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本节我们介绍自动控制理论中的

非常重要的一个定理

Nyquist稳定判据

首先让我们回忆一下

我们从幅频函数领域中

学过的幅角定理

假设我们有一个幅频函数W(s)

它在某一个封闭的区间内

有P个极点和Z个零点

那么当S向量沿封闭曲线

顺钟向旋转一圈的时候

所有的向量S-Zj和S-pj

也都顺时钟旋转一周

那么这个W(s)

顺时钟向旋转圈数N等于Z-P

接下来我们稍微

解释一下这个幅角定理

也就是说假设我们这个W(s)

本身它是个幅频函数

那么它也相当于

对应的是一个矢量

这个幅频函数

在某一个封闭的区间内

一共包含了P个极点和Z个零点

也就这个W函数

它可以分解成一个极点和零点的

一个因式分解的形式

那么总共有Z个零点和P个极点

那么当我们这个S

沿这个封闭曲线顺钟向

旋转一圈的时候我们可以看到

每一个S-Z或者S-P

可以写成这样一个矢量

在这里我们只举一个例子

我们只画了一个节点P

那么S-Pi就是从这个点

指向S这个矢量

我们可以很容易发现

当S转一周的时候

这个矢量它也顺钟向旋转一周

如果我们放到整个W函数里面

我们就会发现

由于我们有Z个

这样S-zj的这样一个矢量

每一个矢量都会顺时钟旋转一周

那么这个加一起

就一共顺钟向旋转了Z周

也或者Z圈

同时S-Pi这个矢量

也顺钟向旋转了一圈

那么一共有P个

所以总共是旋转了P圈

但由于它是在分母上

所以需要减一下

也就相当于旋转方向的相反

那么总的这个W(s)

这个矢量的旋转圈数就等于Z-P

在这里我需要强调一下

这个旋转的圈数并不是指的矢量

一共旋转过的所经历过的圈数

而指的是包括正向和反向

也就是顺向和逆向的总和

有效的总和

比如一个矢量顺钟向旋转一圈

又逆钟向旋转一圈

那它的总和是旋转0圈

这一点大家一定要注意

接下来我们就利用这个幅角定理

来解决这样一个问题

什么问题

假设我们已知

我们的开环传递函数

它可以写成一个多项式形式

其中有分子多项式是N

分母多项式是P

分别可以展成

一个关于零点和极点的

一个因式分解的形式

我们的问题是什么

我们希望通过开环传递函数

来判断闭环传递函数是不是稳定

我们闭环指的是单位负反馈闭环

我们知道一个单位负反馈闭环

它可以写成一个Q比上1加Q形式

也就闭环传递函数的分母多项式

恰恰等于P+N

所谓的闭环是不是稳定

就看这个闭环传递函数的

分母多项式P+N

是不是包含不稳定的极点

也就是说是不是

包含在负平面右半平面的那个点

为达到这样目的

我们构造一个函数

这个函数W(s)等于1+Q(s)

如果我们展开它会发现

刚好等于P+N比上P

也就对于我们

这个构造的这个函数而言

它的分子多项式

刚好对应了闭环的分母多项式

而它的分母多项式

对应着开环的分母多项式

由此我们回想起幅角定理

我们可以想到我们是不是

可以做一个特殊的封闭曲线

也就是做一个封闭曲线D

包围整个右半平面

因为我们关心的

就是右半平面到底有几个极点

我们知道我们一般情况下

是对开环传递函数是比较了解的

所以我们已知

有P个开环极点在其中

那么我们关心的就是

有多少个闭环极点

在我们的右半平面呢

或者在我们所谓的一个D形围线呢

这就是我的问题

接下来我们看看

如何做到这个判断

按照幅角定理

当复变量S沿着

D形围线旋转一圈的话

就意味着我们所构造的

这个1+Q(s)这个矢量

它顺钟向旋转的圈数

等于它对应的

分子多项式的极点的数量

减去它零点的数量

减去它分母多项式极点的数量

准确的说对于我们

所构造的这个函数而言

就对应着闭环

在右半平面的极点数

减去开环在右半平面极点数P

这就意味着

我们的P是已经知道的

如果我们能够通过作图法

来获得1+Q(s)顺钟向旋转圈数

那我们不就可以求得

闭环在右半平面的极点数吗

这就是Nyquist基本的一个思想

接着我们看一看

如果当S沿D平面旋转的时候

大概这个矢量是如何变化的

我们把这个旋转过程

我们分两部分

第一个部分让S

沿这个D的这个大的半圆进行旋转

所谓在D的大半圆旋转

就意味着这个S的这个幅值是无穷大

角度从正二分之π到负二分之π

由于它的幅值是无穷大

如果我们把这样的一个S

代入到我们的对象中去

我们很容易发现

它的Q(s)实际上是趋近于0的

因为一般情况下

一个系统的分母多项式

要大于分子多项式

而它的这个S又取很大的一个值

所以Q(s)基本是为0

也就是说

当S沿无穷大半圆旋转的时候呢

Q(s)实际上是在圆点处蠕动

这样意味着1+Q(s)

其实基本上也没什么变化

所以我们就可以

把这部分忽略不计了

我们主要就看这个S

在虚轴上的一个变化过程

那么所谓从虚轴上变化

就是从负无穷到正无穷

也就是说我们要需要看

当ω从负无穷

在纵向变化变化的时候

它的1+Q的变化

而实际上S虚轴上的变化

相当于ω从负无穷到正无穷

S等于jω

而对应的1+Q(jω)

旋转的这个圈数

这其中我们注意到

当ω从负无穷到0和相比于

从ω从0到正无穷

它的这个Q(jω)

实际上是共轭的

这是来自我们的幅频函数的结论

由于共轭也就意味着

这两部分的这个Q(jω)

实际上关于实轴对称

到这里我们似乎回忆起了

我们之前学过的东西

一个频率从0到正无穷

它对应着Q(jω)

不恰恰是开环的频率特性吗

这意味着如果我们能够

画出我们的开环频率特性

我们实际上就可以求得1+Q(s)

准确说那是1+Q(jω)的旋转圈数

我们再看一眼什么是1+Q(jω)

这里面我们知道

这个ω从负无穷到正无穷

就意味着我们要画出

一个Q(jω)的一个极坐标图

当然我们可以先画ω从0到正无穷

根据共轭再画出ω从负无穷到0的情况

假设我们已经

画出这样一个极坐标图

那么所谓的1+Q(jω)

就是从-1指向极坐标图上

某一个点的矢量

所谓1+Q(jω)旋转的圈数

我们就看当ω从负无穷

到正无穷变化时

这个矢量的总共的旋转的圈数

那么假设我们通过作图法

获得了1+Q(jω)

顺钟向旋转圈数为N

所以如果闭环的

右半平面的极点数为Z

而开环在右半平面极点为P

按照幅角的定理

应该满足这样一个关联式

N=Z-P

如果我们希望系统闭环是稳定的

也就是在右半平面应该有0个极点

而我们的开环

在右半平面已经有P个极点

所以我们得到这样一个结论

系统稳定的充要条件

就是1+Q(jω)

应顺钟向转-P圈

或者说沿着逆时钟转P圈

我们把这个分析过程简化一下

就得到了著名的

Nyquist稳定判据

设系统开环传递函数Q(s)

有P个极点在右半s平面

则系统闭环稳定的

充分必要条件是

当ω从负无穷变到正无穷时

1+Q(jω)这个矢量

应逆钟向旋转P圈

自动控制理论(1)课程列表:

第一周:绪论及基础知识

-绪论

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-拉普拉斯变换定义及性质(一)

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-拉普拉斯变换定义及性质(一)--作业

-拉普拉斯变换定义及性质(二)

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-拉普拉斯变换定义及性质(二)--作业

-卷积定义、定理及性质

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-卷积定义、定理及性质--作业

-拉普拉斯逆变换及应用(一):拉普拉斯逆变换定义

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-拉普拉斯逆变换及应用(一):拉普拉斯逆变换定义--作业

-拉普拉斯逆变换及应用(二):拉普拉斯逆变换应用

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-拉普拉斯逆变换及应用(二):拉普拉斯逆变换应用--作业

第二周:控制系统的概念及数学模型

-控制的基本概念

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-控制的基本概念--作业

-控制系统的微分方程描述(一)

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-控制系统的微分方程描述(一)--作业

-控制系统的微分方程描述(二)

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-控制系统的微分方程描述(二)--作业

-控制系统的传递函数描述(一):Laplace变换知识回顾

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-控制系统的传递函数描述(一):Laplace变换知识回顾--作业

-控制系统的传递函数描述(二):控制系统的传递函数描述

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-控制系统的传递函数描述(二):控制系统的传递函数描述--作业

-框图及其变换(一):传递函数框图定义及连接方式

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-框图及其变换(一):传递函数框图定义及连接方式--作业

-框图及其变换(二):传递函数框图变换

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-第二周:控制系统的概念及数学模型--框图及其变换(二):传递函数框图变换

-信号流图

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-信号流图--作业

-控制系统的基本单元

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-控制系统的基本单元--作业

-非线性单元的线性化

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-第二周:控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化

第三周:线性系统时域分析(一)

-稳定性

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-第三周:线性系统时域分析(一)--稳定性

-稳定的Liapunov定义

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-稳定的Liapunov定义--作业

-稳定性的代数判据(一):Routh判据

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-稳定性的代数判据(一):Routh判据--作业

-稳定性的代数判据(二):系统稳定的必要条件

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-稳定性的代数判据(二):系统稳定的必要条件--作业

-参数稳定性,参数稳定域

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-参数稳定性,参数稳定域--作业

第四周:线性系统时域分析(二)

-静态误差(一):误差和静态误差定义

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-第四周:线性系统时域分析(二)--静态误差(一):误差和静态误差定义

-静态误差(二):静态误差与输入

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-静态误差(三):静态误差的计算

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-静态误差(三):静态误差的计算--作业

-静态误差(四):系统类型与静态误差的关系

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-静态误差(四):系统类型与静态误差的关系--作业

-静态误差(五):静态误差的物理和理论解释

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-静态误差(六):扰动引起的静态误差

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-静态误差(六):扰动引起的静态误差--作业

-动态性能指标

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-动态性能指标--作业

-高阶系统动态性能的二阶近似

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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业

-控制系统的校正

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-控制系统的校正--作业

第五周:频率响应法(一)

-频率特性引言

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-频率特性引言--作业

-Fourier变换

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-第五周:频率响应法(一)--Fourier变换

-频率特性函数

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-频率特性函数--作业

-频率特性的图像

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-频率特性的图像--作业

-基本环节的频率特性

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-基本环节的频率特性--作业

-复杂频率特性的绘制(一)

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-复杂频率特性的绘制(一)--作业

-复杂频率特性的绘制(二)

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-复杂频率特性的绘制(二)--作业

-复杂频率特性的绘制(三)

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-第五周:频率响应法(一)--复杂频率特性的绘制(三)

第六周:频率响应法(二)

-闭环频率特性

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-闭环频率特性--作业

-Nyquist稳定判据(一)

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-Nyquist稳定判据(一)--作业

-Nyquist稳定判据(二)

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-第六周:频率响应法(二)--Nyquist稳定判据(二)

-Nyquist稳定判据(三)

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-第六周:频率响应法(二)--Nyquist稳定判据(三)

-相对稳定性(稳定裕量)

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-相对稳定性(稳定裕量)--作业

-从开环频率特性研究闭环系统性能

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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业

-基于频率特性的控制器设计思路

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第七周:根轨迹方法

-根轨迹方法简介

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-根轨迹方法简介--作业

-根轨迹条件

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-根轨迹条件--作业

-根轨迹性质

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-根轨迹性质--作业

-根轨迹的图像

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-根轨迹的图像--作业

-条件稳定系统

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-条件稳定系统--作业

-零极点对根轨迹的影响

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-零极点对根轨迹的影响--作业

-参数根轨迹和根轨迹族

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-第七周:根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族

-延时系统的根轨迹

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-延时系统的根轨迹--作业

-补根轨迹与全根轨迹

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-补根轨迹与全根轨迹--作业

第八周 系统校正(一)

-校正问题及其实现方式

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-校正问题及其实现方式--作业

-校正装置的设计方法

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-校正装置的设计方法--作业

-超前校正装置的特性

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-超前校正装置的特性--作业

-基于根轨迹法设计超前校正装置

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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业

-基于Bode图设计超前校正装置

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-基于Bode图设计超前校正装置--作业

第九周 系统校正(二)

-滞后校正装置的特性

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-滞后校正装置的特性--作业

-基于根轨迹法设计滞后校正装置

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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业

-基于Bode 图设计滞后校正装置

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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业

-超前-滞后校正装置的特性

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-超前-滞后校正装置的特性--作业

-基于根轨迹法设计超前-滞后校正

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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业

-基于Bode图设计超前-滞后校正

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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业

-开环系统的期望频率特性

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-开环系统的期望频率特性--作业

-反馈校正

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-第九周 系统校正(二)--反馈校正

-直线倒立摆控制系统实验

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第十周 非线性系统分析(一)

-非线性系统概述

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-第十周 非线性系统分析(一)--非线性系统概述

-非线性系统的典型动力学特征

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-非线性系统的典型动力学特征--作业

-描述函数法定义

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-描述函数法定义--作业

-描述函数法求取

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-描述函数法求取--作业

-基于描述函数的稳定性分析

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-第十周 非线性系统分析(一)--基于描述函数的稳定性分析

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-第十周 非线性系统分析(一)--非线性系统自持振荡的分析

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第十一周 非线性系统分析(二)

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-非线性系统的相平面分析

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-第十一周 非线性系统分析(二)--极限环及其产生条件

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--采样系统

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-第十二周:采样系统--脉冲传递函数(二):求脉冲传递函数的一般方法

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