当前课程知识点：线性代数(2) > 第一讲：正定矩阵 > 1.3 半正定矩阵及其判别条件 > 1.3 半正定矩阵及其判别条件
刚才我们看了实对称矩阵
特征值如果都是正数的时候
我们叫正定矩阵
我们给出来它的判别条件
看了正定矩阵的性质
那么下面我们来看
给定一个实对称矩阵
如果它的特征值都是非负数
那么这样的矩阵
我们也给一个特别的名字
我们叫半正定矩阵
这样的矩阵
相应的我们叫在矩阵里头的
非负数的一个代替物
那相应于实对称矩阵
是正定矩阵的判别条件
我们可以给出来实对称矩阵
是半正定矩阵的判别条件
第一条是我们的定义
这个矩阵的所有特征值
都是非负数
第二条
对于所有的向量X
总是有X的转置乘以A
再乘以X大于等于0
那注意到这时候
我们不特别要求X是个非零向量
因为对于零向量而言
零向量的转置乘以A再乘以0向量
等于0是自动成立的
也就是说
我们现在可以对所有的向量X
都有这件事情满足
那存在着矩阵R
使得A的等于R的转置乘以R
这时候R可以是不可逆阵
当然也可以根本就不是方阵
我们就是去掉了
刚才在正定矩阵判别条件里
列满秩的条件
第四条
它的所有主子式都是非负的
那这四条的等价性
证明跟刚才类似
我们就不再重复了
那注意到这个时候
我们不能把第四条
所有主子式大于等于0
给换成顺序主子式大于等于0
我们可以举一个例子
最简单的2乘2的矩阵
0 0 0 -1这个矩阵
它的顺序主子式
一阶顺序主子式是0
二阶顺序主子式就是这个行列式
也是0
但是我们对于向量0 1
X的转置去乘以A
再乘以X是等于-1 是小于0的
A不是一个半正定矩阵
也就是说
我们矩阵A它所有的顺序主子式
是大于等于0
推不出来它是半正定矩阵
这是半正定矩阵
和正定矩阵的一点重要的区别
它们并不是所有的等价条件
都可以类推过来的
事实上在这个例子里头
我们说这个矩阵A
它是一个半负定矩阵
那它是一个对角矩阵
对角线上的元素又是它的特征值
它的特征值一个是0 一个是-1
是非正的
我们叫做半负定矩阵
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
