当前课程知识点：线性代数(2) > 第七讲：工程中的矩阵 > 7.2 弹簧模型 > 7.2 弹簧模型
大家好
刚才在简介里面我们说了
线性代数应用到实际问题
有两个原则
就是将非线性问题转化成线性的
将连续的问题转化成离散的
我们也介绍了
一些物理的线性关系的定律
是如何用哪种框架
应用到实际的问题中的
那么我们现在就以一个
弹性力学的例子来说明
这些原则和框架
我们在弹性力学中
当一个物体受到外力以后
会发生形变
那么这种形变是比较复杂的
那么我们就把这种形变
复杂的情况
非线性的转化成线性的
把连续的转化成离散的
为此我们先考虑下面一个
简单的弹簧模型
我们先回忆一下胡克定律
它是F=kx
其中k是弹簧的弹性系数
x代表的弹簧的弹性形变量
F是弹力
我们要考虑的这个模型呢
是三个质体
然后通过若干根弹簧首尾相连
那么这种呢 有四种情况
第一种情况是
两端被固定在上下的墙面上
第二种是上端的弹簧被固定住
第三种是两端弹簧均未固定
第四种是你弹簧m_1和m_3
这两个质体通过一个弹簧相连
这块这个m呢
就代表的是弹簧的个数
那么我们为了使用
在简介中的胡克定律
这样一个线性关系的物理定律
它应用到实际问题呢
是通过我们7.1中的框架
那样应用的
所以我们要引入几个量
整个系统在平衡下呢
我们要考虑下面几个量
第一个就是f_i
f_i代表的是i个质体所受到的外力
比如说受到重力
f_i就等于m_ig
第二个量u_i
u_i是第i个质体
在受到外力以后
整个系统会发生一个形变
那么质体就上下移动
比如说弹簧拉伸或者缩短
导致了这个质体的移动
那么这个量我们叫u_i
e_i呢就表示的是
第i个弹簧的拉伸或者缩短
它的长度
y_i就是第i个弹簧形变产生的弹力
有可能是压缩产生的弹力
也可能是拉伸产生的弹力
最后一个呢是c_i
c_i表示的是第i个弹簧的弹性系数
另外我们还要规定一些正负号
正负号是如下规定的
质体向下移动
那么它的位移量
我们规定为大于0
弹簧拉伸
那么这个弹簧的弹力呢
y_i就是大于0 e_i也是大于0
因为y_i呢我们知道
根据胡克定律
y_i应该是等于c_i乘上e_i
就是弹簧的拉伸或者缩短量
再乘上弹性系数等于弹力
那么反过来
弹簧压缩
我们规定的弹力是小于0
e_i也是小于0
大家回忆一下我们在开始的框架
就是u 这个e y
最后这个f
我们规定这些量
跟我们在整个框架中
所提到的四个量
是相互一一对应的
那么我们最简单的首先看
弹簧的拉伸或者缩短的量
得到的这个向量
这个e就是我们的e_1 e_m
和弹力y_1到y_m 这个之间的关系
这个关系呢实际上
就是我们胡克定律的向量版本
高级版本
就是y等于c乘上e
c呢是个对角阵
这就把我们的一个y_i等于c_ie_i
这些表达式 m个表达式
写成统一的一个矩阵的形式
另外呢
我们现在要分析定y量的关系
比如说质体的移动
和弹簧的拉伸缩短量的关系
质体受到的外力
跟弹力之间的关系
也就是我们刚才说的这个关系
和这个关系
那么这两个关系
我们先一般性的讨论
关于这四种情况
我们一般性地讨论一下
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
