当前课程知识点：线性代数(2) > 第七讲：工程中的矩阵 > 7.4 刚度矩阵 > 7.4 刚度矩阵
在上一部分呢我们讨论了
整个四个弹簧系统呢
它们四种量之间的关系
最后我们得到了四个刚度矩阵
我们用不同的符号来表示
这四种刚度矩阵
那么在这部分呢
我们先来看一下
这四种刚度矩阵的一些性质
首先我们来看一下
第一个刚度矩阵
这个刚度矩阵我们知道
它最后都是A＾TCA的形式
那么在第一种
它使用的C是c_1 c_2 c_3 c_4
那么我们可以看到
这样一种表达式
它是一种正半定的
特别地 在第一种情况呢
因为我们这个A是一个列满秩的
所以这样一个矩阵呢
是一个正定阵
第二种情况也一样的
因为A是列满秩的
所以K T都是正定的
但是B和C呢它们只是正半定的
因为它们所用的A
不是一个列满秩的
我们看到B乘上1 1 1
是等于0的
而C乘上这个1 1 1也是0
就是第三种和第四种情况呢
我们都可以看到
我们所用的这个A都是有奇异的
而不是列满秩的
所以我们得到了第一个性质呢
就是K和T是非奇异的
三对角的正定矩阵
我们这块呢
因为我们考虑的质体
只是三个质体
如果我们考虑n个质体
m根弹簧
那么我们会
当这个n很大的时候呢
我们会得到一个很大的K T
这样一个矩阵
我们会发现这个矩阵呢
它们始终是三对角的
B和C是奇异阵
也就是说B和C
它们乘上1 1等于0
这个从受力分析上
我们可以看到
实际上就是整个系统
所受的这个外力总和是0
第二条K和T呢
这两个我们是正定阵
所以它们是可逆的
这两个可逆矩阵呢
它们的逆是一个非负阵
我们先来看K的情形
K呢它可以写成对角元
这些正好是K的对角元
而K的非对角元呢
是负的C_i的形式
所以我们可以写成减C_i
这个C_i都是大于0
是弹性系数 是大于0的
这样子呢
整个K就可以写成一个对角阵
减去一个W
这个W呢 我们可以看到
它的每一个元素都是非负的
所以D的对角线也都大于0
W的元素都是非负的
那么
当K写成这样一个形式以后呢
我们想证明K的逆是一个非负阵
也就是说K的逆
这个矩阵它的每一个元素
都是非负的
而非负矩阵有非常广泛的应用
它的特征值和特征向量
有些特别的性质
我们讲马尔可夫矩阵的时候
我们会谈到非负矩阵的一些性质
好 那么我们来看K的逆呢
就等于D减W的逆
那么D本身它是可逆的
而且是个正定阵
因为它是对角线都大于0的
一个对角阵
所以D是正定的
那么我们可以把
这个表达式中的D提出来
得到了最后取逆
就得到这样一个形式
那么我们现在想说明K^-1
它实际上是一个非负阵
那么这种非常技术的说明方法
一般呢我们可以运算
但是得到会很复杂
这个技巧的办法是这样子的
首先K的逆
它最后能写成这种形式
那么D的逆我们知道
它是对角阵
对角阵的逆就是把
对角线的每个元素取个倒数
然后得到的就是D^-1
那么这还是一个正定阵
那么下面我们来看一下这一部分I减(D^-1)W这个矩阵的逆
那么这个矩阵呢我们可以看到
它实际上是I减(D^-1)W
这样一个矩阵的逆
那么这个矩阵呢
我们现在想希望说明
(D^-1)W这个矩阵呢
它的特征值的绝对值是小于1的
那么这就说明了
属于它的特征值的绝对值小于1
那么I减(D^-1)W呢
它的逆我们就可以写成一个
极数的形式
那么
因为(D^-1)K是有正特征值的
(D^-1)和K都是正定阵的时候
那么这两个矩阵相乘
大家注意(D^-1)K
本身不一定是正定阵
但是(D^-1)K它有正特征值
这个是一般的结论
如果A是正定的 B正定
那么A乘B它一般不正定
为什么呢
因为它连对称阵都可能不是
它可能不对称
但是AB 我们如果看它的特征值
它都是大于0的
实际上呢
它是相似于一个正定阵
所以AB有正特征值
所以这样我们看到
(D^-1)K它有正特征值
那么这一条呢已经可以保证
I减(D^-1)W这个特征值是大于0
也就说明(D^-1)W
它的特征值是小于1的
另一方面呢我们可以看到
由圆盘定理呢
(D^-1)K的特征值呢
它是准对角占优阵
我们可以用圆盘定理最后得到了它的特征值是小于1的
那么凭这两点呢
我们最后能看到
(D^-1)W的特征值长度
是小于1的
那么
如果(D^-1)W的特征值小于1
那么I减(D^-1)W
它取逆以后
它就可以有极数展开形式
这应该是矩阵的极数展开
大家回忆一下
一般地我给你一个1/(1-X)
这样一个表达式
写成幂级数的时候
写成1+x 再加x＾2等等
它能写成幂级数的形式
我们要求x的绝对值要小于1
那么这个矩阵的这种形式呢
跟这个道理是完全一样的
就是我们要求这个能展开
那必须它的特征值
绝对值要小于1
然后我们就可以有幂级数展开
这样展开以后呢
我们可以来看一下
这样我们就可以把K^-1
整个就写出来了
这样展开的好处是
每一项都是非负的
每一项全是非负的
因为它是非负矩阵的乘积
还是非负矩阵
所以呢 我们可以看出
最后K^-1是一个非负阵
那么从物理意义上我们来看一下U=(K^-1)f
如果外力均向下
那么质体的位移也是向下的
外力均向下
说明这个向量
它的每个分量都是大于0的
那么K^-1本身又是个非负矩阵
所以我们看到
U的每一个分量都大于0
那么按照我们规定的正负号
那么U_i是大于0的
那么一般情况呢
如果我们考虑n个质体
那么我们得到的K T B C
都是三对角阵
我们来看一种特殊情况就是
我们取的质体
比如说质量都一样
然后我们要求弹簧的弹性系数
都一样
也就是说C_i等于C等于1
那么这时候我们看到
我们得到的这四个矩阵呢
是这样一种形式
K_n T_n B_n C_n
K_n T_n都是可逆的
B_n C_n都是奇异的
那么仔细看一下我们看到
T_n实际上是将K_n的第n行
第n列元素换成1
Bn是将Kn的第（1 1）
和（n n）这两个元素换成1
Cn是将Kn的第一行第n维元素
这个0换成-1
和这个元素换成-1
这样得到了C_n
这个-1应该是写在这一块
那么这四个矩阵呢
它们又有非常重要的应用
它们的特征值和特征向量
实际上给出了
离散的正弦余弦变换
和离散的傅里叶变换
所使用的课程向量
比如说C_n
Cn的特征值呢是λ_k
等于2减2倍的Cos(2π_K/n)
那么C_n呢
关于这些特征值的特征向量呢
是Y_k等于1 ω^k ω^2k等于
其中这个ω是e＾(2πi/n)
也就是说把那个夹角360度n等份
得到的那个复数
那么C_n的这些特征向量呢
实际上就构成了
阿迪桑傅里叶傅里叶变换
所用的傅里叶矩阵
我们在最开始简介中说
实际上我们经常把连续的问题
转化成离散问题
比如说傅里叶变换是个积分形式我们如果离散化
实际上就是把一个向量
写成这样一组基下的坐标
所以所谓的求离散傅里叶变换
本质上就是求一个向量
在这样一组基下的坐标
就是任意的一个α
比如说属于C＾4
就是复数域上的
4维空间中的一个向量
我们希望把这个α写成
F_4乘上一个β
实际上就是求这个β
这样一个α 我们写出来以后
它四个分量
实际上是把α看作在标准基
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
还有0 0 0 0 1
和0 0 0 0 1
这四个向量下的坐标
那么现在我们写成这种形式呢
就是指的是α在F_4的每一列
作的基下的坐标β
求这些坐标就是一些
我们所谓的离散傅里叶变换
或者离散小波变换等等
需要做的主要工作
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
