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本节我们介绍一下
如何利用开环系统的对数幅频特性
和相频特性
来研究系统的闭环的性能
我们特意指出的是
我们后面的内容
主要是针对最小相位系统
首先第一点如何从开环对数幅频特性
判断闭环的稳定性
我们根据之前的Nyquist稳定判据
我们会知道系统是不是稳定
我们主要是关注某一个点
也就是剪切频率点
当系统剪切频率点的时候呢
如果它的相位要是等于负180
就意味着系统会处于临界稳定
如果超过了负180度
那么系统就会变成不稳定
那么如何来改变
一个开环的频率特性
而使得它具有更好的稳定性
这里边我们可以希望
开环的对数频率特性穿越0分贝的时候
斜率为负1
而且有一定的宽度
那么为什么会有这样一个结论
我们回忆一下
我们之前在介绍最小相位系统的时候
曾经给大家介绍一个规律
最小相位系统如果它的幅频特性
按照某一斜率比如说负1
而且宽度足够宽的话
那么它对应的角度就是负二分之π
如果斜率是负K
那么对应的就是负二分之Kπ
那么显然如果我们保证
与横轴的这个穿越这个斜率是负1
就意味着在剪切频率附近
它对应的相角就会趋近于负二分之π
从而远离负180度
这就使得我们的系统
就拥有了较大的相角裕量
这也是为什么我们在设计控制系统中
经常会产生这样的需求
就是希望我们的开环系统的频率特性
能够以负1斜率穿过我们的0分贝轴
接下来我们围绕这样一个
举一个例子看这样一个系统
它的对应的一些情况
这里边我们设穿越频率为ωc
同时左边有一个转折点是ωc比2.5
右边还有一个转折点是2.5倍的ωc
从斜率变化情况我们可以发现
最左边是负2
意味着它包含有两个积分
然后到了转折点之后变成了负1
就意味着可能增加了一个一阶微分
而到了第二转折点又变成了负4
就意味着出现了三个惰性环节
那么我们很容易就把这个系统
写成这样一个形式
当然我们能够写出这样的表达式
是基于系统是一个最小相位系统
如果是非最小相位系统
我们是很难直接写出这样的表达式的
那么根据这样的表达式
我们就可以计算一下
当系统在处于剪切频率的时候
它对应的角度
因为我们都选取了ωc为单位
所以我们可以很容易设出这个角度值
我们发现当ωc的时候呢
它对应的角度是负180
以及一个微分环节
和三个惰性环节所一块形成的一个角度
等于负177.2度
实际上负177.2度呢
是比较接近于负180度的
也就是说在当前这个系统中
系统处于一个临界稳定的情况
它这个例子中负1的宽度是6.25
6.25倍 当前这个系统是临界稳定
但是系统还是稳定的
一般情况下我们会希望
这个负1的宽度能够达到5到10倍
那么同样这个例子
我们来看一看
如何从它的这个对数幅频特性当中
看出系统的静态性能
我们知道既然是研究静态性能
所以我们主要关注它的低频段
那么低频段我们从它的斜率来看
它是负2斜率
说明在低频段包含有两个积分
所以该系统是一个二型系统
那么顺便我们有这样一个小问题
这个K是如何求出来的
那么求出K呢
我们可以利用这个斜率的关系
我们可以很容易求出K的值
这个大家可以回去练习一下
也就是说通过对数幅频特性
我们可以判断系统的形式
从而来判断系统的静态性能
那么我给大家一个思考题
如果能够继续提高低频段增益
而不改变中频段的特性呢
一般情况下如果我们整体的
提高增益的话
不仅能提高低频段的增益
同时也会使得整个曲线向上移
向上移的结果
会使得它的剪切频率向右移
会使得系统会处于更加不稳定
第三点我们从开环的
对数幅频特性的中频段
来判断闭环系统的动态性能
我们知道这个动态性能
其实是与系统离稳定的距离有一定的关系
所以可以想象它的稳定裕量
与它的惰性有一定的联系
比如这里面稳定裕量与超调
就有一些近似的关系
对一个闭环系统的峰值
我们可以约等于是一个
相角裕量的正弦的倒数
而有了这个闭环的峰值
所谓闭环的峰值呢
就是闭环系统对于闭环系统的
频率特性的峰值
有这些峰值我们给一个近似的公式
关于超调的
大概是当Mr小于1.25的时候
它大于等于100倍的Mr-1
如果Mr大于1.25呢
它大于等于50乘根号下Mr-1
比如当Mr等于1.25的时候
我们可以简单算一下
它大概等于25
因为超调是百分制
所以也就是说超调是25%
还有一个更加粗略的一个估计式
超调大概约等于
2000除上相角裕量减20
相角裕量单位往往是度数
比如我们的裕量是60度的话
那么这个数算完之后大概是十几
也就是超调大概是百分之十几
那么同样给大家思考问题
如果稳定裕量不够
我们应该加入怎样的环节呢
接下来我们看一看剪切频率的ωc
与过渡过程时间ts的近似关系
因为我们说过我们系统惰性的研究
主要关注两个指标
一个是超调一个是过渡过程时间
那我们看一看系统的中频段的一些特性
与系统过渡过程时间的一些关系
假设我们取一个比较简单的对象
它是一个积分环节
那么系统做单位闭环以后
它的闭环的传递函数就是K比上S+K
可以写成这样一个形式
那么这是一个时间常数为K分之一的
一个惰性环节
对于这样一个惰性环节
它的闭环的整个的一个过渡过程
大概是3倍的一个时间常数
也就是K分之三
同时我们知道对这个系统而言
它的剪切频率也就是K
因为开环系统它是一个积分环节
所以它与横轴的交点
就对应着频率为K
也就是说它剪切函数ωc等于K
那么我们得到这样一个关系
ts等于ωc分之三
这意味着当我们的K变大的时候
它的剪切频率同样变大
而系统过渡过程时间会变短
而ωc变大就意味着系统的频带加宽
那么过渡过程减少
说明频率尺度与时间尺度成反比关系
对于复杂系统其实也有类似的关系
我们大概可以给出这样一个计算公式
整个系统的过渡过程时间
大概约等于4到9倍的ωc分之一
也就是说如果开环系统的
剪切频率是ωc的话
那么它的过渡过程时间是与之成反比
大概是4到9倍的关系
最后我们看一下高频段特性
与动态性能的关系
高频段一般都要求尽可能下降的快一些
从而抑制噪声
那么高频段除了抑制噪声以外呢
它在系统的动态性能中也会有一点点表现
我如果从这个图我们可以看到
不同的高频的增益会产生不同的影响
尽管影响不是非常的明显
但是会产生一些微小的变化
总的来说高频段的带宽越宽
阶相的上升沿较好
这意味着我们的高频段越宽
也就意味着我们通过系统呢
会通过更多的高频信号
更多的高频信号
就意味着系统在快速变化的时候
会表现的更加良好一点
事实上我们有这样的结论
开环系统的低频段
会影响过渡过程的结尾部分
而高频段会影响开始的部分
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