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本节我们介绍自动控制理论中的
非常重要的一个定理
Nyquist稳定判据
首先让我们回忆一下
我们从幅频函数领域中
学过的幅角定理
假设我们有一个幅频函数W(s)
它在某一个封闭的区间内
有P个极点和Z个零点
那么当S向量沿封闭曲线
顺钟向旋转一圈的时候
所有的向量S-Zj和S-pj
也都顺时钟旋转一周
那么这个W(s)
顺时钟向旋转圈数N等于Z-P
接下来我们稍微
解释一下这个幅角定理
也就是说假设我们这个W(s)
本身它是个幅频函数
那么它也相当于
对应的是一个矢量
这个幅频函数
在某一个封闭的区间内
一共包含了P个极点和Z个零点
也就这个W函数
它可以分解成一个极点和零点的
一个因式分解的形式
那么总共有Z个零点和P个极点
那么当我们这个S
沿这个封闭曲线顺钟向
旋转一圈的时候我们可以看到
每一个S-Z或者S-P
可以写成这样一个矢量
在这里我们只举一个例子
我们只画了一个节点P
那么S-Pi就是从这个点
指向S这个矢量
我们可以很容易发现
当S转一周的时候
这个矢量它也顺钟向旋转一周
如果我们放到整个W函数里面
我们就会发现
由于我们有Z个
这样S-zj的这样一个矢量
每一个矢量都会顺时钟旋转一周
那么这个加一起
就一共顺钟向旋转了Z周
也或者Z圈
同时S-Pi这个矢量
也顺钟向旋转了一圈
那么一共有P个
所以总共是旋转了P圈
但由于它是在分母上
所以需要减一下
也就相当于旋转方向的相反
那么总的这个W(s)
这个矢量的旋转圈数就等于Z-P
在这里我需要强调一下
这个旋转的圈数并不是指的矢量
一共旋转过的所经历过的圈数
而指的是包括正向和反向
也就是顺向和逆向的总和
有效的总和
比如一个矢量顺钟向旋转一圈
又逆钟向旋转一圈
那它的总和是旋转0圈
这一点大家一定要注意
接下来我们就利用这个幅角定理
来解决这样一个问题
什么问题
假设我们已知
我们的开环传递函数
它可以写成一个多项式形式
其中有分子多项式是N
分母多项式是P
分别可以展成
一个关于零点和极点的
一个因式分解的形式
我们的问题是什么
我们希望通过开环传递函数
来判断闭环传递函数是不是稳定
我们闭环指的是单位负反馈闭环
我们知道一个单位负反馈闭环
它可以写成一个Q比上1加Q形式
也就闭环传递函数的分母多项式
恰恰等于P+N
所谓的闭环是不是稳定
就看这个闭环传递函数的
分母多项式P+N
是不是包含不稳定的极点
也就是说是不是
包含在负平面右半平面的那个点
为达到这样目的
我们构造一个函数
这个函数W(s)等于1+Q(s)
如果我们展开它会发现
刚好等于P+N比上P
也就对于我们
这个构造的这个函数而言
它的分子多项式
刚好对应了闭环的分母多项式
而它的分母多项式
对应着开环的分母多项式
由此我们回想起幅角定理
我们可以想到我们是不是
可以做一个特殊的封闭曲线
也就是做一个封闭曲线D
包围整个右半平面
因为我们关心的
就是右半平面到底有几个极点
我们知道我们一般情况下
是对开环传递函数是比较了解的
所以我们已知
有P个开环极点在其中
那么我们关心的就是
有多少个闭环极点
在我们的右半平面呢
或者在我们所谓的一个D形围线呢
这就是我的问题
接下来我们看看
如何做到这个判断
按照幅角定理
当复变量S沿着
D形围线旋转一圈的话
就意味着我们所构造的
这个1+Q(s)这个矢量
它顺钟向旋转的圈数
等于它对应的
分子多项式的极点的数量
减去它零点的数量
减去它分母多项式极点的数量
准确的说对于我们
所构造的这个函数而言
就对应着闭环
在右半平面的极点数
减去开环在右半平面极点数P
这就意味着
我们的P是已经知道的
如果我们能够通过作图法
来获得1+Q(s)顺钟向旋转圈数
那我们不就可以求得
闭环在右半平面的极点数吗
这就是Nyquist基本的一个思想
接着我们看一看
如果当S沿D平面旋转的时候
大概这个矢量是如何变化的
我们把这个旋转过程
我们分两部分
第一个部分让S
沿这个D的这个大的半圆进行旋转
所谓在D的大半圆旋转
就意味着这个S的这个幅值是无穷大
角度从正二分之π到负二分之π
由于它的幅值是无穷大
如果我们把这样的一个S
代入到我们的对象中去
我们很容易发现
它的Q(s)实际上是趋近于0的
因为一般情况下
一个系统的分母多项式
要大于分子多项式
而它的这个S又取很大的一个值
所以Q(s)基本是为0
也就是说
当S沿无穷大半圆旋转的时候呢
Q(s)实际上是在圆点处蠕动
这样意味着1+Q(s)
其实基本上也没什么变化
所以我们就可以
把这部分忽略不计了
我们主要就看这个S
在虚轴上的一个变化过程
那么所谓从虚轴上变化
就是从负无穷到正无穷
也就是说我们要需要看
当ω从负无穷
在纵向变化变化的时候
它的1+Q的变化
而实际上S虚轴上的变化
相当于ω从负无穷到正无穷
S等于jω
而对应的1+Q(jω)
旋转的这个圈数
这其中我们注意到
当ω从负无穷到0和相比于
从ω从0到正无穷
它的这个Q(jω)
实际上是共轭的
这是来自我们的幅频函数的结论
由于共轭也就意味着
这两部分的这个Q(jω)
实际上关于实轴对称
到这里我们似乎回忆起了
我们之前学过的东西
一个频率从0到正无穷
它对应着Q(jω)
不恰恰是开环的频率特性吗
这意味着如果我们能够
画出我们的开环频率特性
我们实际上就可以求得1+Q(s)
准确说那是1+Q(jω)的旋转圈数
我们再看一眼什么是1+Q(jω)
这里面我们知道
这个ω从负无穷到正无穷
就意味着我们要画出
一个Q(jω)的一个极坐标图
当然我们可以先画ω从0到正无穷
根据共轭再画出ω从负无穷到0的情况
假设我们已经
画出这样一个极坐标图
那么所谓的1+Q(jω)
就是从-1指向极坐标图上
某一个点的矢量
所谓1+Q(jω)旋转的圈数
我们就看当ω从负无穷
到正无穷变化时
这个矢量的总共的旋转的圈数
那么假设我们通过作图法
获得了1+Q(jω)
顺钟向旋转圈数为N
所以如果闭环的
右半平面的极点数为Z
而开环在右半平面极点为P
按照幅角的定理
应该满足这样一个关联式
N=Z-P
如果我们希望系统闭环是稳定的
也就是在右半平面应该有0个极点
而我们的开环
在右半平面已经有P个极点
所以我们得到这样一个结论
系统稳定的充要条件
就是1+Q(jω)
应顺钟向转-P圈
或者说沿着逆时钟转P圈
我们把这个分析过程简化一下
就得到了著名的
Nyquist稳定判据
设系统开环传递函数Q(s)
有P个极点在右半s平面
则系统闭环稳定的
充分必要条件是
当ω从负无穷变到正无穷时
1+Q(jω)这个矢量
应逆钟向旋转P圈
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-拉普拉斯变换定义及性质(二)
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