当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十周 非线性系统分析（一） > 非线性系统概述 > Video
同学们好
现在我们来开始学习
非线性系统的内容
那么在开始非线性系统之前
所谓非线性系统
就是不是线性系统的意思
所以在讲非线性系统之前
首先我们要清楚什么是线性系统
线性系统有什么特点
那么线性系统我们知道
一个所谓的线性
而且是定长的系统
它应该满足下面这些特征
如果这个系统的输入是rt
如果有一个输入输出系统
它的输入是rt输出是ct的话
那么rt和ct之间的关系
我们可以用一个映射
比如这个映射我们叫做∑
用它来表示
那么这个映射
它应该满足一个叠加原理
满足一个时不变的性质
叠加原理是什么呢
就说如果我的输入是
两个不同输入的叠加
而这两个输入它可以有些比例系数
比如说我这个输入
增加一倍增加十倍
或者减小十倍
如果是不同输入的叠加
以及它们的会有一些增益的变化的话
那它对应的输出就是这两个不同的输入
分别产生的输出的叠加
分别产生的输出叠加
也就是说∑如果作用在
α1r1加上α2r2的上面的话
它应该等于α1乘以∑作用在r1t
其实也就是c1
加上α2乘以∑作用在r2t上面就是c2
它满足这样一个叠加原理
也就是说不同的输入
叠加起来作为输入的时候
输出也是这些输入分量
分别产生的输出的叠加
那么这是线性系统的原理
如果这个系统是个定长系统
它还应该满足于时不变的性质
就是说如果我的输入函数里边
有一个时间延迟τ
那么在输出函数里面输出的响应
就是原来的这个rt产生的响应
也相应做一个τ的时间延迟
就是这个延迟的输入信号产生的输出响应
那么这是一个系统的时不变性质
那对于这样一类系统
我们分析起来就非常的方便
如果这个系统具有叠加原理
和时不变性质的话
那么系统的输出就可以表示成系统的输入
以及这个系统这个线性系统的
单位脉冲响应函数的卷积
这是我们前边在学习线性系统的时候
一个最基本的原理
那研究这一类系统的时候
我们有很多的数学工具可以去利用
可以对这些系统做一个比较完善的
比较全面的数学分析
比如说我们可以用常微分方程的理论
去研究解的结构的性质
我们也可以用拉普拉斯变换
把一个微分方程变成一个代数方程
还要去分析解的结构
然后基于拉普拉斯变换
基于方程解的理论去分析线性系统
甚至去设计相应的控制系统
这是线性系统
那什么是非线性系统
那它的定义很简单
就说所有不是线性系统都是非线性系统
对于非线性系统叠加原理就不在适用
那如果叠加原理不在适用的话
我们就很难去找到一个统一的处理方法
来解这个非线性问题
所以我们在后面的学习中
我们并不存在一个统一的办法
比如说就像常微方程理论
就像拉普拉斯变换一样
我只要有了这个工具
我就可以解决所有的非线性系统问题
这样的方法实际上是不存在的
我们只能根据非线性系统的
具体的特点具体的分析
我们可能会有一些不同种类的方法
去处理不同种类的问题
那对于非线性系统
我们为什么要研究它
那首先第一个我们实际的系统
基本上所有的实际的系统都不是线性系统
那么线性系统只是我们一个理想的近似
也就说如果我们这个系统
工作在一个比较小的范围内
或者说我们这个系统的参数
它变化并不大
那么这些系统我们可以
去近似成一个线性系统
但是在很多情况下
一个系统并不一定能够
存在一个比较好的线性近似
当这个线性近似找不到的时候
我们就只能用
非线性系统的方法来处理它
比如说我们后面会看到的
有饱和现象有死区现象的这样一类系统
我们就很难去用线性系统来近似
那从另外一个方面
刚才这个方面是一个不好的方面
是我们没有办法了
只能够用非线性系统方法
来研究这个系统
那另外一个角度
即使我这个系统控制对象本身
就是个线性系统
我已经可以有一套很好的办法
去分析和设计了
但是如果我们要用非线性控制的方法
我们反而能够得到更好的性能
而且这个非线性控制实现起来
其实并不是很麻烦
所以这个特点在很多情况下
实际上是引导我们要有效的
利用非线性控制的特点
好 我们来看一下一个非线性
能够改善系统性能的例子
我们前面在学习线性系统的时候
我们经常会碰到这样一类系统
就说这类系统如果有一个阶跃的输入
在这个阶跃输入下面响应
它会有一定的超调和一定的振荡
这类系统动态响应推进实际上并不好
需要通过超前校正来进行改善
那如果我们不用超前校正
我们可以用一个非线性控制的例子
方式来进行改善
我们来看如果我们这样做
因为我们看这个阶跃响应
我们在这个阶跃响应在t1的时候
它是达到了这个超调量
就是达到了这个阶跃响应的的最高值
在这个最高值以后
这个输出的幅度会进一步的下降
那我们可以想象
它是不是在达到最高值的时候
它的控制输入
是不是它的功率是不是不够呢
由于不够的话
它的输出才会产生下降
那如果为了改善这个
我们很容易可以有一个直观的想法
就说如果达到最高值的时候
我在功率上再进一步给它提升
给一个更强的输入
那么就有可能去阻止这个下降的势头
来使得我这个输出能够保持在最高值
从而达到这个位置
所以如果我这个切换的时刻
如果选取的适当的话
我们就有可能实现这样一个输出也比较高
然后超调和振荡也非常小的
这样一个控制的效果
所以说这样一个简单的切换控制
就可以改善系统的动态性能
那这个动态性能的改善
实际上就可以通过一个非线性装置
一个切换装置来实现
而这个切换控制它不是任何一个
线性系统所能够实现的功能
我们来看一下有什么样
一些典型的非线性系统
第一类非线性系统
是我们所说的饱和和死区
什么是饱和非线性
我们知道一个线性环节
就是比如说我们说一个比例环节
我们当输入是s输出是y
输入增加的时候输出y也会随之增加
如果是一个理想的线性环节
输入在往无穷远增加的时候
输出也会增加到无穷远
但是对于一个饱和环节来讲的话
当输出增加到一定程度时候
输出就不再增加了
这就是一个饱和现象
这是我们在实际的一些系统中
会经常碰到的
因为一个电学的器件的话
它的输出的电压或电流
是不可能是无穷增长下去的
当它达到了一定的功率的这个限制以后
它的输出就会由于保护的作用会产生饱和
那这类饱和非线性
对系统的性能会产生什么样的影响
我们来看一下
我们来定性的分析一下
因为饱和环节在输入幅度大的时候
输出就并不能够像一个线性系统一样
输出一个比较大的输出值
所以这就会带来一个效果
就说当我们需要对这个系统
有一个比较强的作用的时候
当输入比较大的时候
我们这个输出就没有办法
产生一个比较强的作用
所以这就会带来一个调节时间的上升
也就说我们控制这个系统的时候
我们控制所花的时间就会慢一些
而在动态过程中就会对这个系统的振荡的
这个抑制这个效果就会差一些
所以动态误差有可能也会上升
但是这个饱和环节会有一个好处
如果这个系统会出现一个振荡的时候
它会出现一个限幅
特别是当振荡的幅度比较大的时候
大家可以看到
幅度如果超过这个限幅的幅度的时候
它会对振荡进行限幅
死区环节
死区环节是什么呢
这是我们在很多的力学原件
或电学原件我们都会有这样的现象
就说我们在输入有一定作用时候
一开始并不是输入不为零的时候
输出就有了响应
而是在输入有一定的
达到一定数值以后输出才会有些响应
而在这段
在这个负a到a这段区间里面
就是我们这个系统响应的一个死区
死区环节会导致在输入比较小的时候
输出没有响应
所以说第一个比较负面的对系统的影响
就是会导致稳态误差
因为我们知道稳态误差
往往是在系统输出比较小的时候
或者说在输入比较小的时候去衡量的
如果当输入比较小的时候
系统输出没有响应的话
那这个时候稳态误差肯定会有的
但是它还会有另外一个好处
它就会削弱系统的输出的振荡
因为我们知道输出的振荡
很多情况下是由于这个输出
对系统的输入反应过于敏感而产生的
特别当系统的增益比较大的时候
对这个误差比较敏感的时候
会产生这种输出的振荡
但是如果有个死区
对于一个比较小的误差
它的反应并不是那么敏感
这时候振荡就会相应的得到削弱
我们再来看一下继电特性
继电特性从这个图形的表示上来看
就是这样一个
就是如果输入是负的话
输出就是负M
如果输入从负变成正的话
输出就变成正M
所谓的输出是在正负M之间来切换
这样一个特性我们叫做继电特性
那这个继电特性是一个理想的继电特性
那么实际的我们实际使用的继电特性
它并不是在从负值到零的
这个瞬间来进行切换的
而是当我这个输入增大到一定程度时候
它才能发生切换
那这个时候就也会这样一个死区
那这类继电器我们叫做具有死区的继电器
那继电器
我们从输入输出的特性来上看的话
它提供一个快速的切换
因为我们可以看到输出从负M到M
这个理想继电器的切换
基本上是瞬时完成的
就是我这个输入
一旦从负值变到正值的时候
这个输出马上从负M变到正M
当然了有了死区以后
这个切换会相应的会更慢一点
相应更慢一点
就说这个死区如果越窄
这个切换会更快一些
如果越宽的话切换会更慢一些
所以如果切换很快的话
系统响应相应也会加快
使得系统响应更光滑一些
但是如果这个切换过快以后
它也可能会导致系统振荡
因为如果这时候系统的
输入里面有一定的噪声
这个噪声在正负范围内
很小的范围内变化的时候
它就会引起输出过于频繁的切换
导致一个振荡
还有一类非线性系统的特性
我们叫做滞环特性或间隙特性
那么什么是滞环特性
它是带有一定动态效果的特性
就说如果这个系统这个输入值
从小往大的方向去变化的时候
它当它变化到一定值的时候
就会产生一个类似于继电器的效果
就是比如说s变化到正a这个地方的时候
它会从负M切换到正M
类似于继电器
但是它和继电器又不完全一样
因为这个切换
它是和输入的变化的方向有关
如果从小变化到大的时候
它是在正a的这个地方发生切换
但是如果s减小从大往小变化的时候
它切换的地方就不是在正a
而是在负a这个地方发生切换
所以这又从图形上来看
就会形成这样一个环
这个我们叫做滞环的非线性
那这个滞环非线性
会导致系统的输出响应发生一个迟钝
响应会比较慢
然后也会导致系统响应的输出
可能会发生振荡
那和滞环非线性特性有一点类似的
我们叫做间隙非线性
也就说我们这个上升段
如果是有一定斜率了
就说我如果在增加的时候
当s增加的时候增加到一定程度的时候
它会变成这样一个线性的特性
输入和输出会变成这样一个线性特性
当然这个线性特性
当s增加的时候它是一个线性环节
但是一旦s从增加
变到一个减小的这样一个切换的话
那这个在开始的一段时间内
它是输出保持一个常数
但是减小一定程度话
它又变成一个线性环节
但这个线性特性
和这个线性特性是不一样的
它会沿着这样一个线性特性去变化
如果输入从减小再又切换到增加的话
它又会沿着这条路径去进行变化
所以这个非线性特性我们叫做间隙非线性
那间隙非线性一个非常典型的例子
就是在我们机械结构里面
有些齿轮结构或者螺旋结构里面
因为我们知道齿轮
如果在两个齿轮对和的比较好的时候
一个齿轮的转动会带动另外一个齿轮转动
对应这个输入和输出特性
因为这两个转动
实际上是成一个线性关系的
但是一旦这个齿轮
其中一个齿轮沿一个方向转了以后
突然向反方向转动的时候
首先第一步
如果这两个齿轮之间有空隙
那首先它会把这个空隙
沿着反方向去走一个空程
在另外一个方向和这个齿轮去发生接触
接触以后
带着另外一个齿轮沿着反方向去转动
所以这是一个代表一类
有间隙的这种结构的非线性特征
那有间隙的非线性结构特征
它对输入有一定的延迟作用
和滞环非线性特性类似
它又会导致振荡
我们所举的这些
是一些比较常见的典型的非线性系统
当然实际的非线性系统
实际上是有无穷多种
不仅仅局限于这种
这些系统只是我们
在生产应用的过程中经常会碰到的
那实际的非线性系统
常常是不同特性的一个组合
比如说我们这个非线性系统里面
既有饱和特性又有死区特性
那么它们组合起来以后
输入和输出就是这样
如果这个系统本身是一个线性环节
但是它有一定的死区特性
那么在这个零附近就表现为死区
在零以外就表现成一个线性特性
如果既有继电特性
又有死区特性又有滞环特性的话
这个非线性特性就会比较复杂
所以非线性特性这个情况是会非常复杂
我们在后面的学习中
会针对这样一些典型的非线性系统的环节
去研究去探讨一些针对性的设计方法
去分析这些非线性系统的性能
甚至对非线性系统进行一定的设计
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
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-根轨迹条件
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-根轨迹性质--作业
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-根轨迹的图像--作业
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
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-校正问题及其实现方式--作业
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-校正装置的设计方法--作业
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-超前校正装置的特性--作业
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
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-滞后校正装置的特性--作业
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-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
