当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第九周 系统校正（二） > 基于Bode图设计超前-滞后校正 > Video
同学们好
现在来研究一下
怎么样利用Bode图
来设置超前滞后校正
首先我们从Bode图上看一下
加入超前滞后校正以后
可能会对系统产生什么样的作用
我们先写出来超前校正的
它的频率特性的一个表达式
它由我们的一个附加的增益系数
一个超前校正环节
一个滞后校正环节
所对应的这么频率响应函数
我们把这个它的频率特性曲线画出来
假如说这是我们控制对象
本身的频率响应曲线
在这边我们可以看到
这个时候在这个穿越频率这
对应的相角裕量还是有一点
但是不太大
所以这个系统的稳定性是有的
但是可能不一定能够满足我们的要求
而在它的低频段我们可以看到
低频段离零分贝轴的这个高度
可能并不是很高
我们还希望在某些情况下
我们希望能提高
这部分的这个增益
我们来看两种情况
第一种就是说如果我们
对这一部分的低频段的增益
已经满意了
我们现在再加一个
超前滞后校正的环节
我们可以看到它对原来控制对象的
幅频特性和相频特性的改变是什么样的
我们可以看到
它把原来的这个穿越频率
往左平移了不少
也就是说这时候系统响应速度会变慢
那么这时候它对应的相频特性曲线来看
因为超前校正装置在低频部分
会提供一个负相角
在中频部分会提供一个正相角
所以对相频特性的改变
会产生这样一个起伏
在这一段把相频特性拉下来
在中频段把相频特性抬上去
所以由于这个时候的
这个穿越频率也降低了
但在这个地方
原来对象的相频特性曲线这个地方
因为频率减小
这个γ 这个相角本身是要升高的
而这个时候的超前校正环节
在这个地方提供的相角
由于正负抵消
基本上可以忽略
所以总的来讲相角裕量
会得到一个提高
另外一个在这个地方
我们看它的幅值裕量
幅值裕量对应于相频特性
穿越180度这个地区
由于在这个地方穿越180度这个频率
得到了一定的提升
所以它的这个幅值裕量
也会得到一定提升
所以我们总结一下
当我们没有引入这个附加增益的时候
穿越频率会降低
误差系数当然不变的
稳态误差没有什么变化
穿越频率降低
会引起系统的响应会变慢
但是这个时候它的相角裕度和增益裕度
同时会增加
所以相对稳定性提高了
我们看另外一种情况
当Kc等于Kc2大于1的时候
这时候整个的这个幅频特性会抬上去
抬上去使得这个穿越频率
比原来穿越频率会得到了提升
会得到增加
那么这个增加使得系统的响应变快
同时另外一个好处
由于低频段同时也提上去了
所以它对应的误差系数增加
稳态误差会得到减少
这个时候我们再来看一下相对稳定性
相对稳定性我们来看一下
对应于这个新的穿越频率的时候
这个相角的裕量
这个相角的裕量我们可以看到
如果我们没有这个超前校正的环节
提供的这个超前角的话
原来这个控制对象
这个幅频特性
在这个频率这
是差不多恰巧穿过负180度轴
也就是说这个地方的相加裕量
基本上没有基本上零度
但是由于我们有这样一个
附加的相角裕量
所以这个时候的相角裕量是大于0的
所以说而且这个大于0
就是这样一个此消彼涨
这个相角裕量
和我们在没有校正以前的相角裕量
基本上还能够维持在原来的水平
所以稳定裕度基本上没有下降
所以我们可以看到超前校正装置
我们如果采用这个方案
第二个方案的时候
它既能够改善系统的稳态误差
又能够在不牺牲系统的
动态性能的前提下有一定的提升
它可以去加快系统的响应
而且如果设计合理的话
不影响系统的相对稳定性
甚至还可以有一定的提升
好 那我们了解了超前校正装置
从Bode图上来看它的作用以后
我们来看一下
具体在设计的时候
在选择超前滞后校正参数的时候
我们怎么样来选择
我们可以有两个思路
第一个思路
就是说我们如果对这个系统
不是太熟悉的话
我们可以有一个比较
相对标准一点的思路
我们可以把这两个环节
分开来设计
就像我们刚刚
前面在学习利用根轨迹法
来设计超前校正装置的时候一样
比如说我们可以先设计滞后校正环节
因为我们知道滞后校正环节
是针对低频段来设计的
所以我可以先把T2离的远一点
就是它里面的时间常数设计的远一点
离系统的这个中频段
也就是这个穿越频率
我们期望的这个穿越频率远一点
那使得这个时候
它对校正后系统的相频特性的影响
不是那么大
我们可以控制在3到5度范围之内
只要T2选的足够大
就可以保证这一步
那这个T2确定以后
我们再去考虑超前校正的时候
因为超前校正
主要是靠超前相角来设计
所以这个超前相角
我们在考虑超前角的时候
就不需要考虑滞后环节
所以这个时候
我们去设计超前的时候
就不需要考虑滞后
我们现在选择T1再选择β的时候
我们也可以去选择
比如说让零点去消掉对象的一个
比较慢的极点
然后剩下的β
我们按照前面学习的超前校正来设计
也可以不一定要把
要让这个零点去对消极点
我们就用前面的标准方法
来进行设计都可以
那这种设计相对的比较简单一些
但是我们后面的设计
会相对的受约束一点
因为我们后面在考虑
这个滞后环节和超前环节的
其他的参数选择的时候
它选择的余地相对会小一点
这是第一个
然后第二个思路
就是如果我们设计了
已经比较熟悉的话
就是我们实际上
设计的这个经验比较丰富的话
我们可以根据经验来选
也就是说实际上我们在设计的时候
我们在看超前环节的时候
我们有时候一看系统
这个中频特性
我们就大概能够知道
β应该在什么范围内选择
这个时候我们可以先根据经验选一个β
β选好以后呢
我们就按照超前校正计算
就可以计算T1
因为这时候我们知道了β
知道了我们目标的穿越频率
我们就可以把T1算出来
T1算出来以后
我们再选T2的时候就相对的容易了
因为我们只要把T1和T2
选的相隔的比较远一点
使得它们之间互不影响
就可以去实现我们的
超前滞后校正的目标
所以这时候我们T2再选择远一点
T2定了以后
我们就可以再去定
滞后校正环节的这个比例系数
所以这是二种思路
下面我们结合一个简单的例子
再来看一下
这个例子是我们前面
在学习超前校正的时候
已经碰到过的例子
我们希望目标的速度误差系数
要大于等于100
相角裕量大于等于40度
目标的穿越频率要大于等于20rad/s
那么首先来看一下
因为这个稳态误差的这个指标
实际上是最容易去研究和确定的
所以来根据这个指标
我们首先来定一下K这个系数
我们根据速度误差系数的这个定义
它等于Gp（s）乘以s
让s趋于0 等于K
它应该是大于等于100的
所以说我们首先取这个开环增益等于100
也就是说首先我先选取这个增益
做一个校正
这是一个静态的校正
增益校正
那么这个K这个系数定了以后
我这个对象的传递函数就定了
我们来看一下
在这个K取值的时候
这个系统对象的
频率响应曲线是什么样子的
我们可以看到这个时候
它的穿越频率是31.6rad/s
这个时候对应的相角裕量等于0度
这个时候的增益裕量
基本上也是0度
因为它就在这个地方穿越负180度
它对应的增益裕量
基本上也等于0
但是实际上我们如果
这是根据折线计算
算出来是等于0
但是实际上我们如果准确计算的话
我们会发现它有一点点的正的增益裕量
所以这时候系统还是属于稳定
但是已经非常的接近于不稳定的边缘
所以我们来比较一下
这时候我们可以看到
K的选择已经能够满足
我们的稳态误差的设计要求
当然这个时候系统的相对稳定性
这个时候对应的0度的
相角稳定裕度
和0.83的增益稳定裕度
和我们的目标的40度的相角稳定裕度
相比来讲会差的很远
所以这时候是不满足我们设计要求的
所以这时候我们可以考虑
选择超前滞后校正
首先看一下超前校正
因为我们知道前面的设计目标
我们希望在校正以后
系统的穿越频率应该在20rad/s以上
所以我们首先来看一下
在这个频率附近
我们需要多大的相角补偿量
我们很容易可以计算一下
在这些这一部分
在没有校正以前
在20rad/s这个频率这
这一部分的高度
应该是在负180度以上
大概15度左右
所以我也为了在这儿获得
40度的这个相角裕量
我们还应该再提供25度
才能够总共提供40度的
左右的相角裕量
也就是说我们需要把相频特性
再往上抬高25度左右
当然这个的话
由于我们在设计的时候
超前校正装置
它还有一些其他的因素的影响
所以我们只取25度是不够的
我们还需要取一些
留一些裕量
但是这个裕量
我还不能留的太小
因为实际上我们后边
还有一个滞后环节在等着
而这个滞后环节呢
会在这个地方
会产生一定的负相角
所以我们这个相角裕量
要取得稍微的更大一点
我们前面讲设计超前的时候
我们取5到10度就可以了
但是我们在这儿取的再大一点
取15度
所以最后我们取这个
所需要的超前相角量我们取40
40度
所以这个40度
我们就可以去确定
超前校正装置的这个比例系数α
根据40度可以算出来
α应该取4.6
然后根据这个α的数值
以及我们目标的穿越频率
这个地方这个频率的大小
我们可以计算
校正装置的参数T
它应该等于根号αωc分之一
等于0.023
所以到这为止
超前校正装置
我们就设计好了
我们写出来以后
把所有的αT代进去以后
我们就可以得到这样一个表达式
这个表达式上面是0.107s+1
后面我们为了便于计算
我们不妨就把这个
小数点后面第三位把它舍掉
我们就把它写成1+0.1s
那这样做还有一个好处
就是这个零点
正好和我们对象中间的一个极点
消掉了
所以我们最后就不妨选成这个样的
所以这是我们在选择这个
超前校正装置
我们可以初步确定
它的装置的参数可以这样选择
好 那么超前校正环节设计好以后
我们来看一下滞后校正环节
怎么来设计
我们把这个加入超前校正以后的
这个频率特性曲线画出来
我们可以看
我们在这只画这个幅频特性曲线
因为相频特性曲线
根据超前校正的设计
它的相角裕量
在这个地方提供的相角
已经能够满足要求
我们现在要做的
就是通过滞后校正
在这个地方
提供一个这个增益的补偿
让使得这个幅频特性
在这个地方要正好在20rad/s
这个地方要穿越
所以使得它
使得这个地方
真正的成为校正以后的穿越频率
也就是说加入滞后校正以后
我们要把这一段压下来
使得它正好在这个地方穿越零分贝轴
那这样这个穿越频率
就会对应于我们设计好的这个相角
这个地方
满足我们的相角裕量的要求
那这一部分我们怎么去计算
我们首先来计算一下
这一部分要多少
也就是说这一部分的这个增益
就对应于我们这个
滞后环节所要补偿的这个增益
我们算一下
在这个地方它的高度
也就是说Gp对象的传递函数
乘以超前校正环节
它们总的在这个20rad/s这个地方
它的增益
我们算出来大概是在14分贝左右
所以说我们如果要加上
这样一个滞后校正环节
滞后校正环节
我们在学习滞后校正的时候
我们知道如果我们的这个时间参数
时间常数选择的足够大的时候
那么这个滞后校正的
这个环节的增益
在低频的时候
这个增益的时候
是约等于β分之一
它和T2没有关系 约等于β分之一
所以这个β分之一
它所提供的增益
就是20倍的lgβ分之一
因为β是大于1的
所以这是一个负增益
所以它应该提供负的14分贝
才能够和原来的这个正的14分贝抵消
使得新的校正以后的幅频特性
能够在这个地方穿越0分贝轴
所以根据这个公式
我们可以计算一下
β应该在5附近
从这儿我们也可以看出来
由于超前和滞后两个校正环节
是分开设计的
所以我们设计出来的β和α
一般来讲是不一样的
β确定以后
我们T2的选择就相对比较简单了
因为T2的选择
它并没有一个特别严格的限制
它只需要保证T2对应的特征频率
远离我们的穿越频率
我们期望的穿越频率
也就是说我们只要选ωc的逆
大概5倍到10倍以上
基本上就足够了
所以这里面通过计算
我们选5应该等于0.25
那么T2定了β定了
我们就可以把滞后校正环节的
传递函数就确定下来了
就是我们得到了这个形式
好 最后一步我们在设计完以后
还需要校验一下
我们设计的这个校正环节
是不是满足要求
这是我们刚才得到的
这个超前校正环节和滞后校正环节
我们附加的增益系数
实际上我们在前面去确定K
这个对象的这个增益系数K的时候
实际上已经包含进去了
所以这就是我们的最后结果
我们画出来
经过校正以后和校正以前的
这个幅频特性曲线的时候
我们可以看到
这是蓝线是对应的校正以前
红线是对应的校正以后
绿线是这个校正装置本身的
这个幅频特性曲线
大家也可以看到
由于α和β选择的是不一样的
如果α和β选择一样的话
在这一段它是应该
关于这个中心是对称的
两边都是分别趋近于0分贝
但是由于α和β不一样
一开始的时候是从0分贝开始
但是最后大家可以看到
这一点实际上是 不是0分贝
这是由于是α和β不一样
所造成的
那么再加入校正以后
我们可以看到
跟我们的预期相比一样
就是这个系统的这个穿越频率
由原来的31.6
就大概的挪到了20rad/s左右
我们的计算结果就是
通过折线近似计算
就是20rad/s
但是我们通过精确的计算
通过MATLAB计算
我们发现这个穿越频率
实际上还要再小一点18.5
但是这个结果
如果我们不是特别严格要求
来讲的话
实际上基本上也是满足要求的
那么在检验这个相对稳定性来看的话
我们在这个穿越频率附近检验相角裕量
我们发现目标是40度
通过折线近似计算是45度
通过精确计算是46.75
所以相角裕量的这个指标
是满足要求的
那么增益系数
实际上我们在开始选择K的时候
是肯定能够保证
它是满足我们的要求的
我们最后画出来阶跃响应曲线
我们也会发现
由于这个相对稳定性
得到非常大的改善
所以从它的过度过程时间
和从它的超调上来看
和这个校正以后和校正以前
都会有一个非常大的改善
好 那我们可以看到
超前滞后校正
可以帮助我们更好的
去改善系统性能
在这个例子里面
实现我们的最后设计结果
并不能够完全的满足我们的设计目标
当然这也是我们在实际的设计过程中
会经常碰到的问题
当设计不满足要求的时候
我们需要进行反复的调整和设计
调整和设计
那这个调整的过程
需要我们对校正环节
超前校正和滞后校正的原理
从幅频特性曲线和相频特性曲线上
它的校正的这个机理上
要对原理非常清楚
只有非常清楚这个原理
我们才知道我们要调整的时候
这个参数究竟是往大了调
还是往小了调
这样才能帮助
才能够让我们能够最快
更好的得到一个比较好的设计方案
好 我们的这节课就到这里
-绪论
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-奇点--作业
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
