当前课程知识点:自动控制理论(1) > 第十周 非线性系统分析(一) > 描述函数法定义 > Video
同学们好
现在我们来学习一下描述函数法
前面我们通过学习知道
非线性系统它和线性系统
有很多动力学特征上的不同
而这些不同我们可以从频域的角度
也可以从时域的角度来进行理解和研究
那么从分析和设计的角度来讲的话
实际上我们也可以
从这两个角度来分别进行
我们知道所谓非线性系统
就是所有不是线性系统都是非线性系统
所以说对于非线性系统
它没有一定的成规
就没有通用的方法能够解决
所有非线性系统的控制分析和设计问题
我们在解决这类非线性控制问题的时候
只能具体问题具体分析
针对系统的特征来进行解决
我们这节课要开始的描述函数法
就是针对一类比较特殊的系统
这类系统我们从这个框图上可以看到
它在整个控制的结构上
和我们前面碰到的线性系统
实际上还是比较像的
它是一个负反馈的控制系统
那在这个负反馈的控制系统
也有一个控制对象
这个控制对象可以用一个传递函数来描述
它是一个线性的对象
但是在这个系统的前项通路里面
它有一个非线性环节
所以说这个系统开环系统
它是由一个线性系统
和一个非线性环节串联构成
当然这个形式
只是我们一个数学上的一个表达式
那么很可能这个系统在物理上
并不一定是这个样子
也就说这两个部分
它在物理上可能并不是互相分离的
它可能是同一个系统的
线性部分和非线性部分
只不过我在数学上
可以把它变成两个环节的串联
那么这个非线性环节
可能是这个对象本身的
也可能是我们为了改善性能
或者为了保护系统
比如说那我们希望为了保护系统
会加入一些继电器
会加入一些保护的限幅措施
那这些装置会引入非线性效应
所以说一个典型的控制系统
如果控制对象本身是线性的
但是在线性以外有一些对象的非线性
或者说为了控制而引入一些非线性的话
这类系统会具有这样的结构
那我们知道在工程上碰到了控制对象
如果这个系统是线性的话
一般会具有低通特性
因为我们从来不会碰到一个系统
这个系统的幅频特性
频率越高它越高
通常都会有低通特性
那如果这个系统具有低通特性的时候
我们来分析一下这个系统的结构
我们可以对这个系统结构
会做一个怎么样的简化
假说这个系统是具有低通特性
低通特性的特点是什么呢
就说如果这个信号的输入
如果这个系统的输入y
是一个低频信号的时候
它可以很好的通过这个系统反映到
这个信号c里面
但是如果这个信号y里面有高频信号
这个信号就不会通过
这系统而反映到c里面
所以说假如这个信号y里面有高频信号
我们看c的时候它里面只有低频分量
因此我们再来看这个系统的非线性环节
就说如果这个c里面只有低频分量
这个低频分量通过反馈
进入到这个误差项e里面以后
e在进入这个非线性环节的时候
我们知道非线性环节
有一个从频率响应有一个特征
它会产生高次谐波
就是一个低频信号进入的时候
在输出里面会有高次谐波
但是由于这个对象本身是有一个低通特性
这些所产生的高次谐波
会通过线性对象以后
它不会进入到c里面
所以不会进入到c里面
再通过这个反馈回路
再回到这个误差信号里面
就不会对系统产生影响
也就说这些高次谐波
在整个反馈控制系统里面
实际上它的影响是比较小的
就如果它是一个理想的低通环节的话
这些高频分量会对系统的输入输出特性
是不会有什么影响的
所以说从这个角度出发
如果把这个信号里面的高次谐波忽略掉
使这个信号里面只剩下基波的分量
我们就可以看到就是输入的频率是多少
输出的频率就是多少
那这就像一个线性系统一样
那从这个角度来讲的话
我们就可以把这个非线性环节
去近似成一个线性环节
所以这种方法也就称为描述函数法
但是怎么样把它近似成一个线性系统
把它近似的这个线性系统
和我们通常所理解的这个线性系统
它的输入输出特性有什么不一样呢
这是我们后面要讲述的重点
我们首先看一下
一个典型的非线性环节
对一个正弦输入的一个影响
假设现在这个系统的非线性环节
是一个饱和环节
我们看这是输入
输入是一个正弦信号
那饱和环节我们知道
就是当输入这个幅值达到一定程度上
这个输出就不再上升
而是维持在一个恒定的值
只有当输入高于这个值的时候
它会维持在恒定值
当输入低于这个值的时候
它会跟着输入去进行同样的变化
所以最后的输出就是这样一个
一部分像正弦
但是在正弦的上面和下面这一部分
被削掉的这样一个输出的形状
我们学过傅立叶分析知道
这个输出信号它虽然不是一个正弦信号
但它还是一个周期信号
这个周期信号
我们可以对它做一个傅立叶分解
把它分解成一些直流分量基波分量
就是和输入的频率相同的分量
还有输入的频率的二倍频率分量
以及三倍频率分量以及更高次谐波分量
从这个图上来看
这个输出函数的它的基波分量
这是黑线是这个输出函数
那么我们看一下基波分量
就是和输入信号的频率相同的这部分量
就是我们红线所指的这部分
它幅度是y1
有可能会有一个相移Φ1
那么这个绿线所表示的
是它的二次谐波分量
也说频率是这个基波分量频率
二倍的这个振动频率分量
那从这个图上我们可以看到
一般来讲对于这样一个非线性环节而言
一般来讲在这个系统里面
它的基波分量基本上是最大的
高次谐波的分量
随着谐波的接触增加会越来越小
所以它对系统的影响
我们可以想象应该是比较小
甚至可以忽略的
所以我们来总结一下
怎么样从这个特征来引入描述函数
我们来看一下
如果有这样一个非线性环节
给这个系统一个正弦的输入
假如这个正弦的输入是X频率是ω
那我们在输出里面
我们可以看到
我们在输出里面一般情况下
我们会看到直流分量
我们也可以看到基波分量
和高次谐波分量
那一般来讲由于对称性
我们后边看到
和我们前面已经了解过的很多的
这个系统这个非线性环节
由于对称性实际上
我们在输出里面实际上是没有直流分量的
所以Y0一般情况下等于零
而高次谐波分量
从我们刚才的例子可以看到
它的分量的幅值大部分都比较小
所以说在这里面起主导作用的就是
这个基波分量y1sinωtΦ1这一项
所以说我们去看这个输入输出特性的时候
我们很多情况下就可以把它简化成
x乘以sinωt乘以y1sinωt加上Φ1
所以这样大家就可以看
这个系统其实就很像一个线性系统了
因为我们知道线性系统
它一个最大的特征
就是输入的频率是多少
输出的稳态响应频率就是多少
它没有高次谐波分量
所以如果只保留基波分量
我们就可以用这样一个
线性系统去近似非线性系统
那么这个近似这个非线性系统
我们就需要对这样一个
近似的线性系统对它有一个刻画
这个刻画实际上是和我们在前面定义
一个系统的频率特性实际上是非常类似的
也就说我们可以通过比较y1
就是输出的幅值y1
和输入的幅值x的他们相对关系
也就是他们的比例y1x
和输出的相角以及输入的相角
它们之间的差
通过这个来刻画
这个环节的输入输出特性
所以说这个描述函数
实际上我们就可以定义成这个样子
它是一个复数
复数的模就是输出的基波分量的幅值
和输入的基波分量的幅值它的比
以及输入的基波分量的相移e的jΦ1ωx
这样一个幅值
那这个幅值实际上是
和我们线性系统的频率特性
它的定义实际上是一样的
实际上是这个从概念上来讲
实际上是一样的
我们回忆一下对于线性系统而言
如果这个线性系统的传递函数是G
那我们在学习
线性系统频率响应特性的时候
我们知道那如果这个系统给你一个
xsinωt这样一个输入的话
这个线性系统的输出
它的幅值就是x乘以Gω的模
也就说这个输出的幅值和输入的幅值
是一个线性的依赖关系
而它的比例系数
就等于传递函数在jω这个地方的模
而输入和输出
这个频率的基波分量的相移
就等于传递函数在Gω这个地方相角
但是我们又比较一下
这个形式和这个形式又有一些不同
不同在什么地方呢
我们可以看到
在非线性环节的描述函数
就是这个Nx我们叫做描述函数
这个Nx定义里面
这个函数它实际上是x的函数
和ω没有关系
而在这个线性系统定义里面我们知道
线性系统的这个频率响应特性
实际上就是G的jω
它和x没有关系
和输入的幅度没有关系
所以这是线性系统和非线性系统
虽然我们在描述频率特性的
出发点是一样的
都是看输入和输出幅值的相对关系
和相角的相对关系
但是它的表现形式上是不一样的
那么在这里面
由于我们所考虑的非线性环节
通常是一个静态的非线性环节
什么是静态呢
也就是说一个非线性环节的输入和输出
输出的值只和输入函数当前的取值有关系
和它的过去现在实际上没有关系
只好当前有关系
这类环节我们叫做静态环节
对于静态环节而言
这个频率响应特性
只跟输入的幅值有关系
而且这个关系通常是一个非线性的关系
那如果这个非线性环节
还是一个动态的环节
那么在这里面就会有ω
就是它和频率也是有关系的
这个就会变得更复杂
那么我们在学描述函数法的时候
通常是考虑这种静态的非线性环节
去排除对非线性环节的
描述函数对ω的依赖
那对于线性系统而言
因为我们知道这个系统是线性的
所以它的频率响应特性
跟x实际上是没有关系的
它总是一个线性关系
所以这个跟x是总是没有关系的
这是和非线性系统的一个非常明显的不同
非线性系统的这个描述函数
和x 输入x幅值是有关系的
而对线性系统而言
一般来讲我们所讨论的
线性特系统都是一个动态系统
所以说这个动态系统的
频率响应特性是跟ω有关系的
所以这是为什么我们看到线性系统里的
频率响应特性是ω的函数
而非线性系统描述函数
也就是它的频率响应特性是x函数
跟频率没有关系
因为它是一个静态环节
输入输出的这个关系
所以这是我们非线性系统
一个描述函数的定义
那么定义好描述函数以后
我们再来看一下
怎么去具体计算一个描述函数
如果一个非线性环节的输入
和输出的关系给定了
那么当输入的信号xt
等于sinωt如果加上去以后
我们总可以根据这个输入输出的关系
求解出输出在一个周期内的表达式
那么这个周期是跟输入的频率有关系的
因为这个输入的频率ω
那么在这个周期内的表达式有关系的
在整个时间域上的表达式就确定了
因为yt总是一个周期函数
这是因为这个环节总是一个静态的环节
那么知道了这个表达式
我们就可以对yt做一个傅立叶展开
这个展开有可能是这种形式
就是以基波分量高次谐波分量的幅度
和相角形式给出的y1Φ1
也可能是以cosωtsinωt
以及cos2ωtsin2ωt这样的级数给出的
那这两种我们只需要知道y1 Φ1
或者A1B1就可以
其中Y1实际上是A1平方加上B1平方的根号
Φ1是A1除以A1去arctan就是反正切
所以这两对变量我无论知道哪一对
都可以根据它来计算
非线性环节的描述函数
就是如果知道Y1Φ1
就是根据我们刚才的定义
如果算出来是来是B1A1的话
那么它的描述函数就是在这里
B1除以x加上j除以A1除以x
好 那么我们再具体再看一下
其实在很多情况下
我们不需要计算这么多的参数
根据这个表达式An就是在n次
如果n次谐波的前面
cos(nωt)前面系数的An
它可以根据这个积分式来计算
那么sin(nωt)前面的系数Bn
根据这个表达式来计算
我们可以看到如果这个输出函数
是有一定的对称性
那么其中有一些傅立叶系数
其实它自然就是为零的
这样我们在计算的时候
实际上就不必要
把这些按照积分去进行计算了
也就是说如果输出yt是一个奇函数
就是是这样一个奇函数关于原点对称
如果是一个奇函数的话
我们可以看到An是等于零的
为什么呢
因为cos(nωt)它是一个偶函数
yt奇函数乘以偶函数这还是一个奇函数
那么奇函数在这个一个周期内的积分
实际上是等于零的
所以这个时候
我们如果要算这个系统的描述函数的时候
我们只是要算B1就可以了
实际上A1就不需要算了
如果这个系统的输出Y是一个偶函数
那从这个表达式也可以看出来
由于这个yt是一个偶函数
sin是一个奇函数
所以这个整个这个积分项是一个奇函数
这个奇函数在整个周期内的积分是零
所以这时候Bn等于零
所以我们要算描述函数的时候
只需要算A1就可以 Bn就不需要算了
那么还有一类比较特殊的对称性
就是我们这里所说的半波对称
这半波对称是什么意思
就说这个系统的输出函数
它在这个周期的前一半和后一半
有一定相似性
形状是一样的
但是只不过是上下倒了一下
大家可以看到
就是如果把后一半这个现象
就是如果取一个负号把它翻上去
那这个形状和前一半是完全一样的
这类输出信号我们叫做半波对称的
半波对称数学表达式可以表示成
如果我对它做一个半个周期的平移
它和前半个周期的信号
是成一个相反数的关系
那对这类半波信号
我们可以证明就是傅立叶系数的
偶次谐波的傅立叶系数
实际上全部等于零的
但是奇次谐波的
傅立叶系数可能都是非零的
所以这是我要算描述函数的时候
因为A1B1对应于奇次谐波
所以A1和B1可能都是不等于零的
这时候我们要算描述函数
两个系数都需要进行计算
那我们来看一下针对什么样的非线性环节
它的系统的输出会有上面这些对称性
首先我们来看一下
如果这个非线性环节
这个x和y的输出特性
它具有一个奇函数的性质
那我们看一下
假如说我现在输入是一个正弦函数
那正弦函数我把这个一一对应上来
然后比如说在这个地方的话
x对应是这个位置
然后对应的Y取值是它
那这个Y的取值我再反映到
这个函数这个地方
我把一点一点的全部对应过来以后
我们会发现这时候的输出也是个奇函数
所以说我们可以总结出来
就说如果这个系统的
这个非线性环节它是一个静态的
如果它是静态
输入周期输出也才是一个周期函数
如果它还是一个单值函数
就像这样一样
单值的奇函数的话
那么输出也是奇函数
因为输入是个奇函数
输出也是个奇函数
所以这个时候我们去算看这个系统
当x为正弦输入的时候
输出这个傅立叶系数所有的An都等于零
这个时候我们去算描述函数的时候
只需要去算B1就可以了
所以我们也可以看到
这时候描述函数它一定是一个实函数
它的虚部是等于零的
那么还有一类非线性函数
就说它可能是一个多值的非线性函数
就像我们在学过的滞环特性
或者说这种具有间隙特性的
非线性特性的时候
那么输出函数我们从这个图上可以读出来
它是一个半波对称的性质
那这个时候我们去算A1B1的时候
可能都需要计算
而这个时候我们求出来的描述函数
实部和虚部可能都是不等于零的
它是一个一般来讲的是一个复数函数
那么了解了描述函数的
这样一些基本的对称性以后
我们最后来看一下
对于用描述函数作为一个近似的线性系统
它和我们前面所讲的标准线性系统
一个相同和不同的地方
我们原来在学习线性系统的时候
我们知道如果有两个线性系统串联
其中的一个线性系统传递函数是j1
另外一个线性系统的传递函数是j2的话
那么这样一个复合的系统
它的输入输出特性传递函数
就可以表示成这两个线性系统
传递函数的乘积
但是对于非线性系统而言
这个关系是不太成立的
就是如果有两个非线性系统串联
而这两个非线性环节
它的描述函数分别由N1和N2来表示的话
那么从x到z
从最开始的输入到最终的输出
它的描述函数就定义为
Z1对X的依赖关系除以X
它和N1N2的关系一般来讲
它就不再等于N1乘以N2
所以这是非线性系统
和线性系统不一样的地方
但是如果我们看并联
就说如果有两个非线性环节去并联的话
就是对于同一个输入
它两个输出再进行叠加得到新的输出的话
这个关系描述函数的关系
和线性系统的关系实际上是一样的
因为我们知道线性系统
对这样一个并联的话
等效的传递函数
等于这两个传递函数的相加
对于非线性系统而言
这个描述函数
我们从它的表达式上可以看
因为C这输出这个变量
它等于y和z的叠加
就是它的基波分量等于这个y和z
这两个信号基波分量的叠加
所以说我把C用y1和z1带进去以后再除以
因为这两个环节的输入都是x
所以除以x就得到分别是得到N1和N2
所以N就应该等于N1加上N2
所以从并联上来讲的话
线性系统和非线性系统
实际上是有相同的地方
但是串联它们俩这关系就不再是相同的
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质(一)
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-拉普拉斯变换定义及性质(一)--作业
-拉普拉斯变换定义及性质(二)
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-拉普拉斯变换定义及性质(二)--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用(一):拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用(一):拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用(二):拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用(二):拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述(一)
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-控制系统的微分方程描述(一)--作业
-控制系统的微分方程描述(二)
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-控制系统的传递函数描述(一):Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述(二):控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述(二):控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换(一):传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换(一):传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换(二):传递函数框图变换
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-第二周:控制系统的概念及数学模型--框图及其变换(二):传递函数框图变换
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-信号流图--作业
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周:控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周:线性系统时域分析(一)--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据(一):Routh判据
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-稳定性的代数判据(一):Routh判据--作业
-稳定性的代数判据(二):系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据(二):系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性,参数稳定域
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-参数稳定性,参数稳定域--作业
-静态误差(一):误差和静态误差定义
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-第四周:线性系统时域分析(二)--静态误差(一):误差和静态误差定义
-静态误差(二):静态误差与输入
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-静态误差(三):静态误差的计算
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-静态误差(三):静态误差的计算--作业
-静态误差(四):系统类型与静态误差的关系
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-静态误差(四):系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差(五):静态误差的物理和理论解释
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-静态误差(六):扰动引起的静态误差
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-静态误差(六):扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
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-第五周:频率响应法(一)--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制(一)
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-复杂频率特性的绘制(一)--作业
-复杂频率特性的绘制(二)
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-第五周:频率响应法(一)--复杂频率特性的绘制(三)
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据(一)
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-Nyquist稳定判据(一)--作业
-Nyquist稳定判据(二)
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-第六周:频率响应法(二)--Nyquist稳定判据(二)
-Nyquist稳定判据(三)
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-第六周:频率响应法(二)--Nyquist稳定判据(三)
-相对稳定性(稳定裕量)
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-相对稳定性(稳定裕量)--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
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-零极点对根轨迹的影响
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-第七周:根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-第九周 系统校正(二)--反馈校正
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析(一)--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析(一)--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析(二)--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数(一)
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-第十二周:采样系统--脉冲传递函数(一)
-脉冲传递函数(二):求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周:采样系统--脉冲传递函数(二):求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试