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根据Liapunov稳定性判据
要想判断一个系统是不是稳定
我们主要是看系统特征方程的根
是不是在s平面的这个主要平面
或者说它的实部
是不是大于0还是小于0
这就意味着当我们面对一个
实际控制系统的时候呢
我们就需要来求解它的这个特征根的
求解它的特征方程的特征根
那么这就产生一个问题
有没有可能不求方程特征根
而直接判断系统的根的分布情况呢
或者判断系统的稳定性呢
那么在今天可能这个问题
并不是一个很严重的问题
因为我们可以通过计算机可以求得
任意高阶的这个方程的这个根
但是在过去这确实是一个
很困难的问题
事实上我们也知道一个特征方程
当超过五次的时候
我们是无法得到根的解析解的
在这里我们介绍一个
如何来通过方程系数
就能求取方程根是不是稳定的一个方法
我们称为Routh判据
事实上相应的判据有多个
在这里由于时间的关系呢
我们只介绍其中的一个判据
也就是Routh判据
Routh判据的主要目的是希望
能够不解特征方程
只是根据它的系数来判断
它到底有几个根在复数平面的右半部分
在这里面我们举一个例子
首先我们看这样一个特征方程
这是一个六阶的一个方程
那么对这样的方程如何判断呢
我们需要构造如下的一个Routh表
首先我们把这个表
根据阶次为s6次呢
我们大概要写成7行
从s6一直到s0
前面两行是分别把所有的项的系数
分成两部分
第一行从最高项开始
隔一项一列
比如说第一行的第一个元素
是s6的项的这个系数2
那么下一项 右边的下一项呢
就是对应的是隔一项
也就是s的4次方的它对应的系数为3
然后是s平方 系数为6
然后s0 系数为7
如果其中某一个项是缺失的
那么就在对应的空位置呢添0
下一行从次高项开始
在本例中是s的5次方项
那么我们可以看到第一项是5
第二项是s3次方对应项
对应的系数是4
你下一项是s1次方对应的系数14
好 到目前为止
我们已经做好了这个画表的准备
接下来我们开始填充
后面的一些表格
我们以这一项为例
那么这个表格的数
是怎么算出来的呢
我们首先要搭建一个行列式
这个行列式是二阶的
行列式的左边一列是由这个项上面
两行的最左边的两个数所构成
比如说对于这一行而言呢
上面两行的第一列就是2和5
那么行列式的右面两个数呢
也就是右面一列
是由它的当前格的下一格
或者上面的下一方向的两个数构成
在这里具体为3和4
这样我们就构成了一个行列式
就是2 5 3 4
同时我们还要对行列式的数取反
添一个负号 再除以一个数
那么除以哪个数
就是除以上面这一排
最左边的这个数
在我们的例子中就是除以5
这样我们就完成了第一项的计算
展开以后我们得到是7/5
接下来我们算下一个格的对应的数
在这里面我们仍然要搭建一个
二阶的行列式
其中最左边的一列
仍然是2和5
也就是对这一行而言
对应的行列式里边的最左边一列
都是上边两行最左边的两个数
也就是在这里边是2和5
但是右边这一列呢
对应的是这一格下一面的两个数
也就是上面两排中
相对于前面一格下面的两个数
也就是6和14
同样也要取反
然后再除以一个相同的数
也就是都是除以上面一行中的
最左边那个数具体点就是5
经过计算得到这个数是2/5
紧接着我们算下一个数
与前面两行相比其他都不变
唯一的变化就是行列式中的右面这一列
它的取值呢
对于当前这个格而言
它取它上面两行中的下一排
具体点就是7和0
因为这是空白相当于0
经过计算得到7
那么我们先重复一遍
下面这一行的计算呢
它的基本的形式是很相似的
都构建了一个二阶的行列式
行列式的最左边一列
对应的是这一行上面两行的
最左边的两个数
右边这一列呢则有所变化
分别对应的是当前格的
上面两行下两格的两个数
我们可以通过这个表格
可以自己去琢磨一下
它们的对应关系
这是一个斜线的对应关系
比如这一格对应的是3和4
这一格对应的是6和14
这一格对应的是7和0
那么除了构建行列式以外呢
都要乘上一个-1
再除以一个相同的数
而除这个相同的数呢
就是上面一行最左边这个数
这是它的基本规律
接下来我们就重复这样一个过程
不断地算下去
就得到整个表
我们为了大家能够理解呢
我们再举一个例子
比如下面这个数18/7
那么这个数怎么得来的呢
我们看我们同样也要构建一个
和上面一样的运算规则
首先我们要构建一个
二阶的一个行列式
我们知道这个行列式呢
它的最左边的一列
是由当前这个格
所在的上面两行最左边的两个数组成
那么分别是5和7/5
我们看一看是5和7/5
那么右边一列呢
它对应的当前格向下斜向方向
上面两行的两个数
分别是4和2/5
我们放到这里面4和2/5
然后乘上一个-1 再除以一个数
除哪个数
就要除以当前这一行
上面这一行最左边的数
也就是除以7/5
换到这里面就是乘上5/7
那么经过运算
我们得到了18/7
那么同样-11呢
也是由同样的规则所算出来的
大家回去之后呢可以自己去
根据这个运算规则自己练习一下
这样我们不断地重复不断地重复呢
最后就算到了最后一行
算到s0所对应的一行
就完成了整个Routh表的搭建
有了Routh表搭建之后呢
我们就可以来判断
系统是不是稳定的
以及系统大概有几个
在s平面 右半平面的根
第一个结论是这样的
如果这个系统的稳定的充分必要条件
是所有的这个第一列
也就是我们最关注的
就是左边的这个第一列的所有数
如果这个列的所有的数都是正数
那么系统是稳定的
同样如果系统是稳定的
左边的第一列也必须是正数
在我们这个例子中呢
我们很不幸我们有一个数
出现了一个负数
这就说明当前这个系统是不稳定的
那么除了判断不稳定之外呢
我们还可以获得更多的信息
根据符号的一些变化的规律
我们可以得知呢
这个系统大概包含几个不稳定的根
我们观察这样一个事实
我们这里面一共有一个负数
那么上下两个都是正数
那么我们可以说呢
在整个这一列中出现了两次变号
第一次变号从正变成了负
第二次从负变成了正
说明有两次变号
两次变号说明这个系统
在右半平面有两个根
或者统一来说第一列中
变号的次数对应了当前这个系统
在右半平面根的个数
接下来我们再举一个例子
在实际运算过程中呢
不会每次都这样得有规律
我们会出现一些特殊情况
这个特殊情况主要表现在
第一列计算出可能会出现0
我们以这样一个方程为例
首先我们根据阶次的关系呢
我们从s4次方一直罗列到s0次方
所以整个运算一共是五行
那么其中第一行它对应是最高项开始
在本例中是s4次方
所以从s4次方开始 隔一项一列
那么s4次方对应的系数是1
那么s平方对应的系数是10
以及s0次方对应的是24
下面一行从次高项开始
也就是我们的s3次方对应系数是5
下一项是s1次方对应的系数是20
准备好之后我们就可以开始计算了
我们为了大家能够记忆方便呢
我们再重复一遍计算的过程
当我们算当前这一格的数的时候
我们首先要构建一个二阶的行列式
行列式的最左边一行
是对应的上边两行的最左边的一列
也就是1和5
右边的两个数分别对应的当前格
斜向后方的两个数 也就是10和20
同时乘上-1再除以上边一行最左边数
也就是5 得到的是6
右边这一格的数呢
将完成完全一样的计算
唯一的区别就是行列式的右边一列
被代替为它的
它当前斜后方的两个数也就是24和0
那么到这一行运算还是很正常的
但是接下去我们会发现
当我们再算下一个数的时候
我们会出现一个0
刚好出现一个0
如果出现0的话我们知道
会带来什么样的问题呢
就是在计算后面的运算的时候
我们可能要除以这个0
就是产生无限大的结果
在这种情况下
我们就会用一个无穷小数ε来替代这个0
继续完成后面的运算
接下来我们同样完成类似运算之后
我们会得到s0对应的数是24
虽然我们引入了一个无穷小量
但是刚好被消掉了
那么如果在出现0的情况下
那么它的根的分布就与之前有所不同
这个系统中可能会出现一些其他情况
在这个里面我们观察一下最左边的一列
分别是1 5 6 0和24
我们有这样的结论
如果我们替代0的这个无穷小量
元素的上下元素
在本例中就是6和24
符号相同 我们则认为系统中
会包含一对纯的虚根
如果这个元素的上下符号不同
也就是一个正一个负的话
那么就会认为系统中存在着一次变号
也就是存在着一个右半平面的根
具体在本例中0的上下两个数
6和24刚好是同号
这就意味着这个特征方程
包含有一对纯虚根
如果我们直接求解这个方程的话
我们会发现它的根
刚好是±2j和-2，-3
也就是说我们除了两个稳定的根以外呢
确实存在着一对纯的虚根
我们再看一个例子
在本例中和前面很相似
也出现了一个0
我们用一个小量ε来代替
代替以后呢 继续算下去
我们得到一个-3-2/ε以及2
由于我们取的这个ε
是认为是一个很小的一个正数
我们可以发现这个下面这个量
-3-2/ε呢也是一个负数
我们统一来观察最左边一列
我们可以发现0元素的上下两个数
符号相异 我们就认为产生了一次变号
同时从这个负号到2
又产生了一次变号
所以一共有两次变号
根据这样一个现象
我们可以判断出来这样一个方程
它会有两个在右半平面的根
实际上我们通过求解很容易得到
它的根是1 1和-2
与我们观察到的变号方式是完全一致的
接下来我们再看一个更特殊的情况
假设我们有这样一个方程
我们首先要准备它的头两行
也就是它的系数的表
分别是从最高次开始是1 24和-25
第二行是次高项开始
隔一项一列2 48和-50
对于这样一个表
我们会发现如果我们完成
前面所介绍的这个搭建表格计算过程
就会发现第三行两个数都是0
如果两个数都是0的话
我们可以想象
再继续算下去已经没有意义了
因为所有的项都将变成0
在这种情况下我们如何来处理呢
为此我们搭建一个辅助多项式
而辅助多项式的选择呢
刚好就以上一行
上一行它所对应的阶次
来构成一个辅助多项式
具体而言上一行对应的2
2对应的高项是s4次方
所以我们得出这个辅助多项式
就表示为2s^4
+48s^2-50
然后对这个辅助多项式
我们做一次求导
我们得到8s^3+96s
我们就把求导后得到的两个系数
8和96替代前面出现的全0行
放到这一行里面去
也就替代两个0 分别放8和96
这样我们就可以继续完成后面的计算
得到了这样一个一列
在这种情况下我们根据之前的结论
0的上下 0元素的上下同号
说明这里包含了一对纯虚根
同时出现全0行
说明有一对大小相等原点对称的根
这个根刚好可以从辅助多项式中
能够直接求得
同时最左边还出现了一次
从正到负的变号
说明系统会存在一个正实根
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