当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第七周：根轨迹方法 > 根轨迹方法简介 > Video
同学们好
我们现在开始学习根轨迹方法
前面我们学过自动控制原理
最基本也是最核心的原理
就是反馈
通常我们假设我们对控制对象
已经有了一定了解
也就是我们知道
我们控制对象的传递函数是什么
也就是G(S)
那么现在我们希望
通过闭环的方式
通过来调整 通过测量系统
我们控制对象的误差
来实时的调整
我们系统的这个输入
从而达到改善系统性能的目标
那在设计这个系统的时候
通常我们会面临两个问题
一个是我们要引入新的控制装置
来改善我们的性能
我们要选择什么样的结构
是选择这个PI 还是选择PD
第二个就是我们选择了
控制器的结构以后
我们要确定这个
控制器结构里面的
控制器的这个参数是什么
这个好像我们在夏天里面
选择这个降温设备的时候
首先我们要决定是买电扇
还是买空调
那比如说我们在决定了
买空调以后
那我们要决定要买多大功率的
要买多大价钱的
才能满足我们的要求
所以在我们控制系统设计的时候
我们也需要面临这样两个问题
那我们在这章学习的时候
我们首先要解决这个分析问题
也就是说我们在选定了
控制器的结构以后呢
我们怎么样来确定这个
控制器的参数
或者说我们在给定的参数下
来判断这个系统的性能
是不是能够满足我们的要求
这就是我们分析的问题
所以我们要有一个
好的分析的方法
那么这个好的控制系统
分析的方法
你要满足具备如下的特点
首先这个系统这个分析方法
应该能够准确的
反映实际的系统性能
那如果它不准确
那么这个方法肯定是没有用处的
第二个准确
肯定是我们的基本要求
但是我们这个
用这个分析方法的时候
并不一定要完全的准确
因为在工厂来讲的话
我们控制系统的设计
肯定是要留一定裕度的
也就是说我们这个设计
如果在裕度范围内
稍微有点误差也无所谓
所以说我们在这个
保证一定准确性的前面下
我们还要使得我们的方法
比较方便使用
然后第三个我们这个方法
还应该能够指出
闭环极点是否能够
位于给定的区域
比如说我们知道
就是我们根据这个
假如说我们的系统
有一对主导极点
我们知道当这个主导极点
它的阻尼系数
大概在根号2附近的时候
这个系统的超调性能是最好的
然后我们对这个系统的
这个时间响应的快慢
如果有要求的话
我们必须要要求这个主导极点
一定要离我们的虚轴
要有一定的距离
也就是说通常来讲
我们会希望这对主导极点
要位于我们这个图形里面
这个红色的区域里面
那么这还有这个好的系统的分析方法
要能够很方便的预测
闭环系统的性能是什么
也就是说我们知道
开环系统以后
我们这个系统一旦闭环以后
我们用这个方法很快 很方便
而且足够准确的
预测闭环的性能是怎么
然后最后一个
就是当我们这个控制器里面
还有一些参数没有决定的时候
我们应该能够通过
我们的分析方法能够指出
这个参数在变化的时候
系统性能是怎么改变的
或者说我们如果系统性能
不能够满足我们的要求
我们怎么样去变化我们的参数
来改善我们系统的性能
好 那我们来看一下
我们前面学过的几种分析方法
它们之间的这个优劣
首先我们这个知道
我们这个在分析这个系统的时候
最直接的方法就是解微分方程
那么这个解微分方程的这个方法
概念很直观
就是说如果我们能够
把这个微分方程解出来
把它解的形式直接写出来
那我们可以看到
它的准确的系统响应曲线
那从这个响应曲线上
我们就直接能够看到
它的动静态性能
那这个概念很直观
而且这个方法也非常准确
但是它的问题是
就是如果我们这个系统
阶次比较高的时候
它的计算非常复杂
或者说甚至我们没有办法去计算
还有一个问题
就是说即使我这计算复杂
我们可以用计算机来解决
仿真来解决
但是如果我们的系统里面
有未知的参数
那么计算机有时候
它的功能也是有限的
因为我们的参数的选择
可能有无穷多种
我们总不能让计算机
把每个参数所对应的系统
都仿真出来
所以这个是我们这个直接方法
解微分方程方法
所面临的一些缺点
那么我们还有两种方法
是间接方法
那么第一种间接方法
就是我们学过的劳斯判据
也就是我们的代数稳定判据
那这个判据
对于我们分析系统的
绝对稳定性是非常方便
非常有用的
但是它的缺点
是我们要分析这个相对稳定性
也就是说我们这个系统
如果是稳定的
但是它离不稳定的边缘
到底有多远
这些方法很难给我们一个
量化的一个指标
或者这个衡量
而且也很难
它只能告诉我们这个系统
是稳定还是不稳定的
它没有办法告诉我们
这个闭环极点在这个
复平面上的分布到底是什么样的
也就是说它是不是
能够位于我们给定的区域
所以这个方法
很难给我们的参数选择
提供一些有用的线索
那我们还学过一种间接方法
就是我们的频率响应法
那频率响应法
我们知道它是通过
奈奎斯特 开环传递函数的
这个频率响应曲线
来预测闭环系统的稳定性
那这个方法可以通过相角裕量
和幅度裕量
来衡量系统的这个相对稳定性
那么通过这种方法
可以通过调整我们开环频率响应
提高我们的闭环的性能
那这是频率响应法的
一个最大的优点
但是它的一个缺点也是
就是说它没有办法满足
它只能够告诉
我们系统的稳定性是什么
那么相对稳定性是什么
但是从我们的开环的这个
奈奎斯特曲线上面
我们没有办法看出来
闭环极点到底在什么位置
所以这是它的缺点
那么我们下面要介绍的
根轨迹方法其实就能够满足
我们在判断闭环极点
在复平面的分布的这个要求
那么什么是根轨迹
那么根轨迹的定义就是说
如果我们在这个系统里面
有一个参数是可以变化的
比如说这个参数
就是我们的开环系统增益
我可以去调节这个系统增益
来改变系统性能
那么在改变系统增益的时候
我们的闭环极点
也会随着我们增益的变化而变化
这样这个闭环极点
就在我们复平面上
会形成一些曲线
这个曲线就叫做我们的根轨迹
我们来看一个简单的例子
比如说我们现在有这样一个二级系统
它的开环传递函数
是K除以s 除以s加1
这是二级系统
为了画出我们根轨迹
首先我们可以先把
闭环函数写出来
就是GCL(S)等于G(S)除以1加上G(S)
我们整理一下
就可以得到这个多项式
那么这个多项式
它的分母多项式
实际上就对应我们这个
闭环的系统特征方程
因为我们这个系统
我们这是个简单的例子
这个闭环特征方程
是一个二次方程很容易取出来
我可以把这个闭环极点的这个
这个解析表达式写出来
由于我们这个系数里面包含了K
所谓这个闭环极点
它写出来一定是一个K的函数
所以我们很容易可以看到
那当我们的K变化的时候
这个闭环极点一定也是在变化的
而且我们可以看到
当K比较小的时候
我们这个根号里面它是个实数
所以这时候这个极点是两个实根
但是当K增加到一定程度以后
使得我们这根号里面
变成负数的时候
这时候我们这两个闭环极点
就变成了一对共轭的负根
所以说我们在画这个根轨迹的时候
我们就可以画出
这样的一个根轨迹的曲线
我们可以看到
这个当K比较小的时候
K等于0的时候
那么它的一个极点在原点
一个极点在负1
当K增加的时候
这两个极点都还是实数
但是他们都向着这个
这个四分之一这个地方靠近
当K等于四分之一的时候
大家可以看这个
当K等于四分之一的时候
这个根号里面变成0
这变成了一对重根
所以这两个极点
闭环极点就在这个地方会合
然后K继续增加的时候
就变成了一对共轭负根
一个根向上 一个根向下
那么这组
就是我们随着K变化的这组
这个闭环极点变化的曲线
实际上就是我们的这个根轨迹
那这个根轨迹上
从这个根轨迹上
我们可以对系统性能
做出什么样的判断
首先大家可以看到
我们知道在这个K比较小的时候
那么这个闭环极点是一对实根
我们知道二阶系统
当两个极点是实根的时候
这对应我们的系统
是一个过阻尼的系统
那么过阻尼系统我们知道的
这个系统响应会比较慢
虽然没有超调
但是响应的会比较慢
当我们这个极点
变成一对共轭负根的时候
我们知道这个系统
就变成了一个欠阻尼的系统
欠阻尼的系统
那么欠阻尼的系统我们知道
当我们阻尼比较合适的时候
我们虽然这个系统
会有一点超调
但是它的响应速度会加快
响应速度会加快
但是我们的阻尼不能够太小
不能够太小
也就是说我们这个阻尼
大概在这个地方的时候
会比较合适
那如果太小的话
那它响应会比较慢
那如果太大的话
这个振荡就会比较剧烈
超调就会比较严重
所以这从我们这个根轨迹上
我们就可以读出下面的
这样一些这个系统的这个特征
那么我们这个画根轨迹的方法
我们这个后面我们会具体的分析
怎么去画根轨迹
那么除了用这种方法
我们当这个系统比较复杂的时候
我们还可以用计算机软件
帮助我们来画根轨迹
比如说我们现在有一个
开环的传递函数是这个样子
那么我们可以用如下的
MATLAB命令
首先我们可以
把这个开环传递函数的这个
零极点的这个分子的特征多项式
和分母特征多项式写出来以后
用这个多项式来定义
这个传递函数
也就是分子的多项式的系数
和分母的多项式的系数
那用这rlocus
这就是根轨迹的命令
有这个命令就可以画出
我们的根轨迹
也就是说我们对这个系统
根轨迹就是这个样子的
大家同样也可以看到
就是说我们这个根轨迹
是从这里面开始
从这几个点开始
当K增加的时候
一个极点是往这走
一个极点往这走
一个极点是往这个方向走
另外一个极点是往这个方向走
那么这四个极点
都会往无穷远走
而且大家可以看到
一开始的时候
当K不是太大的时候
所有的极点都在
复平面的左半平面
但是当K增加到一定程度
有两个极点
就会跑到这个复平面的
这个右半平面
这时候系统变成一个
不稳定的系统
所以说我们从这个根轨迹上
可以读出我们系统的
很多的有用的信息
有用的信息
那么下面是一些
非常典型的根轨迹的模式
后面我们会学习
怎么样去根据这个
开环传递函数的特征
去分析我们的根轨迹
大概会有什么样模式
大家可以看到我们的根轨迹
通常是从一些特定的起点和终点
有一些起点和终点
然后它通常会有若干分支
那这些分支可能是
终结于某一个有限的点
比如说这个
也可能是它会趋于无穷远
比如说像这些曲线会趋于无穷远
而且有些时候这些分支
有些时候它是互相不交叉的
但也有些时候这些分支
可能会出现交叉和会合
那这都是我们在画根轨迹的时候
可能会碰到的情况
后面我们会做出更详细的分析
好 我们简单的
了解了根轨迹以后
我们可以发现
那么根轨迹可以很方便的
去帮助我们去判断
闭环系统的性能
也就是说我们从这个闭环极点
在复平面上的分布
我们很容易可以判断
这个系统到底有没有可能
产生不稳定的情况
如果不稳定的情况
我们可以看到
当我们这个开环增益系数
在什么范围内这个系统是稳定的
或者是不稳定的
所以从这个特征
我们可以很容易去判断
这个系统稳定的范围
此外我们还可以根据
这个极点的分布
或者说根据这个主导极点
在这个复平面上的位置
去间接的去推测
我们这个系统的这个动态性能
它的振荡是否剧烈
那么它的这个响应是否快
或者说我们从根轨迹上
还可以判断
就是说如果我们在当前的
这个开环增益
这个参数设置下
如果系统性能不理想
那它可以告诉我们
我们K往什么方向去变化的时候
这个性能有可能得到改善
所以说根轨迹
可以告诉我们这个系统
闭环系统很多信息
帮助我们去预测
或者分析闭环系统性能
那么通过我们前面例子
我们可以看到
那么如果这系统是个简单的系统
比如说二阶系统
我们可以把这个
闭环系统的极点
去把它解出来
解成这个开环增益系数的函数
从而可以把它的根轨迹解析的
或者准确的画出来
我们也可以去用计算机的
辅助的方法
帮助我们去画根轨迹
但是如果我们没有计算机
而我们的系统的阶次
又很高的时候
因为我们知道这时候
我们需要解一个
高次的多项式方程
这个方程一般来讲是没有解析解的
那这是不是我们就是说
我们根本就没有办法画出来呢
实际上不是
后面我们会学习
利用我们的根轨迹
它所满足的特定的
相角和幅值条件
我们可以去很方便的
很快的去分析
根轨迹它所满足的一些性质
那么根据性质
我们可以把这个根轨迹的草图
比较准确的
虽然不是完全准确
但是我们可以把它基本的形状
可以勾勒出来
可以画出这个草图
那根据这个草图
我们就可以去判断系统的性能
去分析
甚至去设计我们的控制系统
那么这个根轨迹的
这个基本的思想
实际上是在我们是它的发明
是Evans
它是在1948年和1950年的
两篇论文里面
他所有的这些思想
在这两篇文章里就已经奠定
那么其中第一篇文章
是用来是告诉我们
怎么样去分析 怎么样去画出根轨迹
那第二篇文章
告诉我们怎么样利用根轨迹的性质
去设计一个控制系统
这也是我们后面
在学校正的时候
要用到的一些工具
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
