当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十周 非线性系统分析（一） > 非线性系统的典型动力学特征 > Video
同学们好
现在我们来研究一下
非线性系统的典型动力学特征
前面我们通过学习了解了一些
典型的非线性环节
它的输入和输出的关系
以及它的表达形式
现在我们来研究一下如果一个系统中
包含这样一些非线性环节
那么它的输入输出特性会有一些
什么跟线性系统不一样的地方
以及它的动力学演化方面
和线性系统有什么不一样
我们来看一下两类的典型的非线性现象
这两类典型的非线性现象
实际上是和我们的前面的
对线性系统学习是有关系的
它们分别从两个不同的角度
来比较线性系统和非线性系统的不同
第一个是从频率的角度来看
我们知道对于一个线性系统
如果给它一个频率为ω的输入
当我们去看这个系统的输出的时候
如果这个系统是稳定的
当这个系统达到稳定以后
系统的输出里面肯定只包含
这个频率的分量
而不包含其他频率的分量
而且这个频率的分量的幅值
是和系统的输入的幅值是成正比
这个比例是和系统的传递函数有关系
当然对于非线性系统就不一样了
对非线性系统而言
如果输入的信号是一个频率为ω的信号
那么输出的信号
如果系统是稳定的
当系统输出达到稳定以后
这个输出的频率分量里面
就不仅仅只包含这个频率分量
它可能还会包含其他频率的分量
而且对系统的输出里面的
各个频率分量的幅值
它和幅值的依赖关系
它不再是一个线性关系
而是一个非线性关系
所以振荡的频率和幅值
对于输入信号的幅值
实际上都有一个这样依赖的关系
这种依赖关系
会引起来两类比较典型的现象
一类叫做跳跃谐振
一类叫做自持振荡
后面我们会分别的对它们进行研究
另外一类是从时域的角度来看
我们在学习线性系统知道
一个线性系统来讲原则上
只要我们知道了它的微分方程
或知道了它的传递函数
我们是可以把线性系统的解表达出来的
这个解可以表达为
系统的一些典型模式的叠加
这些模式的叠加
它的叠加系数是和系统和初值有关系
也就是说系统的初值定了
所以系统的方程的解
整个解的结构就定了
而这个解的结构是跟初始条件没有关系的
也就是说我不管初始条件在哪
解结构总是由这些模态的分量
进行叠加而成
所以说这是一个线性系统的
一个所谓全局性的特征
就是它的解在全局是成立的
就是不管初值在哪个地方
它的解的结构都是一样的
但是对于非线性系统而言
解的结构是和初始条件有关系的
也就是说在不同的地方开始
有可能在这个地方系统是稳定的
从另外一些地方开始
系统又变成不稳定的
而这些现象会引起一些更复杂的
比如说分岔现象 混沌现象
这是我们这节课
将要涉及的一类非线性现象
好 我们现在来看一下
第一类典型的动力学特征
也就是说振荡频率是如何依赖于幅值的
我们首先看一个具体的物理学的例子
这里面我们给出了一个
弹簧质量的系统
这个系统我们前面在研究
线性系统建模的时候
实际上已经碰到过
如果一个弹簧它受到一个弹簧的作用
和受到一个阻尼的作用
那么它的动力学方程微分方程
可以写成mx两点加上fx一点加上kx
其中第一项是质量乘以加速度
它应该和这个质量所受到的合力是相等的
那这个合力里面
一个是受到了阻尼的摩擦力
是和f以及x运动的速度有关系
另外一项是弹簧受力
如果这个弹簧是个线性弹簧
而它的弹性系数是k1的话
那么弹簧所作用在这个质量块上的力
就是负的k1x
那如果这个弹簧是个非线性弹簧
那么在这个弹簧的受力上
它可能还会有一项额外的项
而这项是和x
也就是说这个质量块所处的位置
是成非线性关系
假如说这个非线性关系是x三次方
而这个比例系数是K2
我们来看一看当k2取不同值的时候
这个系统的运动会有些什么样的特征
那为了和前面的线性系统做比较
我们把这个弹簧的受力重新写一下
写成一个k1加上k2x平方
再乘以x的形式
那这种形式实际上
是可以和一个线性弹簧来比较
也就是说因为线性弹簧
假设弹簧的受力是和
这个弹簧的质量块的位置
离平衡点的距离是成正比的
也就是说和x成正比的
但是这个如果是一个非线性弹簧
那么这个比例系数就不再是常数
而是和它所处的位置有关系
也就是我们在这个括号里表达形式
好 分别来看一下
如果是一个线性弹簧
也说k2等于0的时候
我们来看一下它的这个响应曲线
也就是说当把这个质量块从平衡位置
拉开一定距离以后把它放开
我们会看到在弹簧和阻尼的同时作用下
这个系统会呈现一个衰减振荡的形式
这个衰减振荡它的幅值
会不断的减小了最后趋近于0
但它的频率我们知道了二阶系统响应
学过以后我们都知道了
这个频率实际是常数它是不变的
而这个频率是和k1除以m的根号成正比
这是系统的一个典型的特征频率
那么现在我们看如果k2是大于0的
我们从这个方程的表达形式上可以看到
如果k2大于0随着x的增加
这个等效的弹性系数会逐渐的增加
也就是说随着x的幅值增加
这个弹性系数也会增加
弹性系数增加以后
就表明了这个弹簧会变的越硬
越来越硬
也就是说它的弹性系数增加
它的特征频率会加快
这在这个系统的响应曲线上
会表现出什么样子
就是说大家可以看到
当一开始x离平衡点的距离比较远的时候
弹性系数增加
它的特征频率会加快
也就是说在幅度比较大的时候
它的振动或者说它的运动速度会比较快
但是随着阻尼对弹簧的作用
使得幅度发生衰减
我们可以看那这一项
就是说如果x减小的时候
它弹性系数相应的会减小
从而带来特征频率的降低
所以当幅值减小的时候
它的振荡频率就越来越低
从而使得它的运动也越来越缓慢
所以说大家可以看到在整个运动过程中
实际上我们看它瞬时运动的频率
实际上它不是一个常数
而是随着幅度的变化而变化
幅度高的时候振动快
幅度低的时候振动慢
大家看另外一种情况
就是k2小于0的时候
这种弹簧我们把它称为软弹簧
也就是说这个质量块
离平衡位置越远它的弹性系数越低
这样时候k2是小于0的
当x增加的时候
假设这一项还是大于0
那么这一项的总体的取值
随着x的增加它会减小
所以说偏离平衡值越远
弹性系数越小
它所对应的特征频率也就会越低
也就是说幅度越大 弹性系数越小
这时候对应的振荡频率也就越低
也就是说它这时候振荡也就越慢
从这个系统的响应曲线上可以看到
当这个质量块远离平衡点比较远的时候
它的振荡频率比较低
也就是说运动相对比较缓慢
当系统这个位置离平衡点
越来越近的时候
我们可以从这个表达式上可以看到
弹性系数变得越来越大
振荡频率越来越高
这时候运动速度就会加快
所以它的运动呈现了
和硬弹簧一个相反的趋势
而这两个趋势都是由于系统振荡的频率
和幅值的依赖的关系而产生的
那么这类关系会产生几类比较典型的
这个非线性运动的特征
第一类我们说这是跳跃谐振
我们来看还是看同样看这个系统
刚才我们研究了系统在自由运动情况下
它的运动特征
也就是说它在运动的过程中
运动的瞬时频率会随时的发生变化
那如果我现在对于系统
施加一个正弦的驱动
也就说当这个在这个质量块上
加上一个外力
这个外力幅度恒定
但是频率是ω的时候
我们来看一下
在这个外力的强迫运动的作用下
这个系统这个强迫运动是什么样的
我们知道当系统达到稳态输出的时候
这个强迫运动它会是一个
也是一个周期的运动
但是这个周期的运动
它可能会包含一些频率为ω的分量
也会包含一些频率是2ω3ω的
一些高次谐波的分量
那么我们现在只考虑这些基波分量
也就是说频率ω
和输入ω频率相等的这些分量
其他的分量由于幅值较小
我们暂时先不考虑
那么这个分量当系统达到稳定运动的时候
它会有相应的幅值
这个幅值随着ω的变化而变化
那么我们来看一下
这个幅值会有一些什么比较特殊的现象
如果这是一个线性弹簧
那么这个幅值实际上
我们画出来的x和ω的依赖关系
实际上就是前面我们学过的
线性系统的一个幅频特性
也就是说随着频率的增加
系统输出的这个幅度
会随着频率的变化而变化
对于这样一个系统我们知道
对于这样一个欠阻尼运动的系统
在某一个谐振频率这个地方
输出的幅值会有一个峰值
在这个峰值左边或者右边
大于或小于这个频率的地方
它输出的幅值都会有一个相应的减小
但是从整个这个x和ω的依赖关系上
也就是这个幅频特性曲线上来看
它这个依赖关系
是一个连续变化的依赖关系
只不过在谐振频率这个地方会有一个峰值
但是对于一个非线性系统来讲的话
这种连续依赖变化关系就会发生变化
比如说了我们看如果这个弹簧是个硬弹簧
也就是k2大于0的时候
当ω这个频率增加的时候
我们在一开始的时候我们会发现
输出的这个分量也就是这个位置运动
它的基波分量的幅值会逐渐的增加
沿着这条红线运动
但是增加到一定程度上的时候
在某一个频率我们会发现
这个基波分量的幅值会突然的下降
发生一个跳变
下降到某一个幅值
然后随着频率的继续增加会逐渐的减小
这是一个不连续的地方
那反之如果频率从高往低走
也就是说频率从快往慢走的时候
它也会在某一个频率会发生一个跳变
那么频率从高往低变化的时候
输出了这个基波分量的幅值
会逐渐的增加
但是到某一个频率地方
它会逐渐增加到一个更高的位置
发生一个跳变
从这个位置开始频率继续降低的时候
幅值就开始减小了
沿着定线性减小了
而这两个发生跳变的地方还不在一个频率
从低往高走是在一个比较高的频率
从高往低走的时候是在一个比较低的频率
那这会发生一个不连续的跳跃的变化
那这类现象我们叫做跳跃谐振
也就说谐振这个幅值
会在某一个频率的地方
发生跳跃性的变化
那如果这个弹簧是个软弹簧
我们也会有一个类似的跳跃谐振的现象
当然这个现象这个特征
和硬弹簧稍微有一些不一样
也是说当这个频率从低往高走的时候
一开始也是输出的这个
基波分量的幅值也会逐渐增加
但是增加到一定程度的话
它会发生一个跳变
这个跳变是从低往高走
这个幅值会突然增加
而不是像这里面这个幅值突然减小
这里是幅值突然增加
然后再开始下降
同样道理
如果频率从高往低走的时候
在某一个特征频率的这个地方
幅值输出对基波分量的幅值会突然下降
然后沿着这条曲线继续下降
所以在上升和下降这两个方面
软弹簧和硬弹簧是有区别的
但是它们都反映了一个共同特征
就是在输出了基波分量的幅值
会在某一些特征频率的地方
会发生跳跃性的变化
这种现象叫做跳跃谐振
另外的一个现象我们叫做自持振荡
我们举一个比较典型的例子
这类例子是我们在研究
非线性系数曲从中经常会碰到
叫做Van der pol方程
那Van der pol方程
我们从这个方程上可以看到
它和我们前学过的二阶系统
也就是和我们前面学过这个弹簧
既有弹簧又有阻尼这个系统
实际上表达形式上有些类似
所不一样的地方
只是在这个阻尼系数上有一个变化
阻尼不再是常数
而是和这个质量块的
这个运动的位置是有关系的
我们具体来分析一下
假如说我们把这个x一点
前面这个整个这个系数
我们把它叫做f~
这个我们定义成一个等效的阻尼系数
我们看一下当x处在不同位置的时候
这个阻尼系数是什么样的
如果x是大于1的
如果x的幅值是大于1
它要么大于1要么小于-1的时候
我们可以看到括号里面是小于0
然后前面再上一个负号
整个这个f~就是一个大于0的数
大于0我们知道
这是对应一个正阻尼
正阻尼就是说我们这个系统
对于运动的过程中会消耗我们能量
使得运动的幅值会逐渐的减小
就是我们看到的衰减的振荡
那这个振动会逐渐的减弱
但是当它减弱到一定程度
减弱到x的幅值小于1的时候
那我们可以看到根据这个表达式
x小于1的时候
f~变成小于0了
这对应一个负阻尼的情况
负阻尼是什么情况
就是对应一个吸收能量的情况
这个时候系统不再消耗能量
而要从系统的内部去产生一定能量
使得运动会增强
振动幅度增强
所以这时候x的幅度
又会从减弱然后又开始增强
那么大家可以想像如果在增强的话
它增强到一定程度的时候
它又会大于1
大于1的时候又变成第一种情况
又变成正阻尼消耗能量振动减弱
所以我们看它的运动曲线的时候
就会发现在一开始的时候
可能是振动逐渐减弱
但到一定程度以后振动又开始增强
到一定程度以后又开始减弱
到一定程度又开始增强
而这个上下的这个切换的这个幅值
就在我们这个1 正负1这个地方
所以我们看到这个时候
系统会呈现一个周期性的运动
那么周期性的运动的话
我们在这样一个图形来表示
如果我们不画它这个x对时间的依赖曲线
而是把这个横轴画成x
然后纵轴画成x的时间导数
也就是x的这个速度
我们可以看到在这里面
这个蓝线表示x
那么这个红线就表示x的速度
我们把这个随着t的增加
这两条线的依赖关系
x和xt就是每对应一个时刻
我们在这个时刻
可以读出相应的x和x一点
然后把这个x和x一点
画在这个二维的平面图上
然后当随着t的增加
这个点会逐渐的描成一条线
这个线是我们后面
将要学习的所谓的相轨迹
我们从这个图上可以看到
随着t的增加
这条轨印会逐渐的沿着一条
固定的封闭的曲线来运动
那这个环这是一个封闭的环
这个环我们叫做极限环
那这个极限环的特点是什么
就是当外部的输入取消的时候
就是说在这个系统中
即使外部没有输入
这个方程右边等于0
没有外力作用的时候
那系统中这个振荡是始终存在的
而且这个振荡的频率是固定的
就是我们看这个
这个系统的这个振荡
就是这个周期运动的频率是固定的
幅度也是固定的
这个振荡会在没有外力作用的情况下
会一直持续下去
所以这个振荡我们叫做自持振荡
我们在这个系统中看到了自持振荡
是一种稳定的自持振荡
也就说在一开始经历了
一个短暂的瞬态过程以后
振荡会一直按照这个幅度
按照这个频率会持续下去
那在实际的非线性系统中
也有不稳定的极限环或者自持振荡
也就是说这个振荡在一定的时间以后
它会越来越偏离这个极限环
向一个不可预知的方向去运动
那在一个非线性系统中
它可能会有这样一个极限环
但是当系统的初值从不同地方开始的时候
它可能会沿着另外一个极限环运动
所以一个系统中
它可以存在多个极限环
这些特征在线性系统中是不可能出现的
好 那么从频域的角度研究了
非线性系统的典型动力学特征以后
我们再来看一下从时域的角度
怎么样来理解
非线性系统和线性系统的不同
然后说非线性系统和线性系统的
一个非常典型的不同
就在于稳定性和初始条件实际上是依赖的
那么在线性系统中
我们从来都是说
这个系统是稳定的还是不稳定的
我们说这个系统是稳定的时候
从来是和系统的初值条件
实际上是没有关系的
也就是说这个系统
不管从任何的初始条件出发
它最后的运动状态都是
要么是稳定的要么是不稳定的
所以说在线性系统中
稳定性和初始条件是没有关系的
但是在非线性系统中就不是这样了
我们来看一个简单的例子
如果有这样一个非线性系统
x一点等于负x乘以1减x
那我们知道由于这个函数
是一个x的非线性函数
所以它是一个非线性系统
在这个非线性系统
它有两个平衡点
什么是平衡点呢
我们可以看就是如果让x一点等于0
x一点等于0什么意思
如果我们把x想像成一个位置的话
x一点就是这个对象在x这个地方
它运动的速度
那如果x一点等于0
也就是说它在这运动的速度为0
也就是说它在这不动了
静止不动的时候
我们看一下它会在什么地方静止不动
那就是x一点如果等于0
就意味着方程的右边等于0
那方程右边等于0
这对应一个二次方程
我们提出来了这个方程有两个解
一个解是x等于0一个解是x等于1
这就意味着如果这个系统的初值
如果恰好从x等于0开始的时候
它就会永远的停在x0
不会运动到其他地方
或者说如果从1开始运动的时候
它会永远的停留在1这个地方
不会运动到其他地方
我们看一下这两个平衡点
和系统稳定性有什么关系
我们来写一下
由于这个方程实际上并不是特别复杂
我们对这个非线性方程
实际上是可以得到它的解析解
这个解析解的形式就表示成这个样子
最后的解的形式实际上
是和系统运动的初值是有关系的
运动的初值是有关系的
假如说这个初值是x0
我们来看一下
当这个x0从不同地方出发的时候
这个系统运动的轨迹会是什么样的
比如说x0一开始是大于1的
一开始大于1的时候
我们会发生什么情况
我们可以看到从这个解的形式上来看
它一开始是这个解是逐渐增加
然后它会一直趋近于无穷
趋近于无穷是在这个地方
这有一条渐近线
会沿着这个渐近线线往上一直趋近于无穷
这个解的这个形式是这样的
从方程解上来看我们可以去理解这个事情
比如说如果x0大于1的时候
1减x0是小于0的
然后x0乘以e的-t这个项是大于0的
所以说当x一开始
当t很小的时候
这项是不等于0
但是当t逐渐增加的时候
这个这一项会逐渐的减小
减小到一定程度
就会和前面这个负数互相抵消
使得分母为0
分母为0就意味着xt
就会在某一个时刻会趋向于正无穷
所以从这个一开始的这个解
它最后趋向无穷
也是说这个解这是不稳定的解
那如果初值从x0小于1的
我们可以看到
从这个轨迹上可以看到
它会逐渐衰减最后趋近于0
然后在0到1区间上
我任取x0在0到1区间上
任何一个初值的时候
它都会逐渐衰减的最后趋近于0
从这个x0如果小一点的话
我们也会发现
它会从任何地方开始逐渐的增加
单调增加 最后趋近于0
所以我们可以看到
总结一下
当初值大于1的时候
这系统的解是不稳定的
而当系统的初值小于1的时候
这个系统的解都是稳定的
而且这个稳定的这个x的终值
最后都趋近于x0等于0这个位置
而x0正好是我们的平衡点
所以说我们把这个平衡点
实际上根据这个解的特征
我们就可以去定义这个
两个平衡点的稳定性
也就是说在0附近出发了这个解
初值从0附近出发的解
它都会最终趋近于0
但是初值如果在1附近出发
要么会趋近于无穷
要么如果从1下面这一点出发
它会趋近于另外一个平衡点
而不会趋近于1本身这个平衡点
所以1这个平衡点是一个不稳定的平衡点
而0这个平衡点是一个稳定的平衡点
所以说我们对于这样一个非线性系统来讲
稳定性是和初始条件有关系的
从不同的初值开始
它可能是稳定的也可能是不稳定的
好 那这样一个稳定性和初值依赖的
这个特征会带来两类
比较典型的非线性特性
一类非线性特征是所谓的分岔
就是说平衡点的个数和稳定性
是依赖于某个变化的参数
我们来看一下
假如说有这样一个非线性系统
这个方程是在动力学系统中
有一个名字叫做Duffing方程
杜芬方程
这个方程的特征
就是在这里面有一个x三次方项
我们可以看到如果a大于0
这里面有一个参数
a如果是可以允许这个a参数变化的话
那么a大于0的时候
我们看它只有一个稳定的平衡点
也就说这时候如果我是
我们要去解平衡点的时候
其实就是让x一点等于0
x一点等于0
x两点其实也是等于0的
所以我们只需要解ax加上x三次方等于零
看它有什么样的平衡点
这时候显然我们要看它实数解的话
由于a大于0
所以它的实数解只有一个在原点
好 那所以说a大于0的时候
它只有一个平衡点
但是现在如果a从大往小变化
从正变到负的时候
我们可以看到
这时候我们再去解这个方程
再去解这个方程
由于a小于0
这时候它除了原点
这个平衡点是一个解以外
它还会多出两个实数解
正负根号a
所以这时候随着参数的变化
这个平衡点个数发生了变化
多出来这两个平衡点
我们可以证明
这几个平衡点实际上都是稳定的
所以大家可以想像
由于多出来这些稳定的平衡点
它对系统运动的轨线
一定会发生一个比较大的影响
也就是说因为平衡点实际上
就像一个吸引子一样
在这个平衡点附近开始运动的轨迹
它一定会受到这个平衡点吸引
往这个平衡点运动
所以一旦平衡点的个数和分布
发生变化以后
这个系统的动力学特征
就肯定会发生变化了
而这个变化
是和系统的运动的初值有关系的
它离哪个平衡点近
它可能就会向哪个平衡点运动
那么第二类现象是我们所说的混沌现象
混沌现象它的一个最基本的特征
就是微分方程解
对初始条件的变化实际上是非常敏感
我们来看一下一个例子
假如说有这样一个正弦驱动的系统
x两点加上0.1x一点加上x的五次方
这里面x五次方是一个非线性项
如果在这个系统上给一个正弦驱动
6倍的sint
我们来看一下在这两组初始条件下的解
一个是从x0等于2
x一点在零时刻的值等于3
另外一个初值是和它们稍微差一点点
就是在x0等于2这个基础上再多0.01
x一点0再多0.01
如果我们没有解这个方程解的话
根据微分方程的解对初值的连续依赖性
我们可以想像
由于这两个初始值相距非常近
所以从这两个初值出发
这两个解在很长的一段时间内
应该也会相距很近 差别不大
但是实际情况并非如此
我们来把它的具体的方程的解
用数值法仿真
用MATLAB来画出来可以看一看
大家可以看到在一开始的这一阶段
由于一开始初值确实相距很近
那么一个红线一个蓝线
我们在这个曲线上可以看出来
它们基本上是分辨不出来的
基本上是重合的
也就是说它们运动的轨线是非常接近的
但是在一定时刻以后
大家看在这后面这一段
蓝线红线就可以很明显的区分开
而且蓝线和红线之间的距离
实际上是已经可以拉到很开了
它们的这个大小依赖关系
实际上基本上已经没有任何规律可循了
有些时候红线在上面
有些时候蓝线在上面
这时候它们这个距离已经拉得非常开了
而这个时候时刻其实并没有花太长时间
而且这个变化就是它们互相的
大小的这个变化关系
实际上并没有什么规律可循
从某种程度上很像一个随机的运动
就是它们之间有时候它大
有时候另外一个大
很像一个随机运动
但这种运动又不是随机运动
所以这类现象
实际上是在非线性动力学系统
非常有意思的一类现象
我们称做混沌
所谓混沌就是说一团糟
就是我们基本上是摸不着什么规律
但实际上它还是有规律可循的
对于混沌现象来讲
即使系统的模型是非常精确的
只要系统的初值有一点偏差
那系统将来的运动就会变得无法预测
这就是混沌一个最基本的特征
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
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-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
