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本节介绍一下框图的变换
那么框图引入的主要目的
是通过图形化的表示方式
使得我们对于一个复杂系统传递函数
能够进行一个有效的分析和化简
而框图变换就是实现这样一个目的的
一个重要的手段
框图变换的目的就是通过局部变换
逐步来实现整体传递函数的简化运算
框图变换的基本原则
是保证变换前后变量关系保持等效
我们接下来通过一些典型的变换的方式
来对这个问题进行介绍
第一个是串联
串联在前面的练习过程中
我们已经有了一个简单的说明
也就是当一个信号串接
经过两个对象的时候
它总的传递函数相当于
这两个模块的传递函数相乘
对应的是并联
并联由于它是通过
两个不同的通道合在一起
那么总的这个合并以后的
这个传递函数是相加的关系
大家可以记住串联相乘 并联相加
那么这两种情况是比较简单的一种情况
那么接下来我们看一些
稍微复杂一点的情况
第一个是比较点的后移
也就是我们可以把一个相加相减点
或者称为比较点移到一个对象的后边
那么要做到变换以后的图象
与前面的这个框图等效
我们就要保证
所有的项之间的关系是不变的
我们可以给出它变换以后的一个形式
我们发现这个
由于把比较点移到后边以后
我们需要在X这个输入的通道上
要增加一个G(s)
为什么要增加一个G(s)呢
其实我们可以通过讲义上可以发现
对于输入本身没有什么影响
关键看输出
C(s)在之前
相当于R(s)±X(s)再乘上G(s)
那么变换以后我们可以看到
C仍然等于这个R(s)±X(s)乘上G(s)
因为我们的运算顺序稍微做了改变
之前是先加再乘 现在先乘再加
实际上是等效的
这意味着框图变换以后
它的基本关系是不变
所以两个框图变换是等效的
接下来我们看另外一个例子
比较点前移
当我们把比较点向前通过一个框图的时候
我们需要保证
仍然保证输入和输出之间的关系不变
所以我们在这个X通道上
要增加一个1/G(s)的这样一个环节
这样我们可以重新地看一看
输出和输入之间的关系
之前C(s)=R(s)G(s)±X(s)
现在C(s)=[R(s)±X(s)/G(s)]G(s)
简单意义上可以发现
两者是完全等价的
所以这样一个变换关系是成立的
下一个是比较点的合并
所谓合并就是把两个比较点
合为一个比较点
这个等效性其实我们可以看到
是很容易理解的
也就是加减的过程
其实可以换一个顺序
可以先加X1 或者是先加X2
都是一样的
所以这个等效关系应该比较简单
下面一个情况是引出点前移
也就是所谓的分叉点
这个分叉点又称为引出点
可以移到一个对象的前边
那么同样为了保证变换前后关系不变
我们要对这个变换图做一定的调整
那么之前R经过G再分叉
那么现在要把它移到前边去
也就是要先分叉 再经过一个G
所以在每一个通路上都要有一个G
所以我们会看到这个R是分叉以后
分别经过一个G到C
从整体上看
从输入到输出的基本关系
没有发生变化
无论哪个通道C都等于R(s)G(s)
下一个是引出点后移
同样我们可以把分叉点或引出点
移到一个对象的后边去
在这里面是先分叉再经过这个对象
我们也可以先经过对象再分叉
那么为了保证输出的关系不变
我们可以看到上边这通路
我们是没有什么变化的
但下边这个通路我们需要
添进去一个1/G(s)
因为只有这样我们才能保证
下面这一个R与之前的R是相同的
因为这两个G在这个通路上是抵消的
接下来比较点交换
也就是两个比较点可以换一个位置
我们可以先R1先加上R2再加上R3
也可以加上R3再加上R2
实际上这个关系等效于这个比较点的合并
因为我们既然可以合并就可以再拆分
所以比较点可以随意的更换顺序
第九个引出点的交换
引出点本身也可以换位置
当然这个这种交换
我们可以很直观的发现是非常明显的
这里就不做解释了
同样引出点和比较点之间也可以进行交换
在这里我们R和S先进行加减
然后再进行分叉
同样我们可以先进行分叉再进行加减
那么与前面相比
为了保证所有的变量之间的关系不变
那么不得不在分叉以后
要增加一个比较点
这样才能保证所有的通路上的这个C
与原来的X和R的关系是保持不变的
那么前面介绍这些变换规律看似比较枯燥
但实际上很快大家会看到
它们的这个威力
我们再回到之前我们介绍那个例子
之前那个复杂的传递函数我们可以看到
为什么我们不能一下子
写出它的传递函数呢
就是因为这里面存在的一些交叉的情况
比如这个位置
这个结构与这样一个部分
是交叉在一起的
所以我们一眼看不出来
但是既然我们已经学到了
框图变换的一些基本的原则
我们可以通过一些非常简单的变换
可以迅速让这个局势变得明朗化
我们看看该如何做这样一个问题
事实上框图简化有多种选择
我们可以采用不同的形式
我们介绍两种方法
第一个方法我们观察一下
这个系统之所以复杂
就是因为这个引出点
这个引出点使得整个系统
处于一个交叉的状态
那么一个很自然的想法
就是把引出点移开
那么如何移开这个引出点呢
我们第一个选择是这样的
把引出点向后经过G4移到G4后边去
我们看看如果这么做会产生什么样的效果
首先为了保证系统的不变性
当我们把引出点移到G4以后
为了保证这个通路变量关系不变
我们就必须在这个通路上
要除以一个G4
因为之前这个信号是直接进入这个G6的
那么现在我们经过了G4
再要进入这个通道为了保持不变
就需要把G4这个作用抵消掉
所以我们的这个G6要除上一个G4
现在我们再重新观察这样一个系统
我们会发现这样一个系统
虽然看上去模块较多
但实际上它的结构已经很清晰了
先看第一个部分
我们会发现这是一个
非常标准的反馈控制一个子模块
这个子模块在前面介绍中我们也知道
可以立即写出它的传递函数
它的传递函数就等于主通道
比上1加上开环通道
相应的就是G3乘G4
1加上G3 G4和G5
那么接下来我们再观察到这样一个模块
仍然是一个非常典型的反馈的一个子系统
那么同样我们可以立刻得到
它的这个传递函数
那么系统得到了进一步的简化
那么最后从整体上看
这仍然是一个反馈的一个结构
我们可以直接给出最后的结论
我们可以发现通过一个简单的框图变换
我们可以逐步的把一个复杂的系统
逐步化简成我们非常熟悉的串联 并联
和反馈的一些子结构
从而可以逐步的对整个系统进行简化
那么这个过程中
我们不需要做太复杂的运算
就可以得到正确的结果
同样我们再介绍一种另外一种方法
同样是这个分叉点
是构成我们复杂性的来源
那么对这个点我们要做一些处理
之前我们是把分叉点向后移
其实我们也可以采用另外一个思路
就是把分叉点向前移
为了保证不变
就需要在这个通路上要做一些补偿
由于这个信号是之前是经过G3的
所以既然移到前边去
那么就要把损失那部分
要添到这个通道里去
那么前面就要乘上G3
那么现在我们看这样一个做法
似乎仍然不能完全满足要求
因为这里还存在一种交叉的情况
那么我们可以进一步的做变换
我们可以把这个比较点向前移
就利用到前边比较点前移的一个关系
为了使得整个关系不变
我们需要在它这个反馈通道上
要做一个补偿 也就是除上一个G2
那么在具体的这个关系
我们可以从前面的例子中
一些规律中大家可以再回忆
那么到此为止我们可以看到
整个系统已经变得比较清楚了
那么其中第一个部分
这是一个典型的负反馈的一个子结构
那么可以迅速写出它的传递函数
G2/(1+G2G3G6)
那么接下来这样一个结构仍然很清晰
我们可以直接写出它的传递函数
那么现在我们可以得到一个简化的结果
那么进而我们看到整个这个系统
也变成了一个标准的负反馈的一个子结构
那么我们可以立即写出
整个系统的一个传递函数
我们发现这个结果与之前是相同的
说明两种方法的结论是一样的
接下来我们再看一个例子
就所谓的扰动输入的情况
先看这样一个框图
在这里我们一边是举例
一边也向大家介绍一下
扰动的一些相关的一些情况
那么与输入的信号
或者说给定信号相比
扰动的作用有不同的地方
首先在这样的框图中
我们一般称为G2是一个对象本身
G1一般代表着控制器
输入信号往往是通过控制器再作用对象的
而扰动则不同
它是通过它自身的独立渠道
也就是说我们简化为G3
作用到这个对象上
如果这个扰动可以被量测的话
那么我们也可以通过一个测量的模块G4
把扰动的影响输入到输入通道
那么对于这样一个情况
我们如何来给出它的传递函数
与前面的例子相比这里有所不同
在这里面对于同样一个输出y
我们有两个不同的输入
分别为给定的输入r和扰动输入f
对于一个线性系统而言我们知道
它是满足叠加性的
所以输出信号的影响
可以分别由输入和扰动分别作用
最后再叠加
所以当我们说这个系统传递函数的时候
我往往是说输出相对于哪一个输入而言
所以当我们关心输出相对于输入的时候
我们可以认为扰动等于0
如果扰动等于0
那么整个系统变得非常简单
这就是一个只有G1 G2组成的一个
非常标准的一个反馈结构
我们可以立即写出它的传递函数
它是G1G2/(1+G1G2)
在这里再重复一遍
由于这里边是一个单位负反馈
所以它的闭环就等于
开环传递函数比上
1加开环传递函数
这个关系大家一定要牢记
那么接下来我们看一下
输出相对于扰动的传递函数
该如何计算呢
在这个时候我们可以认为输入等于0
同时我们对这个图做一个变形
我们可以得到这样一个形式
我们验证一下这个图与原图是相等价的
我们会看到这时候由于r等于0
这里面只剩下f了 也就是扰动
那么扰动的作用系统有两个通路
一个是经过G3作用到G2
我们可以看到f经过G3作用到G2
这是相同的
另外一个通路f经过G4 G1
再作用到G2 中间有一个负号
所以我们会看到f经过一个负的G4
乘上G1再作用到我们的系统中去
那么同时输出信号y经过一个负反馈
所以有一个负号乘上G1再作用到系统
所以我们得到一个y经过一个G1
一个负反馈作用到系统中去
这说明两个框图是等价的
对这样一个框图
我们可以做一些简单的框图变换
由于这两个通路是一个并联关系
所以我们可以把它的传递函数进行相加
我们得到了如下一个简单的一个形式
那么这个形式我们就可以很容易得出
输出相对扰动的一个传递函数
我们归纳这个传递函数
我们会发现一个规律
也就是两个传递函数相比
它们的分母多项式是完全一样的
这个结论并不是偶然的
系统的性能
很多性能是受制于这个分母多项式
而分母多项式的结构
是与输入是无关的
所以虽然f通过了G3 G4
来作用到系统中
但是G3 G4是在系统的外边
所以它是不影响
系统本身的这个分母多项式的
另外我们再仔细观察这样一个关系式
我们可以发现一个问题
我们是不是可以通过选择G4
因为G4是我们的一个测量的一个对象
是我们可以控制的
通过选择G4可不可以让这个输出
相对于扰动为0呢
如果实现这样一个目的的话
那这是一个非常好的结果
意味着输出将不再受扰动的影响
从具体这个例子而言
确实可以找到这样一个关系
也就是说让y在任何情况下都等于0
很显然我们可以得到这样一个结论
如果选取G4=G3/G1的话
那么y将不受f的影响
我们似乎得到了一个非常漂亮的结果
但是这个结果只是具有理论上的意义
原因如下
第一个很多情况下我们是无法得到G3的
因为扰动对于系统的影响
往往是非常复杂的
通过一些复杂的方式
或者是通道来影响系统
所以我们很多时候是写不出
这个G3的表达式的 这是其一
其二就算是我们有G3
那么很可能G3/G1这个关系
在物理上有可能是一个不可实现的环节
比如是一个微分环节
或者是一些纯微分环节
所以这个关系只是一个理论上的意义
接下来我们再看一个例子
同时引入一个新的概念叫顺馈
所谓顺馈就是输入信号
它不是以一条通路
来进入到整个系统中
它除了一个正常给定之外
它还分出一条通道
通过G2直接作用到系统的内部
我们称这样一个方式叫顺馈
对于这样一个系统
我们同样可以进行一个框图变换
那么这个框图
可以很容易变成下面这样一个图
大家可以再验证一下
看看是不是两个图是成立的
到了这个图以后
我们可以非常容易地得出
整个系统的表达式
如果观察这个式子
我们仍然可以发现一个特点
它的分母多项式中是不包含G2的
因为这个G2是通过它单独的一个通路
作用到系统中去
所以它的系统本身是取决于
系统本身的一个性能
所以这里边是不包含G2的
对于顺馈系统我们还可以采用
另外一种描述的方式
我们可以认为这个输入
是两个输入
它可以等价一个双输入系统
那么在以这种方式
来看这个系统的时候
在研究每一个输入的时候
我们可以认为另外一个系统等于0
所以这样一来
前面这个顺馈的例子
可以等价为这样两个系统的加和
在第一个系统中
由于没有了顺馈的通路
所以它就是一个
非常常见的一个标准的一个结构
那么加入顺馈以后
我们可以把之前的输入通道置为0
我们可以得到这样一个表达式
大家也可以回去
去验证一下是不是这样的
那这里有两道补充题
大家可以回去做一下练习
看一看能否通过我们之前所讲过的
一些框图变换的一些规律
能够通过纸和笔
就可以算出系统的传递函数
-绪论
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-z-变换--作业
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-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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