当前课程知识点：线性代数(2) > 第二讲：相似矩阵 > 2.1 引言 > 2.1 引言
大家好
我们在线性代数1讲到
如果矩阵相似于对角阵
我们可以方便地计算矩阵的幂
和矩阵的指数函数
但是并不是所有的矩阵
都能够相似于对角阵
这节课我们来讨论
矩阵的相似标准形及Jordan标准形
我们说n阶矩阵A
如果有n个线性无关的特征向量
V1到Vn
我们把V1到Vn作为列向量
构成矩阵S
那么我们用矩阵的语言
就可以写成是AS
等于S乘以这个对角矩阵
对角线上的元素是特征值
入1到入n
那么我们也可以写成S逆AS
等于入 是对角阵
这时候我们称A是可对角化的
那么如果一个矩阵
可以对角化的话
我们就容易去计算A的k次幂
计算e的A次幂
那么我们可以会求解
Uk等于AkU0这类问题
也可以去求解du/dt等于Au
这类微分方程等等
但是我们又知道
并不是所有的矩阵A
都可以对角化
比如这个简单的2乘2矩阵
主对角线上是0
然后0下面
第二行这有一个1
我们说这个矩阵
它的特征值入是等于0的
代数重数是2
而特征值0的几何重数是1
只有一个线性无关的特征向量
因此它不能够对角化
那么我们注意到这里的这个写法
S逆AS等于入
我们来下面定义说
如果两个n阶的矩阵A和B
存在一个可逆矩阵P
使得P逆AP等于B
我们就称A相似于B
用这个记号
用英文说是A is similar to B
那么很容易看到说矩阵相似
它满足以下的三条性质
第一条A和自身是相似的
我们叫自反性
这个容易把刚才那个可逆矩阵P
说取成单位矩阵
那么A和自身是相似的
而如果A和B相似
我们说存在着可逆矩阵P
使得P^{-1}AP等于B
那么PBP^{-1}就等于A
我们说B和A是相似的
这叫做对称性
那么如果矩阵A和B相似
矩阵B又和C相似
我们说存在可逆矩阵P
使得P^{-1}AP等于B
存在可逆矩阵Q
使得Q^{-1}BQ等于C
那么我们就有可逆矩阵
PQ的乘积
PQ的逆矩阵去乘以A
去乘以PQ等于C矩阵
也就是说A和C是相似的
这是传递性
有了这三条性质之后
我们说矩阵相似 它给出来
给定数域K上所有n阶矩阵所构成
这个几何上的一个等价关系
我们在这里头
多数讨论是实数域和复数域
那么用矩阵相似这个定义
刚才可对角化这件事情
我们就可以说是
A相似于对角矩阵入
那么之前关于实对称的性质
我们说
实对称矩阵正交相似于对角阵
由于并不是所有的方阵
都能够相似于对角阵
我们有一个问题说
我们想求n阶方阵它的相似标准形
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
