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本节我们介绍一些基本单元的频率特性
首先从比例开始
一个比例单元非常简单
它的传递函数是一个k
所以对应过来它的频率特性
它的幅值是k角度是0
因为太简单了我们就不再画出来了
第二个是积分单元
积分单元它的传递函数是s分之一
那么对应的频率特性就是jω分之一
它的赋值是ω分之一
角度始终是-90度
我们可以画一下它的极坐标图
由于它的幅值是ω分之一
这就意味着当ω等于0的时候
它对应的幅值是无穷大
当ω等于无穷大的时候
它的幅值对应的是0
所以它的极坐标图就是从无穷大
一直到原点
由于角度始终是-90度
所以这个过程始终沿着虚轴的负半轴
我们画它的伯德图
我们可以看到由于它的幅值是ω分之一
如果我们取对数的话
就意味着它的图像是一条斜线
是条斜直线
它的斜率就是-20
因为我们是分贝
20就来自于分贝的这个单位
有的时候你可以认为是负1
所以这两者是完全等价的
它的斜率是一条负直线
那么我们知道定位一条负直线
只需要一个点就可以
也就是我们从我们这个斜直线
与横轴的交点
这个点很关键
后面我们会不断的
反复的提到这样一个点
对于积分的单元而言
这条直线与横轴交点怎么算呢
我们首先看一看
什么叫直线与横轴交点呢
因为与横轴相交
就意味着这个点上的
这个点频率所对应的幅值等于0
或者说它的幅值的对数等于0
这意味着它的幅值本身等于1
我们可以看到当ω等于1的时候
它的幅值刚好等于1对数等于0
所以说这个ω等于1
就对应着它与横轴的一个交点
我们把这个积分单元稍微做点拓展
假设我们有另外一个稍微
乘上一个比例环节的积分
也就是s分之K 在这种情况下
它的斜率是一样的
也都是以-20斜率
斜穿我们的横轴
那么具体到哪个点相交呢
根据前边我们对于相交点的一个定义
在相交点上它的幅值的对数等于0
而幅值本身等于1
所以可以很容易算出来
当ω等于k的时候
它对应的它的对数幅值等于0
幅值等于1
所以如果我们单元是一个s分之k
那么如果画成对数频率特性
就是一条负的斜线
斜率是-20或者-1
与横轴交于k点
请大家熟悉一个积分单元的一个
它的画法
第三个是惰性环节
因为在之前我们做了详细的介绍
所以在这里我们就不展开了
我们介绍一下二阶振荡环节
它的传递函数可以写成这样一个形式
这是我们非常熟悉的形式
如果把s换成jω
同时写成幅值和相位的情况呢
我们可以得到这样两个表达式
我们看一看对幅值来说
随着ω从0变到无穷
它的幅值是如何变化呢
当ω等于0的时候
它的幅值等于1
如果取对数就是等于0
当ω等于无穷大的时候
它的幅值就会变成0
如果取对数就是负无穷
我们先画它的这个对数的一个图的形式
那么左边当ω趋于0的时候
它也是等于0
所以始于这个横轴的无穷远处
当ω很大的时候
它就会变得很小会趋向于负的无穷
会趋向于负无穷
但是我们知道对于二阶振荡环节
有一个特征性
就是它有一个振荡的特点
从对数频率我们可以看到
当ω取某一个值的时候
它的这个曲线不是单调的往下走的
它会中间会有一个往上扬
而往上扬的高度是与这个ζ相关的
因此我们算一下
看看到底能够扬起多高来
我们把这个幅频特性求微分
也就是求它的最大值
我们可以得到这样一个结果
当ωr等于
T分之一根号下1-2ζ平方的时候
如果ζ小于根号2分之一
我们就会得到一个峰值
它的峰值等于2ζ乘上根号下1减ζ方分之一
我们仔细观察一下这个值
我们会发现如果我们的
阻尼系数ζ非常的小
它小于根号二分之一
同时非常接近于0的情况下
那么我们会得到一个非常大的峰值
这就意味着如果我们的二阶振荡环节
有非常小的阻尼系数
那么它的幅频特性会呈现出一个
向上一个非常高的一个尖峰状态
如果ζ等于0
那么这个最高值趋近于无穷大
是这样一个形状
如果ζ比较小
但是小于1的话呢
它会有一个高峰
那么有了这样一个观察
我们就可以画出二阶振荡环节的极坐标图
我们可以看一下
在ω等于0的时候呢
它对应的是幅值为1角度为0
所以它是始于实轴的1这个点
随着ω变大呢 最后它会变到这个原点
那么中间随着这个阻尼系数减少
它这个曲线会不断的放大
直到在ζ等于0的时候
会变成一个
变成无穷大
那么其中这个曲线与虚轴的交点
这一点ω等于T分之一
这一点我们可以很容易的计算出来
这是它的相位关系
它的相位是根据这样一个表达式
我们会发现当ω等于0到正无穷的时候
它的相位是从0度
单调的递减到-π
那么其中在T分之一这个点呢
它的相位取值是负二分之π
同样我们可以证明这个相位曲线
是关于一个T分之一
负2分之π这一点对称的曲线
那么接下来我们再进一步的分析一下
这个二阶振荡环节的对数幅频特性
我们还是希望像惰性环节一样
能够找到一个对它的近似
我们仔细分析它的幅频特性
如果 我们先首先找到它这个转折点
就是ω等于T分之一这个点
当ω等于T分之一的时候
它的幅值等于2的ζ分之一
那么显然如果阻尼系数太小的话
在转折点会产生一个非常大的一个尖峰
当ω很小 也就是远小于T分之一的时候
我们可以把这个ω的项忽略掉
那么幅频特性就会约等于1
也就是说当频率很小的时候呢
我们可以认为这个幅频特性曲线
可以近似为一条
在横轴上的一条直线
幅值等于0的一条直线
当ω远大于T分之一的时候
也就是比较大的时候
我们可以认为它的远大于1
我们经过这个简化
它的幅值就会约等于ω方T方分之一
如果我们取对数
就会得到一个-40倍dB每刻度
它的斜率是一个负40的一个斜率
由于我们与前面的讨论相类似
由于我们采用的是频率的对数
所以我们可以发现
当我们的频率变得很大的时候
我们这个二阶振荡环节的
对数频率特性就会近似为一条直线
而这条直线的斜率是-40或者称为-2
这样一来我们就把一条
二阶振荡环节的对数幅频特性曲线
近似为一条折线
折线的左边是在横实轴上
转折点是T分之一
在转折点的右边呢
被近似为一条向下的一条折线
它的斜率为负40
当然对一个二阶振荡环节
这个近似有一定的风险的
因为我们知道
当我们的阻尼系数特别小的时候
它的实际的对数幅频特性
是出现了一个振荡的情况
所以我们在做近似的时候
一定要注意它的与实际的偏差
有的时候需要做一定的补偿
第五个是微分环节
我们前面已经知道微分环节
往往是和一些积分环节
是相对应的
我们先看纯微分它就是一个传递函数s
它变为频率特性的话就是jω
跟之前我们总结出一个结论
纯微分环节与积分环节
刚好是一个互为倒数的关系
所以显然它的对数幅频特性
就与积分的环节的频率特性相反
取反号
我们知道一个积分环节
它的频率特性的形状是一条
向下的一条直线
斜率是-20
经过一点
那么这对应着
纯微分的对数频率特性呢
就是一条向上的直线
它的斜率是正20
同样经过一点角度是+90
而积分刚好是-90是互为反号
这样一来我们可以通过前面的规律
可以直接的把它的这个
纯微分环节的对数频率特性画出来
我们再画一下它的这个极坐标图
对微分环节它的幅值等于ω
角度等于+90
所以当频率从0到无穷变化的时候
它的极坐标轨迹就从原点
沿着正虚轴趋近于无穷远点
接下来我们再看一阶微分
那么一阶微分的传递函数是Ts+1
它刚好与一阶惯性环节是互为倒数
所以既然有这样一个结论
我们可以直接得出
它的对数的幅频特性
我们知道一个惯性环节
它的对数幅频特性是一条折线
当然我们在这里我们指的是一个
近似的对数的频率特性
是一个折线向下折线
左边的是在横轴上
到转折点以后
会以一个以-20的斜率向下的直线
相应的对一阶微分环节呢
就变成了一个左边
是一个在横轴上的直线
转折点之后呢
是一个向上的斜率为+20的一条直线
而同样的对于对数相频特性而言
也是互为反号
我不知道对于一个一阶惯性环节
它的对数相频的曲线
是从0到负二分之π
它的对称点是在T分之一
那么对一个一阶微分环节
它的相频特性就是从0到正二分之π
与惰性环节刚好互为反号
如果画成极坐标图
它是一条从始于实轴上某一点
一直垂直向上的一条轨迹
大家可以回去验证一下
我们再看一下二阶微分
二阶微分与前面见过的二阶振荡环节
是相对应的
它的幅值和相位的表达式分别如下
那么同样既然是与二阶振荡环节
是互为倒数
那么它所有的对数的幅频特性
和相频特性都是互为反号的
所以我们可以直接画出
一个二阶微分环节
它对应的对数的幅频特性和相频特性
那它的幅频特性我们可以看
它是一个从0 实轴上0点开始出发的
带有一定的向下的突出的一条曲线
然后就转过来是向上
如果我们画成近似的折线的话
那么它就近似为左边是在实轴上
零值的一条直线
过了转折点以后
变成一条向上的斜率为+40的一条直线
与二阶振荡环节刚好相反
那么它的对数相位特性
同样是这样
我们知道二阶振荡环节是从0到-π
那儿对于二阶微分环节
就变成了0到+π
同样是相对于T分之一
二分之π这个点对称
那么极坐标图大家可以看一眼
它采用这样一个形式
因为它不是很重要
所以我们就不细讲了
大家回去自己验证一下
下一个环节是延时环节
延时环节的传递函数是e的-τs
把s换成jω
我们得到这样一个表达式
这是一个非常简单的表达式
它的幅值很有特点
就是它的幅值恒等于1
角度是-ωτ
如果画成极坐标图就意味着
这个它的变化轨迹
是从这个实轴上的这个1点
沿着一个圆 一个半径为1的圆
不断的旋转
这是它的极坐标图
如果画成对数坐标图呢
我们可以发现它的相频特性
就是实轴本身
因为它的曲度的时候它等于0
它的幅频特性就是实轴本身
而它的相频特性是一条
向下的一条曲线
当ω等于τ分之一的时候
它的这个大概的角度是-57.3度
接下来我们介绍一下不稳定单元
因为前面的单元基本都是
我们可以称为是稳定单元
所谓不稳定单元呢
就是在系统传递函数中呢
存在着不稳定的极点
也就是在它的分母多项式中
有实部为正的根
或者说正实数根
我们举两个比较典型的例子
就是一个一阶的不稳定单元
我们看这两个单元
我们就会发现
它都存在着一个正的一个极点
也就是不稳定极点
为了讨论的整体性
我们同样再加上这样一个对象
也就是-1比上Ts+1
那么与我们之前介绍的惯性环节
它们四个刚好够成了一整套
如果我们把s替换成jω
也就是说如果我们求它们的
对应的频率特性的话
我们都会发现一个规律
这四个单元加上那个惯性环节
它们的幅频特性是完全一样的
既然完全一样
那么它的这个
如果画成极坐标图的话
都可以都被表示为一个半圆
那实际上它们这四个半圆是不一样的
它们位于不同的象限
为什么会位于不同的象限呢
就是因为它们的角度
也就是它的相频特性是不一样的
随着ω的从0到无穷
它的角度变化的范围是不同的
我们分别介绍一下
比如第一个单元它的角度
可以写成-argtg -ωT比1
那么其实前面那个负号呢
我们可以理解为是一个
取倒数的过程
对于这样一个式子
但ω从0到正无穷
它里边的度数就从0到-90度
如果取反号就是0到90度
那么它既然是一个半圆
而且角度从0到+90度
显然这个单元对应的极坐标图
就在第一象限
也就是在第一象限的一个半圆
那么同理我们可以求出
后面两个对象的它的角度变化范围
分别是180到270和180到90度
也就对应了在第三象限和第二象限
那我们回忆一下
我们惰性环节是在第四象限
那么刚好它们四个覆盖了四个象限
那么对于这个不稳定单元
其实我们特别关心的一点就是
它的角度的变化范围
所以大家一定要记住
这么一个重要的规律
当我们看到一个对象的时候呢
我们特别关心的一件事情
就是当ω从0到正无穷变化时
它的角度的总的变化范围
我们通过记住半圆
可以有利于我们的记忆
因为这四个对象它的极坐标图
都有一定的特点
它都是始于实轴终于原点
那么但是位于不同的象限
我们如何来判断它在哪个象限呢
一个比较简单的方法
就是我们可以把这个s
代换成一个具体的数值
比如它是jω
我们可以代换为ω等于1
我们可以看一看
当某一个具体值的时候
它那个点在哪个象限
那我们自然就判断出
这个半圆是在哪一个象限里边
那么有了这样一个象限的一个位置
我们根据它始于实轴终于原点
这样一个过程
我们就可以大概的判断出
它的这个对象的相位是如何变化的
比如说对这样一个例子
它始于实轴终于原点
从第三象限走过去
那么就意味着它的角度变化呢
就是从π到二分之3π
或者从负π到负二分之π都是一样的
总而言之我们今天介绍了一些
主要的单元的它的这个对数幅频特性
和极坐标图的一些画法
请大家一定要熟练掌握
这些基本单元的频率特性的一些形式
以及画的方式
这对于我们后面来绘制
复杂系统的频率特性极为重要
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