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前面我们介绍了Routh判据
根据Routh判据呢
我们可以不用解系统的特征方程
直接根据特征方程的系数的分布情况
就可以估计出系统是否是稳定
也就是说是否包含有稳定的根
以及不稳定的根
甚至根据0的分布情况
以及系数的正负情况
能够判断出系统中
大概包含有多少个不稳定的根
实际上在生活中
我们一般情况下
很少在去这样大规模地构建Routh表
不过Routh判据却给了我们一些启发
那么在这里我们介绍几个
由Routh判据所导出的一些结论
首先看 设想一下
我们的特征方程的根全部为负实数
或者实部为负的共轭复数
也就是说这是一个稳定的一个
由稳定根组成的一个特征方程
那么这个特征方程
一定可以被分解为
如下一些因式的乘积
要么它是一个实数可以写成s+α
要么是一些共轭的复根
我们可以写成s+β+jγ
乘上一个s+β-jγ
其中所有的α β γ都是大于零的
如果这样一个关系成立的话
我们可以把这个所有的相关系数都乘开
我们可以发现这两个共轭的复的一个项
可以乘开以后呢
变成一个由s方和2β 以及2βs
β平方加γ方组成的一个多项式
所有多项式系数都是正的
前边我们知道s+α中呢
α也是一个正数
如果把所有的项全部展开
一个非常正常的一个推论就是
如果系统包含的根都是稳定的
那么它对应的这个方程的系数
都必须为正
由此我们得到一个
关于系统稳定的一个必要条件
也就说特征方程的系数
全为正是系统稳定的必要条件
只要有一个系数为负或者为零
那么系统就是不稳定
我们要注意一下
这个结论是一个必要条件而不是充分条件
并不是说所有系数为正的时候
系统一定是稳定的
这在我们之前的那个例子中
已经可以看得出来
事实上如果我们只看一二三阶系统的话
我们会得到更强的结论
对于一二三阶系统
我们可以通过Routh判据呢
我们可以获得充要条件
具体而言对于一阶系统呢
这个只要是系数大于零
那么系统一定是稳定的
这个结果应该是非常非常显然的
对于一个二阶系统
同样只要二阶系统的系数
都是大于零的正数
那么这个系统一定是稳定的
对于三阶系统
除了系数都是大于零的要求之外呢
我们还有一个额外的要求
要求s2项和s1项
也就是中间两项的系数乘积
要大于两边的两项
也就是s3项和s0项
写成公式就是a2a1>a3a0
那么只要满足这样一个条件
那么系统一定是稳定的
所以说系数大于零
以及这样一个附加条件的话
就构成了三阶方程稳定的充分必要条件
在这里边我们很容易可以引申
如果一个三阶方程中间某一项等于零的话
比如说没有s平方项或者是没有s项
那么根据这样一个条件
我们可以立刻得出结论
这个系统是不稳定的
所以在很多情况下
我们对一些比较简单的情况
我们不需要去算Routh表
我们根据系数的分布
就可以判断它的稳定性
比如一旦我们发现方程中出现了负系数
我们就可以直接得出结论方程是不稳定的
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