么我们算一下
在s这个地方
它满足了这个根轨迹的相角条件
也就是说我们去算
这个G（s）F（s）的时候
它应该等于所有的
这个s-zi的相角
减去所有的s-pj的相角
那在这里边由于我这里边s减去
s和这个Pr非常接近
所以我们再去算s-zi相角的时候
我们就可以把这
这里面本来应该是s
我们就可以把s用Pr来替代
同样道理我们再去算这个
s-Pj相角的时候呢
如果我们这个Pj不等于Pr的时候
我们可以把这个Pr
把这个s也用Pr来替代
因为s和Pr非常接近
但是只有一个角
就是说我们这个Pr
s到Pr的这个本身的相角呢
如果我们去用s减去
把这个s-Pr替代的话
它就是0了
所以这个地方呢
它实际上是一个未知数
就是说实际上
这个角我们把未知数留到这儿
这是我们的φPr
这个也就代表了我们从Pr到s的
这个向量的相角
所以这样这个相角条件
应该等于π的奇数倍
而我们所有的这些合式里面的量
由于零点和极点我们都知道了
所以这些量是可以计算的
所以从这个方向上
我们就可以把这个未知数算出来
这就得到了我们去计算出射角的
这个公式
出射角的这个公式
同样的道理
我们这个零点的入射角
假设我们有一个零点的zr
它的入射角也是同样的道理
在这个zr附近取一个
根轨迹上取一个
非常接近的一个闭环极点s
然后计算在这个地方
它的这个相角条件
那我们在计算相角条件的时候
除了我们这个zr到这个s
要计算的这个零点
到s的这个入射角以外
我们留到这儿
那么其他的
从其他的零极点到我们s的
这个向量的相角
其中这个s我们都可以用zr来代替
同样道理我从这个公式
也可以把φzr它的入射角
给计算出来
所以从这两个公式
我们就可以把极点的出射角
和零点的入射角计算出来
比如说我们举一个简单的例子
这个地方我们有一个二阶系统
在这个二阶系统里面
它对应的分母
我们可以求出来它的开环极点
是一对共轭的复根
它有一个零点是在负2
那根据我们刚才计算的
复极点的出射角公式
它应该等于180度的奇数倍
减去呢
就是说我们除了
因为我们要算极点的出射角
假如说我们要算这个p的极点出射角
那么它应该等于除这个极点以外
其他的这个极点
到它的这个向量我连一下
从这个P2到这个P1
去连一下向量 我算
这个向量的相角90度
要减去所有这样的相角
还有的所有其他的零点
到这个P1它的相角
我连的这个向量的这个相角
那所有的这个相角我们取正号
这样我们去算一下
因为我们还剩下一个极点P2
只有一个零点Z1
所以我们只需要算这两个相角
就是减去90度
这个是90度
然后加上这个55度
然后再加上180度的奇数倍
这里边我们只需要取一个
比如说我们取一个正180度就可以
这样我们就算出来
它的这个出射角
应该是145度
从图形上可以看出来
它是沿这个方向出射的
那么我们关于这个P2
由于我们的根轨迹是对称的
所以它如果沿正145度出射的话
那从P2开始呢
一定是沿负145度出射的
所以P2这个点
我们就不用再算了
把P1算出来就可以
我们再看一下第六条性质
就是说因为我们经常需要去判断
因为我们这个系统在闭环以后
有些时候系统可能是稳定的
有些时候系统是不稳定的
所以什么时候
从稳定变成不稳定的
或者什么时候
从不稳定变成稳定的
那这个临界点对我们来讲
是非常重要的
所以我们希望把这个点
能够准确的去计算出来
那么这个点
我们如果能够从根轨迹
把这个点算出来的时候呢
因为这个点是它实际上
对应于我们穿越虚轴的交点
也就是说我们这时候闭环极点
等于纯虚数的时候
所以如果我们把这个点算出来
他对应的这个闭环极点
因为它是在虚轴上
所以它的大小
实际上就对应我们
这个时候临界稳定的时候
它的振荡频率
那么这时候对应的这个增益
就是我们的临界增益
也就是说在这个增益小
就是稍微变化一点呢
它就有可能变成稳定或者不稳定的
所以这一点是非常重要
那么怎么去计算呢
我们可以根据前面
我们去判断稳定性的很多方法
去进行计算
比方说我们可以去根据
劳斯稳定判据
我们可以把这个劳斯表画出来
那在这个劳斯表的
这个第一列里边呢
我们肯定它跟我们k是有关系的
所以我们可以去算
什么样的k
可以让我们的第一列都是大于0的
那这样我们就可以确定
这个K的范围
那么在这个范围里面呢
这个闭环系统是稳定的
那么这个闭环系统稳定呢
在这些范围的这个边界点
实际上就对应于
我们这个临界增益
比如说我们求出来的K是在一些区间
比如从负1到负2 不是
比如说从1到10
那么这个1或者10
就是我们的临界增益
我们可以去相应的计算
相应的这个振荡频率
那么还有一个另外一个
更直接的计算方法
就是说假如说我们这个
这个在虚轴上是有交点的
那么这个交点呢
我们一定可以表示成这样一个纯虚数
那我们就把这个纯虚数
代到我们这个根轨迹的条件里面
就是说我们这个闭环系统的根轨迹
一定要满足1加上它应该等于0
对吧
所以它的实部等于0
虚部等于0
实际上就给了我们两个方程
因为我们有两个未知数
一个是这个K 一个是ω
所以这两个方程两个未知数
我就可以把相应的K和ω解出来
好 那我们到这儿
就把我们根轨迹所满足的
六条性质都讲完了
那么后面我们可以看到
根据这六条性质
对于一些不是特别复杂的系统
我们完全可以去根据
自己一些比较简单的计算
去快速的准确的
去把根轨迹的形状画出来
从而帮助我们进行系统的分析
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
