7.4 刚度矩阵在线视频

在上一部分呢我们讨论了

整个四个弹簧系统呢

它们四种量之间的关系

最后我们得到了四个刚度矩阵

我们用不同的符号来表示

这四种刚度矩阵

那么在这部分呢

我们先来看一下

这四种刚度矩阵的一些性质

首先我们来看一下

第一个刚度矩阵

这个刚度矩阵我们知道

它最后都是A＾TCA的形式

那么在第一种

它使用的C是c_1 c_2 c_3 c_4

那么我们可以看到

这样一种表达式

它是一种正半定的

特别地 在第一种情况呢

因为我们这个A是一个列满秩的

所以这样一个矩阵呢

是一个正定阵

第二种情况也一样的

因为A是列满秩的

所以K T都是正定的

但是B和C呢它们只是正半定的

因为它们所用的A

不是一个列满秩的

我们看到B乘上1 1 1

是等于0的

而C乘上这个1 1 1也是0

就是第三种和第四种情况呢

我们都可以看到

我们所用的这个A都是有奇异的

而不是列满秩的

所以我们得到了第一个性质呢

就是K和T是非奇异的

三对角的正定矩阵

我们这块呢

因为我们考虑的质体

只是三个质体

如果我们考虑n个质体

m根弹簧

那么我们会

当这个n很大的时候呢

我们会得到一个很大的K T

这样一个矩阵

我们会发现这个矩阵呢

它们始终是三对角的

B和C是奇异阵

也就是说B和C

它们乘上1 1等于0

这个从受力分析上

我们可以看到

实际上就是整个系统

所受的这个外力总和是0

第二条K和T呢

这两个我们是正定阵

所以它们是可逆的

这两个可逆矩阵呢

它们的逆是一个非负阵

我们先来看K的情形

K呢它可以写成对角元

这些正好是K的对角元

而K的非对角元呢

是负的C_i的形式

所以我们可以写成减C_i

这个C_i都是大于0

是弹性系数 是大于0的

这样子呢

整个K就可以写成一个对角阵

减去一个W

这个W呢 我们可以看到

它的每一个元素都是非负的

所以D的对角线也都大于0

W的元素都是非负的

那么

当K写成这样一个形式以后呢

我们想证明K的逆是一个非负阵

也就是说K的逆

这个矩阵它的每一个元素

都是非负的

而非负矩阵有非常广泛的应用

它的特征值和特征向量

有些特别的性质

我们讲马尔可夫矩阵的时候

我们会谈到非负矩阵的一些性质

好 那么我们来看K的逆呢

就等于D减W的逆

那么D本身它是可逆的

而且是个正定阵

因为它是对角线都大于0的

一个对角阵

所以D是正定的

那么我们可以把

这个表达式中的D提出来

得到了最后取逆

就得到这样一个形式

那么我们现在想说明K^-1

它实际上是一个非负阵

那么这种非常技术的说明方法

一般呢我们可以运算

但是得到会很复杂

这个技巧的办法是这样子的

首先K的逆

它最后能写成这种形式

那么D的逆我们知道

它是对角阵

对角阵的逆就是把

对角线的每个元素取个倒数

然后得到的就是D^-1

那么这还是一个正定阵

那么下面我们来看一下这一部分I减(D^-1)W这个矩阵的逆

那么这个矩阵呢我们可以看到

它实际上是I减(D^-1)W

这样一个矩阵的逆

那么这个矩阵呢

我们现在想希望说明

(D^-1)W这个矩阵呢

它的特征值的绝对值是小于1的

那么这就说明了

属于它的特征值的绝对值小于1

那么I减(D^-1)W呢

它的逆我们就可以写成一个

极数的形式

那么

因为(D^-1)K是有正特征值的

(D^-1)和K都是正定阵的时候

那么这两个矩阵相乘

大家注意(D^-1)K

本身不一定是正定阵

但是(D^-1)K它有正特征值

这个是一般的结论

如果A是正定的 B正定

那么A乘B它一般不正定

为什么呢

因为它连对称阵都可能不是

它可能不对称

但是AB 我们如果看它的特征值

它都是大于0的

实际上呢

它是相似于一个正定阵

所以AB有正特征值

所以这样我们看到

(D^-1)K它有正特征值

那么这一条呢已经可以保证

I减(D^-1)W这个特征值是大于0

也就说明(D^-1)W

它的特征值是小于1的

另一方面呢我们可以看到

由圆盘定理呢

(D^-1)K的特征值呢

它是准对角占优阵

我们可以用圆盘定理最后得到了它的特征值是小于1的

那么凭这两点呢

我们最后能看到

(D^-1)W的特征值长度

是小于1的

那么

如果(D^-1)W的特征值小于1

那么I减(D^-1)W

它取逆以后

它就可以有极数展开形式

这应该是矩阵的极数展开

大家回忆一下

一般地我给你一个1/(1-X)

这样一个表达式

写成幂级数的时候

写成1+x 再加x＾2等等

它能写成幂级数的形式

我们要求x的绝对值要小于1

那么这个矩阵的这种形式呢

跟这个道理是完全一样的

就是我们要求这个能展开

那必须它的特征值

绝对值要小于1

然后我们就可以有幂级数展开

这样展开以后呢

我们可以来看一下

这样我们就可以把K^-1

整个就写出来了

这样展开的好处是

每一项都是非负的

每一项全是非负的

因为它是非负矩阵的乘积

还是非负矩阵

所以呢 我们可以看出

最后K^-1是一个非负阵

那么从物理意义上我们来看一下U=(K^-1)f

如果外力均向下

那么质体的位移也是向下的

外力均向下

说明这个向量

它的每个分量都是大于0的

那么K^-1本身又是个非负矩阵

所以我们看到

U的每一个分量都大于0

那么按照我们规定的正负号

那么U_i是大于0的

那么一般情况呢

如果我们考虑n个质体

那么我们得到的K T B C

都是三对角阵

我们来看一种特殊情况就是

我们取的质体

比如说质量都一样

然后我们要求弹簧的弹性系数

都一样

也就是说C_i等于C等于1

那么这时候我们看到

我们得到的这四个矩阵呢

是这样一种形式

K_n T_n B_n C_n

K_n T_n都是可逆的

B_n C_n都是奇异的

那么仔细看一下我们看到

T_n实际上是将K_n的第n行

第n列元素换成1

Bn是将Kn的第（1 1）

和（n n）这两个元素换成1

Cn是将Kn的第一行第n维元素

这个0换成-1

和这个元素换成-1

这样得到了C_n

这个-1应该是写在这一块

那么这四个矩阵呢

它们又有非常重要的应用

它们的特征值和特征向量

实际上给出了

离散的正弦余弦变换

和离散的傅里叶变换

所使用的课程向量

比如说C_n

Cn的特征值呢是λ_k

等于2减2倍的Cos(2π_K/n)

那么C_n呢

关于这些特征值的特征向量呢

是Y_k等于1 ω^k ω^2k等于

其中这个ω是e＾(2πi/n)

也就是说把那个夹角360度n等份

得到的那个复数

那么C_n的这些特征向量呢

实际上就构成了

阿迪桑傅里叶傅里叶变换

所用的傅里叶矩阵

我们在最开始简介中说

实际上我们经常把连续的问题

转化成离散问题

比如说傅里叶变换是个积分形式我们如果离散化

实际上就是把一个向量

写成这样一组基下的坐标

所以所谓的求离散傅里叶变换

本质上就是求一个向量

在这样一组基下的坐标

就是任意的一个α

比如说属于C＾4

就是复数域上的

4维空间中的一个向量

我们希望把这个α写成

F_4乘上一个β

实际上就是求这个β

这样一个α 我们写出来以后

它四个分量

实际上是把α看作在标准基

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

还有0 0 0 0 1

和0 0 0 0 1

这四个向量下的坐标

那么现在我们写成这种形式呢

就是指的是α在F_4的每一列

作的基下的坐标β

求这些坐标就是一些

我们所谓的离散傅里叶变换

或者离散小波变换等等

需要做的主要工作