当前课程知识点：线性代数(2) > 第二讲：相似矩阵 > 2.3 Jordan标准形 > 2.3 Jordan标准形
我们以2阶矩阵作例子
如果一个2阶矩阵A
有两个互异的特征值入1 入2
我们知道这样的矩阵
A一定是可对角化的
也就是说矩阵A相似于对角阵
对角线上的元素是入1 入2
两个互异特征值
那如果矩阵A有重特征值入0
那就有两种可能性
一种可能性是说
A有两个线性无关的特征向量
这样的A一定可以对角化
对角元是这个重特征值入0 入0
那么如果A
只有一个线性无关的特征向量
这样的矩阵A不能够对角化
但是它一定会相似于
对角线上是入0
然后斜上方有一个1的这样的矩阵
这样的矩阵
是我们用来作为Jordan标准形的
一个Jordan块
那么一般情况下
一个n阶的Jordan块是这种形状
对角线是重特征值入0
加它的斜上方有一溜1
这是一个n阶的Jordan块
特别的情况下
如果n等于1的话
所谓一个Jordan块
就是一个1阶的一个数构成的矩阵
那么这是n等于1的情形
我们来看这个3阶的矩阵
主对角线上是2
在它的斜上方有两个1
这个矩阵它的特征值是2
是3重的
代数重数是3 几何重数是1
不能够对角化
对于一个Jordan块它的性质
我们发现对于这样的Jordan块
它有一个n重的特征值入0
它只有一个线性无关的特征向量
1 0 0
那么我们说这个入0的代数重数
是等于n 几何重数是等于1
我们还可以注意到
用这个Jordan块去减掉入0乘以In
这个数乘矩阵之后
得到了新的这个矩阵
它的n次幂是等于0矩阵的
我们发现N这个矩阵呢
主对角线上是0
加它的斜上方有一溜1
那么可以计算试试看它的平方
在刚才1的位置上变成了0
然后1跑到它更上一层这个部分
那么一直这样做下去我们发现
N的n次方是等于0矩阵的
这是一个幂零矩阵
那我们还可以注意到
这个Jordan块
和它的转置是相似的
我们来令这个可逆矩阵P
是斜对角线上是1的这样一个矩阵
我们发现它的逆矩阵
是等于它自身
我们说P^{-1}乘以Jordan块
再乘以P就等于Jordan块的转置我们拿一个简单的例子来看
0 0 1 0 1 0
1 0 0去乘以3阶的Jordan块
再乘以0 0 1
0 1 0 1 0 0
通过计算我们发现
它变成主对角线上是入0
1跑到它的下方的这样一个矩阵
是原来Jordan块的转置矩阵
那么有了这条性质呢
我们说
有的书上它定义这个Jordan块
是1跑到下面来
和我们1在上面的
这种Jordan块的定义
本质上一致的
因为二者是相似的
那么Jordan块呢
它可以写成数乘的矩阵
入0去乘以单位阵再加上
我们刚才说的这个幂零矩阵
那么我们注意到说
这个幂零矩阵n去乘以en
我们这儿的en
是n维的向量
前面的n-1个分量是0
在最后一个分量是1这种向量
N去乘以en等于en-1
那么而且N去en-1等于en-2
N乘以e2 等于e1
N乘以e1等于0
那换言之我们说e1
是这个Jordan块的唯一的那个
线性无关的特征向量
J e1等于入0e1
而这个e2不是特征向量
这个e2是等于入0e2再加上e1
这e3等于入0e3+e2
e1是特征向量
这一个特征向量
i从2到n我们有Jei等于入ei
加上ei-1
我们把这样的ei呢
它不是特征向量
但是具有特别的性质
我们称为是J的广义特征向量
我们说矩阵A
它如果有s个线性无关的特征向量
就一定会存在可逆矩阵P
使得P^{-1}AP等于这种对角块矩阵
在对角块
每一个对角块是一个Jordan块
并且我们把这种矩阵J
称为是A的Jordan标准形
如果不计Jordan块的次序的话
矩阵A的Jordan标准形是唯一的
这是我们接下来要证明的定理
这个定理里头
给出来我们的相似标准形的答案
我们用Jordan标准形来作为
矩阵相似标准形的最简形式
那么在这里头
Jordan标准形中
Jordan块的个数
它是等于
A线性无关的特征向量的个数
有多少个线性无关的特征向量
就会有多少个Jordan块
那么如果它恰巧有n个
线性无关的特征向量的话
那每一个Jordan块
就变成了是1阶的
从而这个J是对角阵
从而A是可对角化的矩阵
那么这个定理等价于是说
我们存在着一组基v1到vn
使得A作用在这组基上
用这组基去表示出来的这个矩阵
是Jordan标准形
那可对角化的矩阵
它相应的这组基
是A的线性无关的特征向量
一般的情况下A没有这么多
线性无关的特征向量
那么v1 vn取不成特征向量
我们取成
前面所谓的广义特征向量
Jordan标准形
是法国著名的数学家
Camille Jordan首先发表的
他还有因为复分析中
Jordan曲线定理和群论中的
Jordan-Holder定理
等重要结果闻名于世
我们注意不要把这个Jordan与
我们引入
高斯Jordan消元法的
测地学家的Jordan
和引入Jordan代数的物理学家的
这个Jordan混淆起来
好 我们根据刚才这个定理
先来看看
下面给的这个简单的3阶的矩阵
A的Jordan标准形
那么我们先来去求它的特征值
它的特征多项式
我们注意到我们在讲义里头
用了特征多项式
有时候用入I-A的行列式
有时候用A-入I的这个行列式
这个没有本质的区别
我们说容易求得它的特征值是2
这是一个3重的特征值
那么A-2I
这个矩阵的零空间的维数
等于3减掉这个矩阵的秩等于2
几何重数是等于2
因此它是由两个Jordan块
在Jordan标准形里
有两个Jordan块
而它的阶数一个是1阶的
一个是2阶的
这是2阶的Jordan块
这是1阶的Jordan块
因此A的Jordan标准形
一定是这种形状
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
