当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第七周：根轨迹方法 > 根轨迹的图像 > Video
同学们好
这节课我们来根据
我们上节课学过的
根轨迹一些基本性质
来讨论一下
怎么去画根轨迹的形状
首先我们来看一个简单的例子
比如说在这个例子里面
我们的开环传递函数
是一个二阶系统
K乘以s加2除以s的平方
加上2s加3
那我们来看一下
这个根轨迹从哪开始到哪结束
我们知道这个开环系统的
传递函数有两个极点
很容易求出来
它的这个是一对
复的共轭的开环极点
负1加减j根号2
那这个系统还有一个零点负2
所以说我们首先
很容易可以判断
这个系统一定有两个分支
这两个分支
分别从两个复共轭的
开环极点开始
其中一个分支是终结于
我们一个开环零点负2
另外一个分支
它是要趋于无穷远
所以这是我们首先
从这个开环零极点
很容易可以判断这些基本的性质
那么第二个性质
就是我们实轴上的根轨迹
大家可以看到
这个系统在实轴上
只有一个零极点
就是这个零点负2
所以说我从第一个零点开始
往这个实轴的左半轴走
所以从负2一直到负无穷
这部分都是我们实轴上的根轨迹
也就是说负无穷到负2这部分
大家看一下渐近线
我们知道这个渐近线
它的公式是正负180度
乘以2K加上1除以n减m
也就是说零极点个数的差
在这里面我们有两个极点一个零点
所以这个分母就是1
所以这个γ它的角度
一定是负180度
因为它只有一条渐近线
是往无穷远走
所以它的我们只需要求
一条渐近线的角度就可以
而这渐近线
实际上我们在这画出来
就可以看到它实际上
也就是我们刚才求出来
实轴上的这条根轨迹的这部分
它是往负180度走的
那么下面我们看一下
我们这个系统的根轨迹
它有没有分离会合的地方
那么求这个分离会合点
我们前面有这个
推导出了它的一些系统的方法
首先我们把这个闭环系统的
特征多项式写出来
那么它应该满足
s平方加上2s加3加上K s加2
它应该是等于0的
那我们把这个等式
把这个方程整理一下
就可以把K写成
一个s的有理分式
我根据这个分离会合点
它所要满足的必要条件
这个K它对s的导数
也就是我们求解出来的这个函数
就是这个函数如果求导
得到这个函数它应该是等于0的
所以我们解这个方程
就得出来我们应该有两个点
应该有两个点
是满足这个必要条件的
当然这两个点
不一定都是我们的分离会合点
甚至可能都不是
所以我们要检查一下
在这两个点对应的这个增益
我们可以看到
在第一个点-3.732的地方
对应的增益K是大于0的
那在另外一个点
它的增益是小于0
所以我们有一个分离会合点
就是在实轴上-3.732的地方
所以它是一个分离点
所以我们现在就可以
把实轴上这部分把它画出来
我们知道从负2到负无穷这部分
都是我们这个根轨迹的地方
因为我们负2是个零点
负2是个零点
所以有一个部分的根轨迹
因为是要往负2这个地方走
终点这
那么无穷远也是终点
所以它有一部分根轨迹
一定也是往左边走
趋近无穷远的
所以说它们一定是
在中间某个地方分离
这个分离点
就是我们求出来的-3.732
至于另外一个点
-0.268这个点我们可以看出来
它实际是在我们实轴上
根轨迹外面
它不在我们的根轨迹上面
所以它不是一个分离会合点
我们大家看一下
这个极点的出射角
极点出射角
那么这个极点的出射角
我们知道这个有一对共轭的负极点
就是我们的负1减加j根号2
我们求一下在上面这个点
p1的这个出射角
我们根据前面推导出来
这个出射角的这公式
也很容易可以算出来
它的出射角应该是145度
那根据对称性
从p2点的出射角就是负145度
这是我们的出射角和入射角
那么判断出来这些性质以后
我们还可以看一下
根轨迹它和我们的虚轴
到底是不是相交
也构造说这个系统的稳定性
有没有变化
K的这个增加会不会有变化
那这个我们可以
从两个角度去判断
第一个我们可以根据根轨迹的走势
我们可以看到
那么这个系统的这个
实轴上的根轨迹
是从负2到无穷这个地方
而我们的根轨迹的起点
是从无穷 从这个p1和p2开始
它一开始就是往左边走
一开始就是往左边走的
所以说我们按照这个趋势来讲
这个根轨迹不应该会跑到
这个复平面的右半平面去
也就是说它和虚轴
不应该会有交点
那么当然这个判断
它不是一个严格的判断
我们要严格的去判断
我们还可以去根据
它的闭环特征方程去判断
也就是说我们把这个闭环极点
所满足的这个特征方程写出来
我们看一下是不是去解这个
它和这个虚轴交点这个方程
去解相应的ω和K
如果我们能解出来
某一个ω和某一个大于0的K
满足这个方程
那么它一点有交点
如果解不出来
那么这个一定是
就是说它这个根轨迹
和虚轴是没有交点的
所以这是我们
能判断出来一些性质
那么到这为止
我们就可以把前面
所分析出来这些性质
把它综合一下
就是说我们现在知道
这个根轨迹有两个分支
从起点 从两个共轭的极点开始
然后是以145度和负145度出射
然后它的终点是负2和无穷远
负2和无穷远
然后它在这个
负的这个3.732的地方
发生了会合和分离
所以说我们按照这个趋势
来沿这个方向出射
然后出射到这个分离点 会合点
然后一直往这边走
一直往这边走
下面也是类似
所以这样我们就可以
把根轨迹的这个草图
把它画出来
那这个草图画出来
因为实际上我们最关心的
实际上是这个起点在哪
终点在哪
它的分离会合点在哪
至于它们这个位置
中间的这部分位置
它的大体形状
实际上在很多情况下并不重要
就是说我们只需要知道
这个趋势就可以
当然对这个简单的系统
那么这部分我们实际上是可以去证明
实际上我们是
实际上是可以证明的
那这个弧线部分
它实际上就是个圆
就是个圆
但是时间关系
我们在这不做证明
好 下面我们看一个
稍微复杂一点的例子
这个例子是一个四阶系统
首先我们看一下
这个四阶系统的这个分子
实际上就是一个K
也就是说它这个没有零点
就是这个系统没有开环零点
那么它有四个开环极点
分别是s对应的0
然后这项对应的-2.73
和这项对应的一对复共轭极点
负1加减j1
所以从这个性质上
我们这个马上就可以判断
那么这个系统的这个根轨迹
一定有四支
一定有四支根轨迹
分别从这四个开环极点出发
那么由于我们系统没有开环零点
所以它所有根轨迹的终点
都是往无穷远走
所以这是第一个性质
那么实轴上的根轨迹同样道理
因为我们把所有的
实轴上的开环零极点画出来
那么只有这两个
只有这两个开环零极点
我们从最右边这个
不管是极点还是零极点出发
然后一直往左边连线
我们最后会发现
只有这段是在我们的实轴上根轨迹
是在我们实轴根轨迹上面
所以这是实轴上的根轨迹
它有这么一段
再往下我们看一下渐近线
渐近线我们根据公式
它是应该等于
正负180度乘以2K加1
除以n减m
n减m是我们零极点个数的差
这里面我们有四个极点
0个零点 所以这个差是4
这样我们求出来
我们把K用不同的数代进去
K等于0 1 2 3
我们代进去以后
会得到四个不同的角度
分别是正负45度
和正负的135度
那么这个渐近线
和我们实轴的交点
我们同样也用这个公式代进去
最后可以算出来
它是在负的1.183这个地方
所以说我们首先可以
在这里面我们可以把它画出来
就是在这个平面上我们可以看到
复平面可以看到
就是我们有四个开环极点
一对是共轭的
两个是在实轴上
而且这两个实轴
两个实轴这个极点之间的连线
是我们根轨迹的一部分
而且我们知道这四条渐近线
分别沿着正负45度
和正负135度四个方向
这是四条渐近线
我们知道这四条根轨迹的分支
分别是沿着这四个方向走的
而且这个渐近线
和实轴的交点
是我们刚才计算出来的
-1.183
然后我们下面来看一下
我们这个四条根轨迹
它会不会有分离会合点
会不会有分离会合点
好 我们看一下首先我们知道
因为这有两个开环的极点
在实轴上
所以从这两个开环极点出发
它分别是相对而行
所以在中间某个地方
一定会有会合点
会有会合点
我们看看这个会合点在什么地方
同样道理
我们由闭环系统特征方程
把K表示成s的闭环极点s的函数
然后对这个函数进行求导
进行求导得到这个方程
那么我们去解这个方程
当然具体怎么解这个方程
我们需要用计算机帮忙
我们可以解到
其中有一个实根
s等于-2.0565
然后我们也可以算一下
对应于这个
在这个闭环极点的这个地方
也就是说我们把这个
s等于-2.0565
代回到这个方程里面
就可以算出来
它对应的K的增益是2.931大于0
也就是说这个点
一定是我们的根轨迹的
一个会合点
也就是说我这两个 这两个
就是0和-2.73这两个极点
出发开始的根轨迹
是在这个地方会合
所以说有了这些特征以后
我们就可以大概能判断出基本形状
那为了更准确判断出
这个根轨迹的形状
我们还希望能够知道
从这个极点出射的角度
从哪开始出射的
那么下面我来看一下
根轨迹从复数极点出发的出射角
那么这个出射角的计算
我就不再详细解释了
就是利用我们前面推导的
从复极点出射角的这个公式
我们把它代进去
就可以得出来
它从复平面上半平面
就负1加上j1这个点出射的角度
是-75度
那么同样道理根据对称性
从下面这个极点出射角度
是正75度
所以我们画一下
就是这个样的
就是从我们上面这个角是沿
是往下走 是沿负75度出发
那么从下面是往正75度出发的
这样一个方向
好 我们再来看一下
这个根轨迹和我们的虚轴
是不是有交点
为了求这个交点
我也验证有没有交点
如果有的话这个交点是多少
我们可以把s等于jω
代到闭环系统特征方程里面
把它的这个实部和虚部分开
这样我们就会得到这两个方程
那么这两个方程 两个未知数
一个K 一个ω
我们可以把它分别解出来
我们得到了最后的这个解的ω
应该是等于正负的1.0744
K 等于7.28
由于我们解出来
这个增益系数K是大于0的
所以我们可以判断
那么这个jω
所对应的这个虚数
纯虚数一定是在我们的根轨迹上
一定是我们的一个
对应K等于7.28的
一个闭环系统的极点
所以说我们从这里面可以判断
这个闭环系统这个根轨迹
一定会和我们的虚轴相交
而这个虚轴相交的这个交点
正好是在我们这个渐近线
稍微靠下一点这个地方 靠里
和下面这个交点
在我们这个渐近线
稍微靠上一点这个地方
所以有了这些性质以后
我们就可以来看一下
我们最后的根轨迹
应该是什么样子的
首先我们来这个
再把它综合一下
我们知道这个根轨迹有四个分支
它们的起点是起于四个极点
一个极点在原点
一个极点在-2.73
另外两个极点是在
是一对共轭的这个极点
是四个起点
那由于我们这个系统没有零点
所以这四个分支
全部是趋近无穷远
那么它的渐近线
那么渐近线就大概是这个样子
是按照这四个渐近方向去趋近无穷远
正负45度和正负135度
那么实轴有一段根轨迹
是从0到2.73这一段是在实轴上
好
那么我们从这两个复极点的
这个出射方向
我们也求出来
一个是沿负75度
一个是沿正75度
而我们这个分离会合点
在这个地方我们也求出来了
所以根据这些性质
我们就可以判断
从这两个极点出发
一直往这边走 一直往这边走
在这发生会合
分离以后一支是往这个方向走
一支是往这个方向走
那另外一个两个分支
一个是从复极点
上面这个复数极点开始先往下走
然后它又往正45度
这个渐近线走
所以先往下拐然后又往上走
最终趋近无穷远
同样道理
下边分支就是这个样子
所以通过这几个特征
我们就可以把根轨迹
把它这个通过这几个特征
把它描绘出来
好 那么通过上面两个例子
我们可以简单的知道
如何去通过对根轨迹性质的分析
去画出根轨迹的草图
那我们这节课的内容就到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
--Video
-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
--Video
-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
--Video
-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
--Video
-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
--Video
-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
--Video
-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
--Video
-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
