当前课程知识点：线性代数(2) > 第十一讲：计算机图像 > 11.1 引言 > 11.1 引言
大家好
这一讲我们来学习计算机图象
计算机图象方面的基本变换
包括平移 旋转 伸缩
投影和反射
那么这些变换呢
我们都希望能写成
一个矩阵乘向量的形式
为了达到这一点呢
我们引入了齐次坐标
使用齐次坐标我们可以把
所有这些变换呢
写成一个四阶的矩阵
乘上一个向量的形式
好 我们现在来学习
跟计算机图象相关的
一些线性代数知识
在计算机图象上的
线性代数的主要应用呢
主要是反映了对图象的一些变换
可以用线性代数的矩阵来刻画
那么我们三维空间中
我们遇到的基本变换
是平移 伸缩 旋转 投影
和反射
除了第一个以外呢
另外的伸缩 旋转 投影
和反射都可以考虑成为
三维向量空间
到它自己的线性变换
那么平移呢之所以不同呢
是因为对于一个向量来说
平移并不改变这个向量
但对于一个点来说呢
平移会改变点的坐标
所以我们要考虑平移呢
一个基本的情况就是要
区分点和向量
在三维空间中
在以前的考虑中
我们一个坐标系统原点O
加上三个基本的向量e1 e2 e3
那么在原来呢
我们把随便一个点P
它的坐标和OP这个向量
混为一谈
因为在过去
我们不研究平移的时候
那么我们可以把P点的坐标
和OP一个向量的坐标
看作一样的
那么我们现在呢
我们要区别这两点呢
那么我们可以看到
P这一点的坐标是怎么来的呢
它实际上是用OP这个向量
再加上O点的坐标
O点的坐标在这块是0 0 0
那么OP这个向量呢
可以写成一个xe_1+ye_2+ze_3
再加上O点
也就是说
跟这个原点的选择有关
那么这时候我们要表达P
这个点的坐标
那么它就可以表示成
x y z 1
因为这个点的系数是1
那么如果要表示一个向量呢
那这一部分就没了
那么我们要表示OP这个向量呢
那么这时候我们就表示成
x y z 0
那么这就是齐次坐标系统
三维空间中的一个点的齐次坐标
就是x y z 1
一个向量的齐次坐标是
x y z 0
给定一个函数从R^n到R^n
它是一个刚体运动
那么如果
就是在这个变换过程中呢
f(v)-f(w)等于v-w的长度
换句更直观的语言呢
就是当一个物体
它在移动过程中呢
这个物体上面
任意两点之间的距离
并不会因为这个运动发生改变
那么我们就把这个物体
跟运动叫刚体运动
比如说我们给一个面团
我们进行把这个面团捏一下呢
那么这个面团
它两点之间的距离
可能就发生变化了
那么这种变换呢
就不是一个刚体运动
那么通常我们见到的旋转
平移等等
这个物体之间的两点之间的距离
并没有发生变化
那么可以证明
在三维空间中呢
所有能满足
上面这个条件的刚体运动
实际上都是我们通常的平移
旋转和反射
它们之间组合而成的
更确切地说
就是这样一个刚体运动
我们可以把它写成一个
把一个向量v
把它变成一个正交矩阵乘上v
再加上一个v0
这个v0是一个固定的向量
v0体现了平移
那么A乘上v呢
这个A是个正交阵
那么体现了旋转和反射的合成
那么我们下面来看一下
三阶的正交阵
它确实只有旋转和反射
基本上就这两种
给定一个三阶正交阵
我们回忆一下
三阶正交阵就是A的转置乘A
等于单位阵
也就是说
A的每一列是相互正交的
相互垂直的
那么而且呢
A的每一列的长度是等于1
换句话说呢
就是A的列构成了
n维空间中的一组标准正交基
那么现在AA是三阶的
那么就是三维空间中
取一组标准正交基做成的矩阵
就是我们的正交阵
一个正交阵
三阶的正交阵呢
我们可以通过相似
就找一个实的可逆阵
注意我们这找的是实的可逆阵
如果你找复的话
就可以把它变成对角阵
我们找实的可逆阵
能够把这样一个三阶的正交阵
变成这样一个形式
那么现在可以分两种情况
第一种情况呢
如果这个位置是正1的话
那么我们可以看到
这上面这一块呢是一个
在二维空间平面上的一个旋转
那么如果这个(3, 3)位置是个正1
那么我们这个A呢
大家可以看到
它的行列式就等于1
对于这种情况
A的行列式是1
这块A取-1的话
A的行列式就是-1
因为这个矩阵的行列式
和A的行列式是一样的
所以这块正负1的选取
实际上就导致了A有两个行列式
1和-1
A取正1呢
我们可以看到
它实际上是个旋转阵
这个旋转轴是谁呢
旋转轴是A作用在上面不变的
那么我们从这儿可以看出
Aα_3等于α_3乘这个等式
那么所以旋转轴
就是α_3所在的直线
旋转的角度是沿着α_3
这个向量的方向
逆时针旋转θ角
如果这个位置是-1
那么A的行列式等于-1
那么这时候我们可以看到
A把α_3变成-α_3
我们可以更详细地解释一下
比如说把右边这个矩阵呢
我们给它叫B的话
那么P^-1AP等于B
A乘上P就等于P乘上B
那也就是说
A乘P的每一列
就等于P乘B的列
那么我们可以看到A乘P
A乘α_3
那么这边的第三列
A乘α_3就等于这边的第三列
这边的第三列
就用P的每一列乘以B的第三列
也就是说正好等于-α_3
好 那么就告诉我们
A把α_3变成了-α_3
所以在α_3这一块呢
大家可以看到
这个情况实际上就是
把α_3跟它垂直的那个平面没有动
也就是说
把那个平面上的每一个向量
在那个平面上
逆时针地旋转了θ角
但是还在平面上
然后跟平面垂直的α_3
所在的直线下面的向量
都变成相反的向量
所以从这个角度看
这个A它是镜面反射和旋转
合成的
在一个平面上
在这个平面上
A对每一个向量旋转了θ角
逆时针旋转了θ角度
跟平面垂直的呢
变成了相反的向量
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
