当前课程知识点：线性代数(2) > 第一讲：正定矩阵 > 1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面 > 1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
我们说R3中的二次曲线
它的方程是下面这个样子
关于变量xyz
先是二次齐次多项式部分
那么我们可以用二次型的语言
来描述它
这些个aij和bi和c都是常数
那再加上一次项部分
再加上常数项等于0
这样的一个二次多项式等于0的
这样的方程我们叫做二次曲面
我们看三维空间中的
六类基本的二次曲面
第一类椭球面
它的方程由a平方分之x2的平方
加b平方分之y平方
加c平方分之z平方等于1
这个标准方程给出来
它的形状是这样子
我们注意到说给这个截面
我们来看它的截线
从而来确定它的形状
那么用平行于坐标平面
xy平面的这个平面去截的话
那么在xy这个平面上
我们截出来是一个椭圆
平行于xy平面的这些平面
截出来的也是椭圆
那么用平行于xz平面的
这个截面去截呢
我们得到的也是椭圆
用平行于yz平面的这个平面去截
得出来的也是椭圆
这是所谓的椭球面
我们还特别的注意到
说这个标准方程呢
它用二次型的形式来写的话
它可以写成xyz a方分之1
b方之1 c方分之1
再去乘以xyz等于1
那么这是一个二次型等于1的形式
给出来的R3中的椭球面
特别地
当abc相等 不等于0的时候
给出来的是球面
第二类基本的二次曲面
单叶双曲面
它的方程是这样子
这是它的标准方程
它的形状是这个样子
像一个烟囱一样
那么左手边的这个二次型
对角形的二次型
它对角线上是a方分之1
b方分之1 负的c方分之1
两个正的 一个负的
那么平行于xy平面的截面去截
得出来的是椭圆
那平行于xz平面的这个截面去截
得出来的是双曲线
拿平行于yz平面的这个平面去截
得出来的也是双曲线
它只有一叶
然后在这个坐标平面
跟它平行的平面去截的时候
都得到的是双曲线
我们叫它是单叶双曲面
它的主轴对应的系数
是这个负的变量
是这个z轴 是它的主轴
第三类双叶双曲面
我们来看一下它的形状
它的确这时候是由两个叶
或者严格地说
我们叫它是两个连通分支
那么它的方程呢
左手边是二次型
对角线上分别是c方分之一
或者是说我们用xyz的这个顺序呢
是负a方分之一
负b方分之一和c方分之一
两个负的 一个正的 等于1
那用平行于xoy平面去截的话
在这个xoy平面上是没有截线的
跟它平行的这个平面
我们截出来是椭圆
跟平行于xz这个平面去截的话
得出来的是双曲线
这样的两段双曲线
那平行于yz平面去截的话
得到的也是双曲线
由截线我们得出来
这个双叶双曲面的形状
是这种样子
那双叶双曲面的主轴
对应的是这个正的系数
所对应的变量
也就是z轴是它的主轴
与这个主轴z轴
所垂直的这个坐标平面xoy平面
它与双叶双曲面是没有截线的
这是它的性质
第四类椭圆锥面
那么这个左手边是二次型
标准的对角形的二次型
a方分之一 b方分之一
负的c方分之一
为矩阵的这样的一个二次型
右手边是等于0
那用平行于xy平面去截
截出来的是椭圆
用平行于xz平面去截
截出来的是双曲线
用平行于yz平面去截
截出来的也是双曲线
我们叫它是椭圆锥面
椭圆锥面它的主轴对应的系数
为负的变量
也就是对应的是这个z轴
与主轴平行的这个坐标平面
xoy平面的截线是相交的两条直线
与主轴平行的坐标平面的截线
是相交直线
第五类椭圆抛物面
那它的方程呢
是z等于a方之x的平方
加b方分之y平方
用平行于xy的这个平面的平面
去截的话 得出来的是椭圆
截线是椭圆
用平行于xz平面去截的话
得到的是抛物线
用平行于yz平面去截的话
得到的也是抛物线
所以我们叫它是椭圆抛物面
那这个方程里头
它既含有一次项z
又含有二次项
椭圆抛物面的主轴呢
对应着是一次项的变量
也就是z变量
第六类双曲抛物面
这是它的形状
这时候我们看它平行于xy平面
去截
截出来的是双曲线
那边是在这叶上
截出来是这样的双曲线
平行于xz平面呢
截出来是抛物线
yz平面截出来
就是从这儿看是这样的抛物线
平行于yz平面的
截出来也是抛物线
我们这张曲面叫做双曲抛物面
它的主轴对应着一次项的变量
也就是z变量
三维空间中的二次曲面
有一些有意思的应用
比如说世界上有些著名的建筑物
它的外形就是二次曲面
而这张图是巴西利亚大教堂
它是一座位于巴西首都
巴西利亚的天主教大教堂
由著名的建筑师
奥斯卡尼迈耶设计
那1970年完工
这座教堂与我们通常见到
欧洲的这种教堂风格很不同
它没有那种高尖的屋顶
主体是主要在地下的
外部是由16根混凝土土柱构成的
一个单叶双曲面的屋顶
巴西利亚大教堂
它外形的线条比较简洁
它是一个二次曲面
它内部的光线也比较明亮
是巴西利亚闻名世界的一道景观
除此之外
我们还有一些著名的建筑物
也是二次曲面这种几何的形状
我们又知道这些个几何形状
是跟我们线性代数里的二次型
是密切相关的
二次型又跟相应的实对称矩阵
密切相关
所以我们所有学的这些知识
不是只在书本上的
它是跟生活中的很多事情
密切相关的
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
